Matemática discreta Ejemplos

$25 x + 15 y = 975$

Paso 1

Resta $25 x$ de ambos lados de la ecuación.

$15 y = 975 - 25 x$

Paso 2

Divide cada término en $15 y = 975 - 25 x$ por $15$ y simplifica.

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Paso 2.1

Divide cada término en $15 y = 975 - 25 x$ por $15$ .

$\frac{15 y}{15} = \frac{975}{15} + \frac{- 25 x}{15}$

Paso 2.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 2.2.1

Cancela el factor común de $15$ .

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Paso 2.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{15 y}{15} = \frac{975}{15} + \frac{- 25 x}{15}$

Paso 2.2.1.2

Divide $y$ por $1$ .

$y = \frac{975}{15} + \frac{- 25 x}{15}$

Paso 2.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 2.3.1

Simplifica cada término.

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Paso 2.3.1.1

Divide $975$ por $15$ .

$y = 65 + \frac{- 25 x}{15}$

Paso 2.3.1.2

Cancela el factor común de $- 25$ y $15$ .

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Paso 2.3.1.2.1

Factoriza $5$ de $- 25 x$ .

$y = 65 + \frac{5 (- 5 x)}{15}$

Paso 2.3.1.2.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 2.3.1.2.2.1

Factoriza $5$ de $15$ .

$y = 65 + \frac{5 (- 5 x)}{5 (3)}$

Paso 2.3.1.2.2.2

Cancela el factor común.

$y = 65 + \frac{5 (- 5 x)}{5 \cdot 3}$

Paso 2.3.1.2.2.3

Reescribe la expresión.

$y = 65 + \frac{- 5 x}{3}$

Paso 2.3.1.3

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$y = 65 - \frac{5 x}{3}$

Paso 3

Intercambia las variables.

$x = 65 - \frac{5 y}{3}$

Paso 4

Resuelve $y$

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Paso 4.1

Reescribe la ecuación como $65 - \frac{5 y}{3} = x$ .

$65 - \frac{5 y}{3} = x$

Paso 4.2

Resta $65$ de ambos lados de la ecuación.

$- \frac{5 y}{3} = x - 65$

Paso 4.3

Multiplica ambos lados de la ecuación por $- \frac{3}{5}$ .

$- \frac{3}{5} (- \frac{5 y}{3}) = - \frac{3}{5} (x - 65)$

Paso 4.4

Simplifica ambos lados de la ecuación.

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Paso 4.4.1

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 4.4.1.1

Simplifica $- \frac{3}{5} (- \frac{5 y}{3})$ .

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Paso 4.4.1.1.1

Cancela el factor común de $3$ .

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Paso 4.4.1.1.1.1

Mueve el signo menos inicial en $- \frac{3}{5}$ al numerador.

$\frac{- 3}{5} (- \frac{5 y}{3}) = - \frac{3}{5} (x - 65)$

Paso 4.4.1.1.1.2

Mueve el signo menos inicial en $- \frac{5 y}{3}$ al numerador.

$\frac{- 3}{5} \cdot \frac{- 5 y}{3} = - \frac{3}{5} (x - 65)$

Paso 4.4.1.1.1.3

Factoriza $3$ de $- 3$ .

$\frac{3 (- 1)}{5} \cdot \frac{- 5 y}{3} = - \frac{3}{5} (x - 65)$

Paso 4.4.1.1.1.4

Cancela el factor común.

$\frac{3 \cdot - 1}{5} \cdot \frac{- 5 y}{3} = - \frac{3}{5} (x - 65)$

Paso 4.4.1.1.1.5

Reescribe la expresión.

$\frac{- 1}{5} (- 5 y) = - \frac{3}{5} (x - 65)$

Paso 4.4.1.1.2

Cancela el factor común de $5$ .

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Paso 4.4.1.1.2.1

Factoriza $5$ de $- 5 y$ .

$\frac{- 1}{5} (5 (- y)) = - \frac{3}{5} (x - 65)$

Paso 4.4.1.1.2.2

Cancela el factor común.

$\frac{- 1}{5} (5 (- y)) = - \frac{3}{5} (x - 65)$

Paso 4.4.1.1.2.3

Reescribe la expresión.

$- - y = - \frac{3}{5} (x - 65)$

Paso 4.4.1.1.3

Multiplica.

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Paso 4.4.1.1.3.1

Multiplica $- 1$ por $- 1$ .

$1 y = - \frac{3}{5} (x - 65)$

Paso 4.4.1.1.3.2

Multiplica $y$ por $1$ .

$y = - \frac{3}{5} (x - 65)$

Paso 4.4.2

Simplifica el lado derecho.

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Paso 4.4.2.1

Simplifica $- \frac{3}{5} (x - 65)$ .

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Paso 4.4.2.1.1

Simplifica los términos.

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Paso 4.4.2.1.1.1

Aplica la propiedad distributiva.

$y = - \frac{3}{5} x - \frac{3}{5} \cdot - 65$

Paso 4.4.2.1.1.2

Combina $x$ y $\frac{3}{5}$ .

