Matemática discreta Ejemplos

$f (x) = 5 (2 x + 3)$

Paso 1

Escribe $f (x) = 5 (2 x + 3)$ como una ecuación.

$y = 5 (2 x + 3)$

Paso 2

Intercambia las variables.

$x = 5 (2 y + 3)$

Paso 3

Resuelve $y$

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Paso 3.1

Reescribe la ecuación como $5 (2 y + 3) = x$ .

$5 (2 y + 3) = x$

Paso 3.2

Divide cada término en $5 (2 y + 3) = x$ por $5$ y simplifica.

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Paso 3.2.1

Divide cada término en $5 (2 y + 3) = x$ por $5$ .

$\frac{5 (2 y + 3)}{5} = \frac{x}{5}$

Paso 3.2.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 3.2.2.1

Cancela el factor común de $5$ .

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Paso 3.2.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{5 (2 y + 3)}{5} = \frac{x}{5}$

Paso 3.2.2.1.2

Divide $2 y + 3$ por $1$ .

$2 y + 3 = \frac{x}{5}$

Paso 3.3

Resta $3$ de ambos lados de la ecuación.

$2 y = \frac{x}{5} - 3$

Paso 3.4

Divide cada término en $2 y = \frac{x}{5} - 3$ por $2$ y simplifica.

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Paso 3.4.1

Divide cada término en $2 y = \frac{x}{5} - 3$ por $2$ .

$\frac{2 y}{2} = \frac{\frac{x}{5}}{2} + \frac{- 3}{2}$

Paso 3.4.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 3.4.2.1

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 3.4.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{2 y}{2} = \frac{\frac{x}{5}}{2} + \frac{- 3}{2}$

Paso 3.4.2.1.2

Divide $y$ por $1$ .

$y = \frac{\frac{x}{5}}{2} + \frac{- 3}{2}$

Paso 3.4.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 3.4.3.1

Simplifica cada término.

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Paso 3.4.3.1.1

Multiplica el numerador por la recíproca del denominador.

$y = \frac{x}{5} \cdot \frac{1}{2} + \frac{- 3}{2}$

Paso 3.4.3.1.2

Multiplica $\frac{x}{5} \cdot \frac{1}{2}$ .

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Paso 3.4.3.1.2.1

Multiplica $\frac{x}{5}$ por $\frac{1}{2}$ .

$y = \frac{x}{5 \cdot 2} + \frac{- 3}{2}$

Paso 3.4.3.1.2.2

Multiplica $5$ por $2$ .

$y = \frac{x}{10} + \frac{- 3}{2}$

Paso 3.4.3.1.3

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$y = \frac{x}{10} - \frac{3}{2}$

Paso 4

Replace $y$ with $f^{- 1} (x)$ to show the final answer.

$f^{- 1} (x) = \frac{x}{10} - \frac{3}{2}$

Paso 5

Verifica si $f^{- 1} (x) = \frac{x}{10} - \frac{3}{2}$ es la inversa de $f (x) = 5 (2 x + 3)$ .

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Paso 5.1

Para verificar la inversa, comprueba si $f^{- 1} (f (x)) = x$ y $f (f^{- 1} (x)) = x$ .

Paso 5.2

Evalúa $f^{- 1} (f (x))$ .

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Paso 5.2.1

Establece la función de resultado compuesta.

$f^{- 1} (f (x))$

Paso 5.2.2

Evalúa $f^{- 1} (5 (2 x + 3))$ mediante la sustitución del valor de $f$ en $f^{- 1}$ .

$f^{- 1} (5 (2 x + 3)) = \frac{5 (2 x + 3)}{10} - \frac{3}{2}$

Paso 5.2.3

Cancela los factores comunes.

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Paso 5.2.3.1

Factoriza $5$ de $10$ .

$f^{- 1} (5 (2 x + 3)) = \frac{5 (2 x + 3)}{5 \cdot 2} - \frac{3}{2}$

Paso 5.2.3.2

Cancela el factor común.

$f^{- 1} (5 (2 x + 3)) = \frac{5 (2 x + 3)}{5 \cdot 2} - \frac{3}{2}$

Paso 5.2.3.3

Reescribe la expresión.

