Matemática discreta Ejemplos

$C (t) = 60 e^{- 0.14 t}$

Paso 1

Escribe $C (t) = 60 e^{- 0.14 t}$ como una ecuación.

$y = 60 e^{- 0.14 t}$

Paso 2

Intercambia las variables.

$t = 60 e^{- 0.14 y}$

Paso 3

Resuelve $y$

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Paso 3.1

Reescribe la ecuación como $60 e^{- 0.14 y} = t$ .

$60 e^{- 0.14 y} = t$

Paso 3.2

Divide cada término en $60 e^{- 0.14 y} = t$ por $60$ y simplifica.

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Paso 3.2.1

Divide cada término en $60 e^{- 0.14 y} = t$ por $60$ .

$\frac{60 e^{- 0.14 y}}{60} = \frac{t}{60}$

Paso 3.2.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 3.2.2.1

Cancela el factor común de $60$ .

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Paso 3.2.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{60 e^{- 0.14 y}}{60} = \frac{t}{60}$

Paso 3.2.2.1.2

Divide $e^{- 0.14 y}$ por $1$ .

$e^{- 0.14 y} = \frac{t}{60}$

Paso 3.3

Resta el logaritmo natural de ambos lados de la ecuación para eliminar la variable del exponente.

$\ln (e^{- 0.14 y}) = \ln (\frac{t}{60})$

Paso 3.4

Expande el lado izquierdo.

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Paso 3.4.1

Expande $\ln (e^{- 0.14 y})$ ; para ello, mueve $- 0.14 y$ fuera del logaritmo.

$- 0.14 y \ln (e) = \ln (\frac{t}{60})$

Paso 3.4.2

El logaritmo natural de $e$ es $1$ .

$- 0.14 y \cdot 1 = \ln (\frac{t}{60})$

Paso 3.4.3

Multiplica $- 0.14$ por $1$ .

$- 0.14 y = \ln (\frac{t}{60})$

Paso 3.5

Divide cada término en $- 0.14 y = \ln (\frac{t}{60})$ por $- 0.14$ y simplifica.

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Paso 3.5.1

Divide cada término en $- 0.14 y = \ln (\frac{t}{60})$ por $- 0.14$ .

$\frac{- 0.14 y}{- 0.14} = \frac{\ln (\frac{t}{60})}{- 0.14}$

Paso 3.5.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 3.5.2.1

Cancela el factor común de $- 0.14$ .

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Paso 3.5.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{- 0.14 y}{- 0.14} = \frac{\ln (\frac{t}{60})}{- 0.14}$

Paso 3.5.2.1.2

Divide $y$ por $1$ .

$y = \frac{\ln (\frac{t}{60})}{- 0.14}$

Paso 3.5.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 3.5.3.1

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$y = - \frac{\ln (\frac{t}{60})}{0.14}$

Paso 3.5.3.2

Multiplica por $1$ .

$y = - \frac{1 \ln (\frac{t}{60})}{0.14}$

Paso 3.5.3.3

Factoriza $0.14$ de $0.14$ .

$y = - \frac{1 \ln (\frac{t}{60})}{0.14 (1)}$

Paso 3.5.3.4

Separa las fracciones.

$y = - (\frac{1}{0.14} \cdot \frac{\ln (\frac{t}{60})}{1})$

Paso 3.5.3.5

Divide $1$ por $0.14$ .

$y = - (7.\overline{142857} \frac{\ln (\frac{t}{60})}{1})$

Paso 3.5.3.6

Divide $\ln (\frac{t}{60})$ por $1$ .

$y = - (7.\overline{142857} \ln (\frac{t}{60}))$

Paso 3.5.3.7

Multiplica $7.\overline{142857}$ por $- 1$ .

$y = - 7.\overline{142857} \ln (\frac{t}{60})$

Paso 4

Replace $y$ with $C^{- 1} (t)$ to show the final answer.

