Matemática discreta Ejemplos

$f (x) = 8 - 2 x$

Paso 1

Escribe $f (x) = 8 - 2 x$ como una ecuación.

$y = 8 - 2 x$

Paso 2

Intercambia las variables.

$x = 8 - 2 y$

Paso 3

Resuelve $y$

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Paso 3.1

Reescribe la ecuación como $8 - 2 y = x$ .

$8 - 2 y = x$

Paso 3.2

Resta $8$ de ambos lados de la ecuación.

$- 2 y = x - 8$

Paso 3.3

Divide cada término en $- 2 y = x - 8$ por $- 2$ y simplifica.

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Paso 3.3.1

Divide cada término en $- 2 y = x - 8$ por $- 2$ .

$\frac{- 2 y}{- 2} = \frac{x}{- 2} + \frac{- 8}{- 2}$

Paso 3.3.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 3.3.2.1

Cancela el factor común de $- 2$ .

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Paso 3.3.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{- 2 y}{- 2} = \frac{x}{- 2} + \frac{- 8}{- 2}$

Paso 3.3.2.1.2

Divide $y$ por $1$ .

$y = \frac{x}{- 2} + \frac{- 8}{- 2}$

Paso 3.3.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 3.3.3.1

Simplifica cada término.

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Paso 3.3.3.1.1

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$y = - \frac{x}{2} + \frac{- 8}{- 2}$

Paso 3.3.3.1.2

Divide $- 8$ por $- 2$ .

$y = - \frac{x}{2} + 4$

Paso 4

Reemplaza $y$ con $f^{- 1} (x)$ para ver la respuesta final.

$f^{- 1} (x) = - \frac{x}{2} + 4$

Paso 5

Verifica si $f^{- 1} (x) = - \frac{x}{2} + 4$ es la inversa de $f (x) = 8 - 2 x$ .

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Paso 5.1

Para verificar la inversa, comprueba si $f^{- 1} (f (x)) = x$ y $f (f^{- 1} (x)) = x$ .

Paso 5.2

Evalúa $f^{- 1} (f (x))$ .

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Paso 5.2.1

Establece la función de resultado compuesta.

$f^{- 1} (f (x))$

Paso 5.2.2

Evalúa $f^{- 1} (8 - 2 x)$ mediante la sustitución del valor de $f$ en $f^{- 1}$ .

$f^{- 1} (8 - 2 x) = - \frac{8 - 2 x}{2} + 4$

Paso 5.2.3

Simplifica cada término.

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Paso 5.2.3.1

Cancela el factor común de $8 - 2 x$ y $2$ .

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Paso 5.2.3.1.1

Factoriza $2$ de $8$ .

$f^{- 1} (8 - 2 x) = - \frac{2 \cdot 4 - 2 x}{2} + 4$

Paso 5.2.3.1.2

Factoriza $2$ de $- 2 x$ .

$f^{- 1} (8 - 2 x) = - \frac{2 \cdot 4 + 2 (- x)}{2} + 4$

Paso 5.2.3.1.3

Factoriza $2$ de $2 (4) + 2 (- x)$ .

$f^{- 1} (8 - 2 x) = - \frac{2 (4 - x)}{2} + 4$

Paso 5.2.3.1.4

Cancela los factores comunes.

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Paso 5.2.3.1.4.1

Factoriza $2$ de $2$ .

$f^{- 1} (8 - 2 x) = - \frac{2 (4 - x)}{2 (1)} + 4$

Paso 5.2.3.1.4.2

Cancela el factor común.

$f^{- 1} (8 - 2 x) = - \frac{2 (4 - x)}{2 \cdot 1} + 4$

Paso 5.2.3.1.4.3

Reescribe la expresión.

$f^{- 1} (8 - 2 x) = - \frac{4 - x}{1} + 4$

Paso 5.2.3.1.4.4

Divide $4 - x$ por $1$ .

$f^{- 1} (8 - 2 x) = - (4 - x) + 4$

Paso 5.2.3.2

Aplica la propiedad distributiva.

$f^{- 1} (8 - 2 x) = - 1 \cdot 4 + x + 4$

Paso 5.2.3.3

Multiplica $- 1$ por $4$ .

$f^{- 1} (8 - 2 x) = - 4 + x + 4$

Paso 5.2.3.4

Multiplica $- - x$ .

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Paso 5.2.3.4.1

Multiplica $- 1$ por $- 1$ .

$f^{- 1} (8 - 2 x) = - 4 + 1 x + 4$

Paso 5.2.3.4.2

Multiplica $x$ por $1$ .

$f^{- 1} (8 - 2 x) = - 4 + x + 4$

Paso 5.2.4

Combina los términos opuestos en $- 4 + x + 4$ .

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Paso 5.2.4.1

Suma $- 4$ y $4$ .

$f^{- 1} (8 - 2 x) = x + 0$

Paso 5.2.4.2

Suma $x$ y $0$ .

$f^{- 1} (8 - 2 x) = x$

Paso 5.3

Evalúa $f (f^{- 1} (x))$ .

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Paso 5.3.1

Establece la función de resultado compuesta.

$f (f^{- 1} (x))$

Paso 5.3.2

Evalúa $f (- \frac{x}{2} + 4)$ mediante la sustitución del valor de $f^{- 1}$ en $f$ .

$f (- \frac{x}{2} + 4) = 8 - 2 (- \frac{x}{2} + 4)$

Paso 5.3.3

Simplifica cada término.

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Paso 5.3.3.1

Aplica la propiedad distributiva.

$f (- \frac{x}{2} + 4) = 8 - 2 (- \frac{x}{2}) - 2 \cdot 4$

Paso 5.3.3.2

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 5.3.3.2.1

Mueve el signo menos inicial en $- \frac{x}{2}$ al numerador.

$f (- \frac{x}{2} + 4) = 8 - 2 \frac{- x}{2} - 2 \cdot 4$

Paso 5.3.3.2.2

Factoriza $2$ de $- 2$ .

$f (- \frac{x}{2} + 4) = 8 + 2 (- 1) (\frac{- x}{2}) - 2 \cdot 4$

Paso 5.3.3.2.3

Cancela el factor común.

$f (- \frac{x}{2} + 4) = 8 + 2 \cdot (- 1 \frac{- x}{2}) - 2 \cdot 4$

Paso 5.3.3.2.4

Reescribe la expresión.

$f (- \frac{x}{2} + 4) = 8 - 1 (- x) - 2 \cdot 4$

Paso 5.3.3.3

Multiplica $- 1$ por $- 1$ .

$f (- \frac{x}{2} + 4) = 8 + 1 x - 2 \cdot 4$

Paso 5.3.3.4

Multiplica $x$ por $1$ .

$f (- \frac{x}{2} + 4) = 8 + x - 2 \cdot 4$

Paso 5.3.3.5

Multiplica $- 2$ por $4$ .

$f (- \frac{x}{2} + 4) = 8 + x - 8$

Paso 5.3.4

Combina los términos opuestos en $8 + x - 8$ .

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Paso 5.3.4.1

Resta $8$ de $8$ .

$f (- \frac{x}{2} + 4) = x + 0$

Paso 5.3.4.2

Suma $x$ y $0$ .

$f (- \frac{x}{2} + 4) = x$

Paso 5.4

Como $f^{- 1} (f (x)) = x$ y $f (f^{- 1} (x)) = x$ , entonces $f^{- 1} (x) = - \frac{x}{2} + 4$ es la inversa de $f (x) = 8 - 2 x$ .

$f^{- 1} (x) = - \frac{x}{2} + 4$