$f^{- 1} (5 (2 x + 3)) = \frac{2 x + 3}{2} - \frac{3}{2}$

Paso 5.2.4

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$f^{- 1} (5 (2 x + 3)) = \frac{2 x + 3 - 3}{2}$

Paso 5.2.5

Combina los términos opuestos en $2 x + 3 - 3$ .

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Paso 5.2.5.1

Resta $3$ de $3$ .

$f^{- 1} (5 (2 x + 3)) = \frac{2 x + 0}{2}$

Paso 5.2.5.2

Suma $2 x$ y $0$ .

$f^{- 1} (5 (2 x + 3)) = \frac{2 x}{2}$

Paso 5.2.6

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 5.2.6.1

Cancela el factor común.

$f^{- 1} (5 (2 x + 3)) = \frac{2 x}{2}$

Paso 5.2.6.2

Divide $x$ por $1$ .

$f^{- 1} (5 (2 x + 3)) = x$

Paso 5.3

Evalúa $f (f^{- 1} (x))$ .

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Paso 5.3.1

Establece la función de resultado compuesta.

$f (f^{- 1} (x))$

Paso 5.3.2

Evalúa $f (\frac{x}{10} - \frac{3}{2})$ mediante la sustitución del valor de $f^{- 1}$ en $f$ .

$f (\frac{x}{10} - \frac{3}{2}) = 5 (2 (\frac{x}{10} - \frac{3}{2}) + 3)$

Paso 5.3.3

Simplifica cada término.

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Paso 5.3.3.1

Aplica la propiedad distributiva.

$f (\frac{x}{10} - \frac{3}{2}) = 5 (2 (\frac{x}{10}) + 2 (- \frac{3}{2}) + 3)$

Paso 5.3.3.2

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 5.3.3.2.1

Factoriza $2$ de $10$ .

$f (\frac{x}{10} - \frac{3}{2}) = 5 (2 (\frac{x}{2 (5)}) + 2 (- \frac{3}{2}) + 3)$

Paso 5.3.3.2.2

Cancela el factor común.

$f (\frac{x}{10} - \frac{3}{2}) = 5 (2 (\frac{x}{2 \cdot 5}) + 2 (- \frac{3}{2}) + 3)$

Paso 5.3.3.2.3

Reescribe la expresión.

$f (\frac{x}{10} - \frac{3}{2}) = 5 (\frac{x}{5} + 2 (- \frac{3}{2}) + 3)$

Paso 5.3.3.3

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 5.3.3.3.1

Mueve el signo menos inicial en $- \frac{3}{2}$ al numerador.

$f (\frac{x}{10} - \frac{3}{2}) = 5 (\frac{x}{5} + 2 (\frac{- 3}{2}) + 3)$

Paso 5.3.3.3.2

Cancela el factor común.

$f (\frac{x}{10} - \frac{3}{2}) = 5 (\frac{x}{5} + 2 (\frac{- 3}{2}) + 3)$

Paso 5.3.3.3.3

Reescribe la expresión.

$f (\frac{x}{10} - \frac{3}{2}) = 5 (\frac{x}{5} - 3 + 3)$

Paso 5.3.4

Simplifica los términos.

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Paso 5.3.4.1

Combina los términos opuestos en $\frac{x}{5} - 3 + 3$ .

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Paso 5.3.4.1.1

Suma $- 3$ y $3$ .

$f (\frac{x}{10} - \frac{3}{2}) = 5 (\frac{x}{5} + 0)$

Paso 5.3.4.1.2

Suma $\frac{x}{5}$ y $0$ .

$f (\frac{x}{10} - \frac{3}{2}) = 5 (\frac{x}{5})$

Paso 5.3.4.2

Cancela el factor común de $5$ .

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Paso 5.3.4.2.1

Cancela el factor común.

$f (\frac{x}{10} - \frac{3}{2}) = 5 (\frac{x}{5})$

Paso 5.3.4.2.2

Reescribe la expresión.

$f (\frac{x}{10} - \frac{3}{2}) = x$

Paso 5.4

Como $f^{- 1} (f (x)) = x$ y $f (f^{- 1} (x)) = x$ , entonces $f^{- 1} (x) = \frac{x}{10} - \frac{3}{2}$ es la inversa de $f (x) = 5 (2 x + 3)$ .

$f^{- 1} (x) = \frac{x}{10} - \frac{3}{2}$