Matemática discreta Ejemplos

$P (x) = - 0.4 x^{2} + 80 \cdot 50 - 1600$

Paso 1

Escribe $P (x) = - 0.4 x^{2} + 80 \cdot 50 - 1600$ como una ecuación.

$y = - 0.4 x^{2} + 80 \cdot 50 - 1600$

Paso 2

Intercambia las variables.

$x = - 0.4 y^{2} + 80 \cdot 50 - 1600$

Paso 3

Resuelve $y$

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Paso 3.1

Reescribe la ecuación como $- 0.4 y^{2} + 80 \cdot 50 - 1600 = x$ .

$- 0.4 y^{2} + 80 \cdot 50 - 1600 = x$

Paso 3.2

Simplifica $- 0.4 y^{2} + 80 \cdot 50 - 1600$ .

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Paso 3.2.1

Multiplica $80$ por $50$ .

$- 0.4 y^{2} + 4000 - 1600 = x$

Paso 3.2.2

Resta $1600$ de $4000$ .

$- 0.4 y^{2} + 2400 = x$

Paso 3.3

Resta $2400$ de ambos lados de la ecuación.

$- 0.4 y^{2} = x - 2400$

Paso 3.4

Divide cada término en $- 0.4 y^{2} = x - 2400$ por $- 0.4$ y simplifica.

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Paso 3.4.1

Divide cada término en $- 0.4 y^{2} = x - 2400$ por $- 0.4$ .

$\frac{- 0.4 y^{2}}{- 0.4} = \frac{x}{- 0.4} + \frac{- 2400}{- 0.4}$

Paso 3.4.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 3.4.2.1

Cancela el factor común de $- 0.4$ .

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Paso 3.4.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{- 0.4 y^{2}}{- 0.4} = \frac{x}{- 0.4} + \frac{- 2400}{- 0.4}$

Paso 3.4.2.1.2

Divide $y^{2}$ por $1$ .

$y^{2} = \frac{x}{- 0.4} + \frac{- 2400}{- 0.4}$

Paso 3.4.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 3.4.3.1

Simplifica cada término.

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Paso 3.4.3.1.1

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$y^{2} = - \frac{x}{0.4} + \frac{- 2400}{- 0.4}$

Paso 3.4.3.1.2

Multiplica por $1$ .

$y^{2} = - \frac{1 x}{0.4} + \frac{- 2400}{- 0.4}$

Paso 3.4.3.1.3

Factoriza $0.4$ de $0.4$ .

$y^{2} = - \frac{1 x}{0.4 (1)} + \frac{- 2400}{- 0.4}$

Paso 3.4.3.1.4

Separa las fracciones.

$y^{2} = - (\frac{1}{0.4} \cdot \frac{x}{1}) + \frac{- 2400}{- 0.4}$

Paso 3.4.3.1.5

Divide $1$ por $0.4$ .

$y^{2} = - (2.5 \frac{x}{1}) + \frac{- 2400}{- 0.4}$

Paso 3.4.3.1.6

Divide $x$ por $1$ .

$y^{2} = - (2.5 x) + \frac{- 2400}{- 0.4}$

Paso 3.4.3.1.7

Multiplica $2.5$ por $- 1$ .

$y^{2} = - 2.5 x + \frac{- 2400}{- 0.4}$

Paso 3.4.3.1.8

Divide $- 2400$ por $- 0.4$ .

$y^{2} = - 2.5 x + 6000$

Paso 3.5

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$y = \pm \sqrt{- 2.5 x + 6000}$

Paso 3.6

Simplifica $\pm \sqrt{- 2.5 x + 6000}$ .

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Paso 3.6.1

Factoriza $2.5$ de $- 2.5 x + 6000$ .

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Paso 3.6.1.1

Factoriza $2.5$ de $- 2.5 x$ .

$y = \pm \sqrt{2.5 (- x) + 6000}$

Paso 3.6.1.2

Factoriza $2.5$ de $6000$ .

$y = \pm \sqrt{2.5 (- x) + 2.5 (2400)}$

Paso 3.6.1.3

Factoriza $2.5$ de $2.5 (- x) + 2.5 (2400)$ .

$y = \pm \sqrt{2.5 (- x + 2400)}$

Paso 3.6.2

Reescribe $2.5 (- x + 2400)$ como ${({1.25743342}^{2})}^{2} (- x + 2400)$ .

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Paso 3.6.2.1

Reescribe $2.5$ como ${1.58113883}^{2}$ .

$y = \pm \sqrt{{1.58113883}^{2} (- x + 2400)}$

Paso 3.6.2.2

Reescribe $1.58113883$ como ${1.25743342}^{2}$ .

$y = \pm \sqrt{{({1.25743342}^{2})}^{2} (- x + 2400)}$

Paso 3.6.3

Retira los términos de abajo del radical.

$y = \pm {1.25743342}^{2} \sqrt{- x + 2400}$

Paso 3.6.4

Eleva $1.25743342$ a la potencia de $2$ .