$C^{- 1} (t) = - 7.\overline{142857} \ln (\frac{t}{60})$

Paso 5

Verifica si $C^{- 1} (t) = - 7.\overline{142857} \ln (\frac{t}{60})$ es la inversa de $C (t) = 60 e^{- 0.14 t}$ .

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Paso 5.1

Para verificar la inversa, comprueba si $C^{- 1} (C (t)) = t$ y $C (C^{- 1} (t)) = t$ .

Paso 5.2

Evalúa $C^{- 1} (C (t))$ .

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Paso 5.2.1

Establece la función de resultado compuesta.

$C^{- 1} (C (t))$

Paso 5.2.2

Evalúa $C^{- 1} (60 e^{- 0.14 t})$ mediante la sustitución del valor de $C$ en $C^{- 1}$ .

$C^{- 1} (60 e^{- 0.14 t}) = - 7.\overline{142857} \ln (\frac{60 e^{- 0.14 t}}{60})$

Paso 5.2.3

Cancela el factor común de $60$ .

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Paso 5.2.3.1

Cancela el factor común.

$C^{- 1} (60 e^{- 0.14 t}) = - 7.\overline{142857} \ln (\frac{60 e^{- 0.14 t}}{60})$

Paso 5.2.3.2

Divide $e^{- 0.14 t}$ por $1$ .

$C^{- 1} (60 e^{- 0.14 t}) = - 7.\overline{142857} \ln (e^{- 0.14 t})$

Paso 5.2.4

Usa las reglas de logaritmos para mover $- 0.14 t$ fuera del exponente.

$C^{- 1} (60 e^{- 0.14 t}) = - 7.\overline{142857} (- 0.14 t \ln (e))$

Paso 5.2.5

El logaritmo natural de $e$ es $1$ .

$C^{- 1} (60 e^{- 0.14 t}) = - 7.\overline{142857} (- 0.14 t \cdot 1)$

Paso 5.2.6

Multiplica $- 0.14$ por $1$ .

$C^{- 1} (60 e^{- 0.14 t}) = - 7.\overline{142857} (- 0.14 t)$

Paso 5.2.7

Multiplica $- 7.\overline{142857} (- 0.14 t)$ .

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Paso 5.2.7.1

Multiplica $- 0.14$ por $- 7.\overline{142857}$ .

$C^{- 1} (60 e^{- 0.14 t}) = 1 t$

Paso 5.2.7.2

Multiplica $t$ por $1$ .

$C^{- 1} (60 e^{- 0.14 t}) = t$

Paso 5.3

Evalúa $C (C^{- 1} (t))$ .

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Paso 5.3.1

Establece la función de resultado compuesta.

$C (C^{- 1} (t))$

Paso 5.3.2

Evalúa $C (- 7.\overline{142857} \ln (\frac{t}{60}))$ mediante la sustitución del valor de $C^{- 1}$ en $C$ .

$C (- 7.\overline{142857} \ln (\frac{t}{60})) = 60 e^{- 0.14 (- 7.\overline{142857} \ln (\frac{t}{60}))}$

Paso 5.3.3

Simplifica $- 7.\overline{142857} \ln (\frac{t}{60})$ al mover $7.\overline{142857}$ dentro del algoritmo.

$C (- 7.\overline{142857} \ln (\frac{t}{60})) = 60 e^{- 0.14 (- \ln ({(\frac{t}{60})}^{7.\overline{142857}}))}$

Paso 5.3.4

Aplica la regla del producto a $\frac{t}{60}$ .

$C (- 7.\overline{142857} \ln (\frac{t}{60})) = 60 e^{- 0.14 (- \ln (\frac{t^{7.\overline{142857}}}{60^{7.\overline{142857}}}))}$

Paso 5.3.5

Eleva $60$ a la potencia de $7.\overline{142857}$ .

$C (- 7.\overline{142857} \ln (\frac{t}{60})) = 60 e^{- 0.14 (- \ln (\frac{t^{7.\overline{142857}}}{5024355493192.33}))}$

Paso 5.3.6

Multiplica por $1$ .