$y = - \frac{x \cdot 3}{5} - \frac{3}{5} \cdot - 65$

Paso 4.4.2.1.1.3

Cancela el factor común de $5$ .

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Paso 4.4.2.1.1.3.1

Mueve el signo menos inicial en $- \frac{3}{5}$ al numerador.

$y = - \frac{x \cdot 3}{5} + \frac{- 3}{5} \cdot - 65$

Paso 4.4.2.1.1.3.2

Factoriza $5$ de $- 65$ .

$y = - \frac{x \cdot 3}{5} + \frac{- 3}{5} \cdot (5 (- 13))$

Paso 4.4.2.1.1.3.3

Cancela el factor común.

$y = - \frac{x \cdot 3}{5} + \frac{- 3}{5} \cdot (5 \cdot - 13)$

Paso 4.4.2.1.1.3.4

Reescribe la expresión.

$y = - \frac{x \cdot 3}{5} - 3 \cdot - 13$

Paso 4.4.2.1.1.4

Multiplica $- 3$ por $- 13$ .

$y = - \frac{x \cdot 3}{5} + 39$

Paso 4.4.2.1.2

Mueve $3$ a la izquierda de $x$ .

$y = - \frac{3 x}{5} + 39$

Paso 5

Replace $y$ with $f^{- 1} (x)$ to show the final answer.

$f^{- 1} (x) = - \frac{3 x}{5} + 39$

Paso 6

Verifica si $f^{- 1} (x) = - \frac{3 x}{5} + 39$ es la inversa de $f (x) = 65 - \frac{5 x}{3}$ .

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Paso 6.1

Para verificar la inversa, comprueba si $f^{- 1} (f (x)) = x$ y $f (f^{- 1} (x)) = x$ .

Paso 6.2

Evalúa $f^{- 1} (f (x))$ .

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Paso 6.2.1

Establece la función de resultado compuesta.

$f^{- 1} (f (x))$

Paso 6.2.2

Evalúa $f^{- 1} (65 - \frac{5 x}{3})$ mediante la sustitución del valor de $f$ en $f^{- 1}$ .

$f^{- 1} (65 - \frac{5 x}{3}) = - \frac{3 (65 - \frac{5 x}{3})}{5} + 39$

Paso 6.2.3

Simplifica cada término.

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Paso 6.2.3.1

Cancela el factor común de $65 - \frac{5 x}{3}$ y $5$ .

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Paso 6.2.3.1.1

Factoriza $5$ de $3 (65 - \frac{5 x}{3})$ .

$f^{- 1} (65 - \frac{5 x}{3}) = - \frac{5 (3 (13 - \frac{x}{3}))}{5} + 39$

Paso 6.2.3.1.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 6.2.3.1.2.1

Factoriza $5$ de $5$ .

$f^{- 1} (65 - \frac{5 x}{3}) = - \frac{5 (3 (13 - \frac{x}{3}))}{5 (1)} + 39$

Paso 6.2.3.1.2.2

Cancela el factor común.

$f^{- 1} (65 - \frac{5 x}{3}) = - \frac{5 (3 (13 - \frac{x}{3}))}{5 \cdot 1} + 39$

Paso 6.2.3.1.2.3

Reescribe la expresión.

$f^{- 1} (65 - \frac{5 x}{3}) = - \frac{3 (13 - \frac{x}{3})}{1} + 39$

Paso 6.2.3.1.2.4

Divide $3 (13 - \frac{x}{3})$ por $1$ .

$f^{- 1} (65 - \frac{5 x}{3}) = - (3 (13 - \frac{x}{3})) + 39$

Paso 6.2.3.2

Aplica la propiedad distributiva.

$f^{- 1} (65 - \frac{5 x}{3}) = - (3 \cdot 13 + 3 (- \frac{x}{3})) + 39$

Paso 6.2.3.3

Multiplica $3$ por $13$ .

$f^{- 1} (65 - \frac{5 x}{3}) = - (39 + 3 (- \frac{x}{3})) + 39$

Paso 6.2.3.4

Cancela el factor común de $3$ .

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Paso 6.2.3.4.1

Mueve el signo menos inicial en $- \frac{x}{3}$ al numerador.

$f^{- 1} (65 - \frac{5 x}{3}) = - (39 + 3 (\frac{- x}{3})) + 39$

Paso 6.2.3.4.2

Cancela el factor común.

$f^{- 1} (65 - \frac{5 x}{3}) = - (39 + 3 (\frac{- x}{3})) + 39$

Paso 6.2.3.4.3

Reescribe la expresión.

$f^{- 1} (65 - \frac{5 x}{3}) = - (39 - x) + 39$

Paso 6.2.3.5

Aplica la propiedad distributiva.

$f^{- 1} (65 - \frac{5 x}{3}) = - 1 \cdot 39 + x + 39$

Paso 6.2.3.6

Multiplica $- 1$ por $39$ .

$f^{- 1} (65 - \frac{5 x}{3}) = - 39 + x + 39$

Paso 6.2.3.7

Multiplica $- - x$ .