$y = \pm 1.58113883 \sqrt{- x + 2400}$

Paso 3.7

La solución completa es el resultado de las partes positiva y negativa de la solución.

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Paso 3.7.1

Primero, usa el valor positivo de $\pm$ para obtener la primera solución.

$y = 1.58113883 \sqrt{- x + 2400}$

Paso 3.7.2

Luego, usa el valor negativo de $\pm$ para obtener la segunda solución.

$y = - 1.58113883 \sqrt{- x + 2400}$

Paso 3.7.3

La solución completa es el resultado de las partes positiva y negativa de la solución.

$y = 1.58113883 \sqrt{- x + 2400}$

$y = - 1.58113883 \sqrt{- x + 2400}$

$y = 1.58113883 \sqrt{- x + 2400}$

$y = - 1.58113883 \sqrt{- x + 2400}$

$y = 1.58113883 \sqrt{- x + 2400}$

$y = - 1.58113883 \sqrt{- x + 2400}$

Paso 4

Replace $y$ with $P^{- 1} (x)$ to show the final answer.

$P^{- 1} (x) = 1.58113883 \sqrt{- x + 2400}, - 1.58113883 \sqrt{- x + 2400}$

Paso 5

Verifica si $P^{- 1} (x) = 1.58113883 \sqrt{- x + 2400}, - 1.58113883 \sqrt{- x + 2400}$ es la inversa de $P (x) = - 0.4 x^{2} + 80 \cdot 50 - 1600$ .

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Paso 5.1

El dominio de la inversa es el rango de la función original y viceversa. Obtén el dominio y el rango de $P (x) = - 0.4 x^{2} + 80 \cdot 50 - 1600$ y $P^{- 1} (x) = 1.58113883 \sqrt{- x + 2400}, - 1.58113883 \sqrt{- x + 2400}$ y compáralos.

Paso 5.2

Obtén el rango de $P (x) = - 0.4 x^{2} + 80 \cdot 50 - 1600$ .

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Paso 5.2.1

El rango es el conjunto de todos los valores $y$ válidos. Usa la gráfica para obtener el rango.

Notación de intervalo:

$(- \infty, 2400]$

Paso 5.3

Obtén el dominio de $1.58113883 \sqrt{- x + 2400}$ .

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Paso 5.3.1

Establece el radicando en $\sqrt{- x + 2400}$ mayor o igual que $0$ para obtener el lugar donde está definida la expresión.

$- x + 2400 \geq 0$

Paso 5.3.2

Resuelve $x$

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Paso 5.3.2.1

Resta $2400$ de ambos lados de la desigualdad.

$- x \geq - 2400$

Paso 5.3.2.2

Divide cada término en $- x \geq - 2400$ por $- 1$ y simplifica.

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Paso 5.3.2.2.1

Divide cada término de $- x \geq - 2400$ por $- 1$ . Cuando multipliques o dividas ambos lados de una desigualdad por un valor negativo, cambia la dirección del signo de desigualdad.

$\frac{- x}{- 1} \leq \frac{- 2400}{- 1}$

Paso 5.3.2.2.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 5.3.2.2.2.1

La división de dos valores negativos da como resultado un valor positivo.

$\frac{x}{1} \leq \frac{- 2400}{- 1}$

Paso 5.3.2.2.2.2

Divide $x$ por $1$ .

$x \leq \frac{- 2400}{- 1}$

Paso 5.3.2.2.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 5.3.2.2.3.1

Divide $- 2400$ por $- 1$ .

$x \leq 2400$

Paso 5.3.3

El dominio son todos los valores de $x$ que hacen que la expresión sea definida.

$(- \infty, 2400]$

Paso 5.4

Obtén el dominio de $P (x) = - 0.4 x^{2} + 80 \cdot 50 - 1600$ .

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Paso 5.4.1

El dominio de la expresión son todos números reales, excepto cuando la expresión no está definida. En ese caso, no hay ningún número real que haga que la expresión sea indefinida.

$(- \infty, \infty)$

Paso 5.5

Como el dominio de $P^{- 1} (x) = 1.58113883 \sqrt{- x + 2400}, - 1.58113883 \sqrt{- x + 2400}$ es el rango de $P (x) = - 0.4 x^{2} + 80 \cdot 50 - 1600$ y el rango de $P^{- 1} (x) = 1.58113883 \sqrt{- x + 2400}, - 1.58113883 \sqrt{- x + 2400}$ es el dominio de $P (x) = - 0.4 x^{2} + 80 \cdot 50 - 1600$ , entonces $P^{- 1} (x) = 1.58113883 \sqrt{- x + 2400}, - 1.58113883 \sqrt{- x + 2400}$ es la inversa de $P (x) = - 0.4 x^{2} + 80 \cdot 50 - 1600$ .

$P^{- 1} (x) = 1.58113883 \sqrt{- x + 2400}, - 1.58113883 \sqrt{- x + 2400}$

Paso 6