Matemática discreta Ejemplos

$P (x) = 15 \sqrt{x - 1} + 3$

Paso 1

Escribe $P (x) = 15 \sqrt{x - 1} + 3$ como una ecuación.

$y = 15 \sqrt{x - 1} + 3$

Paso 2

Intercambia las variables.

$x = 15 \sqrt{y - 1} + 3$

Paso 3

Resuelve $y$

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Paso 3.1

Reescribe la ecuación como $15 \sqrt{y - 1} + 3 = x$ .

$15 \sqrt{y - 1} + 3 = x$

Paso 3.2

Resta $3$ de ambos lados de la ecuación.

$15 \sqrt{y - 1} = x - 3$

Paso 3.3

Para eliminar el radical en el lazo izquierdo de la ecuación, eleva al cuadrado ambos lados de la ecuación.

${(15 \sqrt{y - 1})}^{2} = {(x - 3)}^{2}$

Paso 3.4

Simplifica cada lado de la ecuación.

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Paso 3.4.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{y - 1}$ como ${(y - 1)}^{\frac{1}{2}}$ .

${(15 {(y - 1)}^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(x - 3)}^{2}$

Paso 3.4.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 3.4.2.1

Simplifica ${(15 {(y - 1)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Paso 3.4.2.1.1

Aplica la regla del producto a $15 {(y - 1)}^{\frac{1}{2}}$ .

$15^{2} {({(y - 1)}^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(x - 3)}^{2}$

Paso 3.4.2.1.2

Eleva $15$ a la potencia de $2$ .

$225 {({(y - 1)}^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(x - 3)}^{2}$

Paso 3.4.2.1.3

Multiplica los exponentes en ${({(y - 1)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Paso 3.4.2.1.3.1

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$225 {(y - 1)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(x - 3)}^{2}$

Paso 3.4.2.1.3.2

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 3.4.2.1.3.2.1

Cancela el factor común.

$225 {(y - 1)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(x - 3)}^{2}$

Paso 3.4.2.1.3.2.2

Reescribe la expresión.

$225 {(y - 1)}^{1} = {(x - 3)}^{2}$

Paso 3.4.2.1.4

Simplifica.

$225 (y - 1) = {(x - 3)}^{2}$

Paso 3.4.2.1.5

Aplica la propiedad distributiva.

$225 y + 225 \cdot - 1 = {(x - 3)}^{2}$

Paso 3.4.2.1.6

Multiplica $225$ por $- 1$ .

$225 y - 225 = {(x - 3)}^{2}$

Paso 3.4.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 3.4.3.1

Simplifica ${(x - 3)}^{2}$ .

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Paso 3.4.3.1.1

Reescribe ${(x - 3)}^{2}$ como $(x - 3) (x - 3)$ .

$225 y - 225 = (x - 3) (x - 3)$

Paso 3.4.3.1.2

Expande $(x - 3) (x - 3)$ con el método PEIU (primero, exterior, interior, ultimo).

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Paso 3.4.3.1.2.1

Aplica la propiedad distributiva.

$225 y - 225 = x (x - 3) - 3 (x - 3)$

Paso 3.4.3.1.2.2

Aplica la propiedad distributiva.

$225 y - 225 = x \cdot x + x \cdot - 3 - 3 (x - 3)$

Paso 3.4.3.1.2.3

Aplica la propiedad distributiva.

$225 y - 225 = x \cdot x + x \cdot - 3 - 3 x - 3 \cdot - 3$

Paso 3.4.3.1.3

Simplifica y combina los términos similares.

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Paso 3.4.3.1.3.1

Simplifica cada término.

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Paso 3.4.3.1.3.1.1

Multiplica $x$ por $x$ .

$225 y - 225 = x^{2} + x \cdot - 3 - 3 x - 3 \cdot - 3$

Paso 3.4.3.1.3.1.2

Mueve $- 3$ a la izquierda de $x$ .

$225 y - 225 = x^{2} - 3 \cdot x - 3 x - 3 \cdot - 3$

Paso 3.4.3.1.3.1.3

Multiplica $- 3$ por $- 3$ .

$225 y - 225 = x^{2} - 3 x - 3 x + 9$

Paso 3.4.3.1.3.2

Resta $3 x$ de $- 3 x$ .

$225 y - 225 = x^{2} - 6 x + 9$

Paso 3.5

Resuelve $y$

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Paso 3.5.1

Mueve todos los términos que no contengan $y$ al lado derecho de la ecuación.

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Paso 3.5.1.1

Suma $225$ a ambos lados de la ecuación.

$225 y = x^{2} - 6 x + 9 + 225$

Paso 3.5.1.2

Suma $9$ y $225$ .

$225 y = x^{2} - 6 x + 234$

Paso 3.5.2

Divide cada término en $225 y = x^{2} - 6 x + 234$ por $225$ y simplifica.

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Paso 3.5.2.1

Divide cada término en $225 y = x^{2} - 6 x + 234$ por $225$ .

