Matemática discreta Ejemplos

$f (x) = \frac{1}{2} \cdot \log (4 x)$

Paso 1

Escribe $f (x) = \frac{1}{2} \cdot \log (4 x)$ como una ecuación.

$y = \frac{1}{2} \cdot \log (4 x)$

Paso 2

Intercambia las variables.

$x = \frac{1}{2} \cdot \log (4 y)$

Paso 3

Resuelve $y$

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Paso 3.1

Reescribe la ecuación como $\frac{1}{2} \cdot \log (4 y) = x$ .

$\frac{1}{2} \cdot \log (4 y) = x$

Paso 3.2

Multiplica ambos lados de la ecuación por $2$ .

$2 (\frac{1}{2} \cdot \log (4 y)) = 2 x$

Paso 3.3

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 3.3.1

Simplifica $2 (\frac{1}{2} \cdot \log (4 y))$ .

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Paso 3.3.1.1

Combina $\frac{1}{2}$ y $\log (4 y)$ .

$2 \frac{\log (4 y)}{2} = 2 x$

Paso 3.3.1.2

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 3.3.1.2.1

Cancela el factor común.

$2 \frac{\log (4 y)}{2} = 2 x$

Paso 3.3.1.2.2

Reescribe la expresión.

$\log (4 y) = 2 x$

Paso 3.4

Reescribe $\log (4 y) = 2 x$ en formato exponencial mediante la definición de un logaritmo. Si $x$ y $b$ son números reales positivos y $b \neq 1$ , entonces $\log_{b} (x) = y$ es equivalente a $b^{y} = x$ .

$10^{2 x} = 4 y$

Paso 3.5

Resuelve $y$

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Paso 3.5.1

Reescribe la ecuación como $4 y = 10^{2 x}$ .

$4 y = 10^{2 x}$

Paso 3.5.2

Divide cada término en $4 y = 10^{2 x}$ por $4$ y simplifica.

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Paso 3.5.2.1

Divide cada término en $4 y = 10^{2 x}$ por $4$ .

$\frac{4 y}{4} = \frac{10^{2 x}}{4}$

Paso 3.5.2.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 3.5.2.2.1

Cancela el factor común de $4$ .

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Paso 3.5.2.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{4 y}{4} = \frac{10^{2 x}}{4}$

Paso 3.5.2.2.1.2

Divide $y$ por $1$ .

$y = \frac{10^{2 x}}{4}$

Paso 4

Reemplaza $y$ con $f^{- 1} (x)$ para ver la respuesta final.

$f^{- 1} (x) = \frac{10^{2 x}}{4}$

Paso 5

Verifica si $f^{- 1} (x) = \frac{10^{2 x}}{4}$ es la inversa de $f (x) = \frac{1}{2} \cdot \log (4 x)$ .

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Paso 5.1

Para verificar la inversa, comprueba si $f^{- 1} (f (x)) = x$ y $f (f^{- 1} (x)) = x$ .

Paso 5.2

Evalúa $f^{- 1} (f (x))$ .

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Paso 5.2.1

Establece la función de resultado compuesta.

$f^{- 1} (f (x))$

Paso 5.2.2

Evalúa $f^{- 1} (\frac{1}{2} \cdot \log (4 x))$ mediante la sustitución del valor de $f$ en $f^{- 1}$ .

$f^{- 1} (\frac{1}{2} \cdot \log (4 x)) = \frac{10^{2 (\frac{1}{2} \cdot \log (4 x))}}{4}$

Paso 5.2.3

Simplifica el numerador.

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Paso 5.2.3.1

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 5.2.3.1.1

Cancela el factor común.

$f^{- 1} (\frac{1}{2} \cdot \log (4 x)) = \frac{10^{2 (\frac{1}{2}) \cdot \log (4 x)}}{4}$

Paso 5.2.3.1.2

Reescribe la expresión.

$f^{- 1} (\frac{1}{2} \cdot \log (4 x)) = \frac{10^{1 \cdot \log (4 x)}}{4}$

Paso 5.2.3.2

Simplifica $1 \cdot \log (4 x)$ al mover $1$ dentro del algoritmo.

$f^{- 1} (\frac{1}{2} \cdot \log (4 x)) = \frac{10^{\log ({(4 x)}^{1})}}{4}$

Paso 5.2.3.3

Potencia y logaritmo son funciones inversas.

$f^{- 1} (\frac{1}{2} \cdot \log (4 x)) = \frac{4 x}{4}$

Paso 5.2.3.4

Simplifica.

$f^{- 1} (\frac{1}{2} \cdot \log (4 x)) = \frac{4 x}{4}$

Paso 5.2.4

Cancela el factor común de $4$ .

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Paso 5.2.4.1

Cancela el factor común.

$f^{- 1} (\frac{1}{2} \cdot \log (4 x)) = \frac{4 x}{4}$

Paso 5.2.4.2

Divide $x$ por $1$ .

$f^{- 1} (\frac{1}{2} \cdot \log (4 x)) = x$

Paso 5.3

Evalúa $f (f^{- 1} (x))$ .

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Paso 5.3.1

Establece la función de resultado compuesta.

$f (f^{- 1} (x))$

Paso 5.3.2

Evalúa $f (\frac{10^{2 x}}{4})$ mediante la sustitución del valor de $f^{- 1}$ en $f$ .

$f (\frac{10^{2 x}}{4}) = \frac{1}{2} \cdot \log (4 (\frac{10^{2 x}}{4}))$

Paso 5.3.3

Cancela el factor común de $4$ .

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Paso 5.3.3.1

Cancela el factor común.

$f (\frac{10^{2 x}}{4}) = \frac{1}{2} \cdot \log (4 (\frac{10^{2 x}}{4}))$

Paso 5.3.3.2

Reescribe la expresión.

$f (\frac{10^{2 x}}{4}) = \frac{1}{2} \cdot \log (10^{2 x})$

Paso 5.3.4

Usa las reglas de logaritmos para mover $2 x$ fuera del exponente.

$f (\frac{10^{2 x}}{4}) = \frac{1}{2} \cdot (2 x \log (10))$

Paso 5.3.5

El logaritmo en base $10$ de $10$ es $1$ .

$f (\frac{10^{2 x}}{4}) = \frac{1}{2} \cdot (2 x \cdot 1)$

Paso 5.3.6

Multiplica $2$ por $1$ .

$f (\frac{10^{2 x}}{4}) = \frac{1}{2} \cdot (2 x)$

Paso 5.3.7

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 5.3.7.1

Factoriza $2$ de $2 x$ .

$f (\frac{10^{2 x}}{4}) = \frac{1}{2} \cdot (2 (x))$

Paso 5.3.7.2

Cancela el factor común.

$f (\frac{10^{2 x}}{4}) = \frac{1}{2} \cdot (2 x)$

Paso 5.3.7.3

Reescribe la expresión.

$f (\frac{10^{2 x}}{4}) = x$

Paso 5.4

Como $f^{- 1} (f (x)) = x$ y $f (f^{- 1} (x)) = x$ , entonces $f^{- 1} (x) = \frac{10^{2 x}}{4}$ es la inversa de $f (x) = \frac{1}{2} \cdot \log (4 x)$ .

$f^{- 1} (x) = \frac{10^{2 x}}{4}$