$C (- 7.\overline{142857} \ln (\frac{t}{60})) = 60 e^{- 0.14 (- \ln (\frac{1 t^{7.\overline{142857}}}{5024355493192.33}))}$

Paso 5.3.7

Factoriza $5024355493192.33$ de $5024355493192.33$ .

$C (- 7.\overline{142857} \ln (\frac{t}{60})) = 60 e^{- 0.14 (- \ln (\frac{1 t^{7.\overline{142857}}}{5024355493192.33 (1)}))}$

Paso 5.3.8

Separa las fracciones.

$C (- 7.\overline{142857} \ln (\frac{t}{60})) = 60 e^{- 0.14 (- \ln (\frac{1}{5024355493192.33} \cdot \frac{t^{7.\overline{142857}}}{1}))}$

Paso 5.3.9

Divide $1$ por $5024355493192.33$ .

$C (- 7.\overline{142857} \ln (\frac{t}{60})) = 60 e^{- 0.14 (- \ln (0 (\frac{t^{7.\overline{142857}}}{1})))}$

Paso 5.3.10

Divide $t^{7.\overline{142857}}$ por $1$ .

$C (- 7.\overline{142857} \ln (\frac{t}{60})) = 60 e^{- 0.14 (- \ln (0 t^{7.\overline{142857}}))}$

Paso 5.3.11

Multiplica $- 0.14 (- \ln (0 t^{7.\overline{142857}}))$ .

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Paso 5.3.11.1

Multiplica $- 1$ por $- 0.14$ .

$C (- 7.\overline{142857} \ln (\frac{t}{60})) = 60 e^{0.14 \ln (0 t^{7.\overline{142857}})}$

Paso 5.3.11.2

Simplifica $0.14 \ln (0 t^{7.\overline{142857}})$ al mover $0.14$ dentro del algoritmo.

$C (- 7.\overline{142857} \ln (\frac{t}{60})) = 60 e^{\ln ({(0 t^{7.\overline{142857}})}^{0.14})}$

Paso 5.3.12

Potencia y logaritmo son funciones inversas.

$C (- 7.\overline{142857} \ln (\frac{t}{60})) = 60 {(0 t^{7.\overline{142857}})}^{0.14}$

Paso 5.3.13

Aplica la regla del producto a $0 t^{7.\overline{142857}}$ .

$C (- 7.\overline{142857} \ln (\frac{t}{60})) = 60 (0^{0.14} {(t^{7.\overline{142857}})}^{0.14})$

Paso 5.3.14

Eleva $0$ a la potencia de $0.14$ .

$C (- 7.\overline{142857} \ln (\frac{t}{60})) = 60 (0.01\overline{6} {(t^{7.\overline{142857}})}^{0.14})$

Paso 5.3.15

Multiplica los exponentes en ${(t^{7.\overline{142857}})}^{0.14}$ .

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Paso 5.3.15.1

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$C (- 7.\overline{142857} \ln (\frac{t}{60})) = 60 (0.01\overline{6} t^{7.\overline{142857} \cdot 0.14})$

Paso 5.3.15.2

Multiplica $7.\overline{142857}$ por $0.14$ .

$C (- 7.\overline{142857} \ln (\frac{t}{60})) = 60 (0.01\overline{6} t)$

Paso 5.3.16

Multiplica $0.01\overline{6}$ por $60$ .

$C (- 7.\overline{142857} \ln (\frac{t}{60})) = 1 t$

Paso 5.4

Como $C^{- 1} (C (t)) = t$ y $C (C^{- 1} (t)) = t$ , entonces $C^{- 1} (t) = - 7.\overline{142857} \ln (\frac{t}{60})$ es la inversa de $C (t) = 60 e^{- 0.14 t}$ .

$C^{- 1} (t) = - 7.\overline{142857} \ln (\frac{t}{60})$