Matemática discreta Ejemplos

$f (x) = \frac{x - 1}{8}$

Paso 1

Escribe $f (x) = \frac{x - 1}{8}$ como una ecuación.

$y = \frac{x - 1}{8}$

Paso 2

Intercambia las variables.

$x = \frac{y - 1}{8}$

Paso 3

Resuelve $y$

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Paso 3.1

Reescribe la ecuación como $\frac{y - 1}{8} = x$ .

$\frac{y - 1}{8} = x$

Paso 3.2

Multiplica ambos lados de la ecuación por $8$ .

$8 \frac{y - 1}{8} = 8 x$

Paso 3.3

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 3.3.1

Cancela el factor común de $8$ .

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Paso 3.3.1.1

Cancela el factor común.

$8 \frac{y - 1}{8} = 8 x$

Paso 3.3.1.2

Reescribe la expresión.

$y - 1 = 8 x$

Paso 3.4

Suma $1$ a ambos lados de la ecuación.

$y = 8 x + 1$

Paso 4

Reemplaza $y$ con $f^{- 1} (x)$ para ver la respuesta final.

$f^{- 1} (x) = 8 x + 1$

Paso 5

Verifica si $f^{- 1} (x) = 8 x + 1$ es la inversa de $f (x) = \frac{x - 1}{8}$ .

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Paso 5.1

Para verificar la inversa, comprueba si $f^{- 1} (f (x)) = x$ y $f (f^{- 1} (x)) = x$ .

Paso 5.2

Evalúa $f^{- 1} (f (x))$ .

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Paso 5.2.1

Establece la función de resultado compuesta.

$f^{- 1} (f (x))$

Paso 5.2.2

Evalúa $f^{- 1} (\frac{x - 1}{8})$ mediante la sustitución del valor de $f$ en $f^{- 1}$ .

$f^{- 1} (\frac{x - 1}{8}) = 8 (\frac{x - 1}{8}) + 1$

Paso 5.2.3

Cancela el factor común de $8$ .

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Paso 5.2.3.1

Cancela el factor común.

$f^{- 1} (\frac{x - 1}{8}) = 8 (\frac{x - 1}{8}) + 1$

Paso 5.2.3.2

Reescribe la expresión.

$f^{- 1} (\frac{x - 1}{8}) = x - 1 + 1$

Paso 5.2.4

Combina los términos opuestos en $x - 1 + 1$ .

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Paso 5.2.4.1

Suma $- 1$ y $1$ .

$f^{- 1} (\frac{x - 1}{8}) = x + 0$

Paso 5.2.4.2

Suma $x$ y $0$ .

$f^{- 1} (\frac{x - 1}{8}) = x$

Paso 5.3

Evalúa $f (f^{- 1} (x))$ .

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Paso 5.3.1

Establece la función de resultado compuesta.

$f (f^{- 1} (x))$

Paso 5.3.2

Evalúa $f (8 x + 1)$ mediante la sustitución del valor de $f^{- 1}$ en $f$ .

$f (8 x + 1) = \frac{(8 x + 1) - 1}{8}$

Paso 5.3.3

Simplifica el numerador.

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Paso 5.3.3.1

Resta $1$ de $1$ .

$f (8 x + 1) = \frac{8 x + 0}{8}$

Paso 5.3.3.2

Suma $8 x$ y $0$ .

$f (8 x + 1) = \frac{8 x}{8}$

Paso 5.3.4

Cancela el factor común de $8$ .

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Paso 5.3.4.1

Cancela el factor común.

$f (8 x + 1) = \frac{8 x}{8}$

Paso 5.3.4.2

Divide $x$ por $1$ .

$f (8 x + 1) = x$

Paso 5.4

Como $f^{- 1} (f (x)) = x$ y $f (f^{- 1} (x)) = x$ , entonces $f^{- 1} (x) = 8 x + 1$ es la inversa de $f (x) = \frac{x - 1}{8}$ .

$f^{- 1} (x) = 8 x + 1$