Matemática discreta Ejemplos

$f (x) = \frac{1}{2} x^{2}$

Paso 1

Escribe $f (x) = \frac{1}{2} x^{2}$ como una ecuación.

$y = \frac{1}{2} x^{2}$

Paso 2

Intercambia las variables.

$x = \frac{1}{2} y^{2}$

Paso 3

Resuelve $y$

Toca para ver más pasos...

Paso 3.1

Reescribe la ecuación como $\frac{1}{2} y^{2} = x$ .

$\frac{1}{2} y^{2} = x$

Paso 3.2

Multiplica ambos lados de la ecuación por $2$ .

$2 (\frac{1}{2} y^{2}) = 2 x$

Paso 3.3

Simplifica el lado izquierdo.

Toca para ver más pasos...

Paso 3.3.1

Simplifica $2 (\frac{1}{2} y^{2})$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 3.3.1.1

Combina $\frac{1}{2}$ y $y^{2}$ .

$2 \frac{y^{2}}{2} = 2 x$

Paso 3.3.1.2

Cancela el factor común de $2$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 3.3.1.2.1

Cancela el factor común.

$2 \frac{y^{2}}{2} = 2 x$

Paso 3.3.1.2.2

Reescribe la expresión.

$y^{2} = 2 x$

Paso 3.4

Calcula la raíz especificada de ambos lados de la ecuación para eliminar el exponente en el lado izquierdo.

$y = \pm \sqrt{2 x}$

Paso 3.5

La solución completa es el resultado de las partes positiva y negativa de la solución.

Toca para ver más pasos...

Paso 3.5.1

Primero, usa el valor positivo de $\pm$ para obtener la primera solución.

$y = \sqrt{2 x}$

Paso 3.5.2

Luego, usa el valor negativo de $\pm$ para obtener la segunda solución.

$y = - \sqrt{2 x}$

Paso 3.5.3

La solución completa es el resultado de las partes positiva y negativa de la solución.

$y = \sqrt{2 x}$

$y = - \sqrt{2 x}$

$y = \sqrt{2 x}$

$y = - \sqrt{2 x}$

$y = \sqrt{2 x}$

$y = - \sqrt{2 x}$

Paso 4

Reemplaza $y$ con $f^{- 1} (x)$ para ver la respuesta final.

$f^{- 1} (x) = \sqrt{2 x}, - \sqrt{2 x}$

Paso 5

Verifica si $f^{- 1} (x) = \sqrt{2 x}, - \sqrt{2 x}$ es la inversa de $f (x) = \frac{1}{2} x^{2}$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 5.1

El dominio de la inversa es el rango de la función original y viceversa. Obtén el dominio y el rango de $f (x) = \frac{1}{2} x^{2}$ y $f^{- 1} (x) = \sqrt{2 x}, - \sqrt{2 x}$ y compáralos.

Paso 5.2

Obtén el rango de $f (x) = \frac{1}{2} x^{2}$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 5.2.1

El rango es el conjunto de todos los valores $y$ válidos. Usa la gráfica para obtener el rango.

Notación de intervalo:

$[0, \infty)$

Paso 5.3

Obtén el dominio de $\sqrt{2 x}$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 5.3.1

Establece el radicando en $\sqrt{2 x}$ mayor o igual que $0$ para obtener el lugar donde está definida la expresión.

$2 x \geq 0$

Paso 5.3.2

Divide cada término en $2 x \geq 0$ por $2$ y simplifica.

Toca para ver más pasos...

Paso 5.3.2.1

Divide cada término en $2 x \geq 0$ por $2$ .

$\frac{2 x}{2} \geq \frac{0}{2}$

Paso 5.3.2.2

Simplifica el lado izquierdo.

Toca para ver más pasos...

Paso 5.3.2.2.1

Cancela el factor común de $2$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 5.3.2.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{2 x}{2} \geq \frac{0}{2}$

Paso 5.3.2.2.1.2

Divide $x$ por $1$ .

$x \geq \frac{0}{2}$

Paso 5.3.2.3

Simplifica el lado derecho.

Toca para ver más pasos...

Paso 5.3.2.3.1

Divide $0$ por $2$ .

$x \geq 0$

Paso 5.3.3

El dominio son todos los valores de $x$ que hacen que la expresión sea definida.

$[0, \infty)$

Paso 5.4

Obtén el dominio de $f (x) = \frac{1}{2} x^{2}$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 5.4.1

El dominio de la expresión son todos números reales, excepto cuando la expresión no está definida. En ese caso, no hay ningún número real que haga que la expresión sea indefinida.

$(- \infty, \infty)$

Paso 5.5

Como el dominio de $f^{- 1} (x) = \sqrt{2 x}, - \sqrt{2 x}$ es el rango de $f (x) = \frac{1}{2} x^{2}$ y el rango de $f^{- 1} (x) = \sqrt{2 x}, - \sqrt{2 x}$ es el dominio de $f (x) = \frac{1}{2} x^{2}$ , entonces $f^{- 1} (x) = \sqrt{2 x}, - \sqrt{2 x}$ es la inversa de $f (x) = \frac{1}{2} x^{2}$ .

$f^{- 1} (x) = \sqrt{2 x}, - \sqrt{2 x}$

Paso 6