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Paso 6.2.3.7.1

Multiplica $- 1$ por $- 1$ .

$f^{- 1} (65 - \frac{5 x}{3}) = - 39 + 1 x + 39$

Paso 6.2.3.7.2

Multiplica $x$ por $1$ .

$f^{- 1} (65 - \frac{5 x}{3}) = - 39 + x + 39$

Paso 6.2.4

Combina los términos opuestos en $- 39 + x + 39$ .

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Paso 6.2.4.1

Suma $- 39$ y $39$ .

$f^{- 1} (65 - \frac{5 x}{3}) = x + 0$

Paso 6.2.4.2

Suma $x$ y $0$ .

$f^{- 1} (65 - \frac{5 x}{3}) = x$

Paso 6.3

Evalúa $f (f^{- 1} (x))$ .

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Paso 6.3.1

Establece la función de resultado compuesta.

$f (f^{- 1} (x))$

Paso 6.3.2

Evalúa $f (- \frac{3 x}{5} + 39)$ mediante la sustitución del valor de $f^{- 1}$ en $f$ .

$f (- \frac{3 x}{5} + 39) = 65 - \frac{5 (- \frac{3 x}{5} + 39)}{3}$

Paso 6.3.3

Simplifica cada término.

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Paso 6.3.3.1

Cancela el factor común de $- \frac{3 x}{5} + 39$ y $3$ .

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Paso 6.3.3.1.1

Factoriza $3$ de $5 (- \frac{3 x}{5} + 39)$ .

$f (- \frac{3 x}{5} + 39) = 65 - \frac{3 (5 (- \frac{x}{5} + 13))}{3}$

Paso 6.3.3.1.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 6.3.3.1.2.1

Factoriza $3$ de $3$ .

$f (- \frac{3 x}{5} + 39) = 65 - \frac{3 (5 (- \frac{x}{5} + 13))}{3 (1)}$

Paso 6.3.3.1.2.2

Cancela el factor común.

$f (- \frac{3 x}{5} + 39) = 65 - \frac{3 (5 (- \frac{x}{5} + 13))}{3 \cdot 1}$

Paso 6.3.3.1.2.3

Reescribe la expresión.

$f (- \frac{3 x}{5} + 39) = 65 - \frac{5 (- \frac{x}{5} + 13)}{1}$

Paso 6.3.3.1.2.4

Divide $5 (- \frac{x}{5} + 13)$ por $1$ .

$f (- \frac{3 x}{5} + 39) = 65 - (5 (- \frac{x}{5} + 13))$

Paso 6.3.3.2

Aplica la propiedad distributiva.

$f (- \frac{3 x}{5} + 39) = 65 - (5 (- \frac{x}{5}) + 5 \cdot 13)$

Paso 6.3.3.3

Cancela el factor común de $5$ .

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Paso 6.3.3.3.1

Mueve el signo menos inicial en $- \frac{x}{5}$ al numerador.

$f (- \frac{3 x}{5} + 39) = 65 - (5 (\frac{- x}{5}) + 5 \cdot 13)$

Paso 6.3.3.3.2

Cancela el factor común.

$f (- \frac{3 x}{5} + 39) = 65 - (5 (\frac{- x}{5}) + 5 \cdot 13)$

Paso 6.3.3.3.3

Reescribe la expresión.

$f (- \frac{3 x}{5} + 39) = 65 - (- x + 5 \cdot 13)$

Paso 6.3.3.4

Multiplica $5$ por $13$ .

$f (- \frac{3 x}{5} + 39) = 65 - (- x + 65)$

Paso 6.3.3.5

Aplica la propiedad distributiva.

$f (- \frac{3 x}{5} + 39) = 65 + x - 1 \cdot 65$

Paso 6.3.3.6

Multiplica $- - x$ .

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Paso 6.3.3.6.1

Multiplica $- 1$ por $- 1$ .

$f (- \frac{3 x}{5} + 39) = 65 + 1 x - 1 \cdot 65$

Paso 6.3.3.6.2

Multiplica $x$ por $1$ .

$f (- \frac{3 x}{5} + 39) = 65 + x - 1 \cdot 65$

Paso 6.3.3.7

Multiplica $- 1$ por $65$ .

$f (- \frac{3 x}{5} + 39) = 65 + x - 65$

Paso 6.3.4

Combina los términos opuestos en $65 + x - 65$ .

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Paso 6.3.4.1

Resta $65$ de $65$ .

$f (- \frac{3 x}{5} + 39) = x + 0$

Paso 6.3.4.2

Suma $x$ y $0$ .

$f (- \frac{3 x}{5} + 39) = x$

Paso 6.4

Como $f^{- 1} (f (x)) = x$ y $f (f^{- 1} (x)) = x$ , entonces $f^{- 1} (x) = - \frac{3 x}{5} + 39$ es la inversa de $f (x) = 65 - \frac{5 x}{3}$ .

$f^{- 1} (x) = - \frac{3 x}{5} + 39$