$\frac{225 y}{225} = \frac{x^{2}}{225} + \frac{- 6 x}{225} + \frac{234}{225}$

Paso 3.5.2.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 3.5.2.2.1

Cancela el factor común de $225$ .

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Paso 3.5.2.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{225 y}{225} = \frac{x^{2}}{225} + \frac{- 6 x}{225} + \frac{234}{225}$

Paso 3.5.2.2.1.2

Divide $y$ por $1$ .

$y = \frac{x^{2}}{225} + \frac{- 6 x}{225} + \frac{234}{225}$

Paso 3.5.2.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 3.5.2.3.1

Simplifica cada término.

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Paso 3.5.2.3.1.1

Cancela el factor común de $- 6$ y $225$ .

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Paso 3.5.2.3.1.1.1

Factoriza $3$ de $- 6 x$ .

$y = \frac{x^{2}}{225} + \frac{3 (- 2 x)}{225} + \frac{234}{225}$

Paso 3.5.2.3.1.1.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 3.5.2.3.1.1.2.1

Factoriza $3$ de $225$ .

$y = \frac{x^{2}}{225} + \frac{3 (- 2 x)}{3 (75)} + \frac{234}{225}$

Paso 3.5.2.3.1.1.2.2

Cancela el factor común.

$y = \frac{x^{2}}{225} + \frac{3 (- 2 x)}{3 \cdot 75} + \frac{234}{225}$

Paso 3.5.2.3.1.1.2.3

Reescribe la expresión.

$y = \frac{x^{2}}{225} + \frac{- 2 x}{75} + \frac{234}{225}$

Paso 3.5.2.3.1.2

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$y = \frac{x^{2}}{225} - \frac{2 x}{75} + \frac{234}{225}$

Paso 3.5.2.3.1.3

Cancela el factor común de $234$ y $225$ .

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Paso 3.5.2.3.1.3.1

Factoriza $9$ de $234$ .

$y = \frac{x^{2}}{225} - \frac{2 x}{75} + \frac{9 (26)}{225}$

Paso 3.5.2.3.1.3.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 3.5.2.3.1.3.2.1

Factoriza $9$ de $225$ .

$y = \frac{x^{2}}{225} - \frac{2 x}{75} + \frac{9 \cdot 26}{9 \cdot 25}$

Paso 3.5.2.3.1.3.2.2

Cancela el factor común.

$y = \frac{x^{2}}{225} - \frac{2 x}{75} + \frac{9 \cdot 26}{9 \cdot 25}$

Paso 3.5.2.3.1.3.2.3

Reescribe la expresión.

$y = \frac{x^{2}}{225} - \frac{2 x}{75} + \frac{26}{25}$

Paso 4

Reemplaza $y$ con $P^{- 1} (x)$ para ver la respuesta final.

$P^{- 1} (x) = \frac{x^{2}}{225} - \frac{2 x}{75} + \frac{26}{25}$

Paso 5

Verifica si $P^{- 1} (x) = \frac{x^{2}}{225} - \frac{2 x}{75} + \frac{26}{25}$ es la inversa de $P (x) = 15 \sqrt{x - 1} + 3$ .

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Paso 5.1

Para verificar la inversa, comprueba si $P^{- 1} (P (x)) = x$ y $P (P^{- 1} (x)) = x$ .

Paso 5.2

Evalúa $P^{- 1} (P (x))$ .

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Paso 5.2.1

Establece la función de resultado compuesta.

$P^{- 1} (P (x))$

Paso 5.2.2

Evalúa $P^{- 1} (15 \sqrt{x - 1} + 3)$ mediante la sustitución del valor de $P$ en $P^{- 1}$ .

$P^{- 1} (15 \sqrt{x - 1} + 3) = \frac{{(15 \sqrt{x - 1} + 3)}^{2}}{225} - \frac{2 (15 \sqrt{x - 1} + 3)}{75} + \frac{26}{25}$

Paso 5.2.3

Simplifica los términos.

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Paso 5.2.3.1

Simplifica cada término.

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Paso 5.2.3.1.1

Simplifica el numerador.

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Paso 5.2.3.1.1.1

Factoriza $3$ de $15 \sqrt{x - 1} + 3$ .

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Paso 5.2.3.1.1.1.1

Factoriza $3$ de $15 \sqrt{x - 1}$ .

$P^{- 1} (15 \sqrt{x - 1} + 3) = \frac{{(3 (5 \sqrt{x - 1}) + 3)}^{2}}{225} - \frac{2 (15 \sqrt{x - 1} + 3)}{75} + \frac{26}{25}$

Paso 5.2.3.1.1.1.2

Factoriza $3$ de $3$ .

$P^{- 1} (15 \sqrt{x - 1} + 3) = \frac{{(3 (5 \sqrt{x - 1}) + 3 (1))}^{2}}{225} - \frac{2 (15 \sqrt{x - 1} + 3)}{75} + \frac{26}{25}$

Paso 5.2.3.1.1.1.3

Factoriza $3$ de $3 (5 \sqrt{x - 1}) + 3 (1)$ .

$P^{- 1} (15 \sqrt{x - 1} + 3) = \frac{{(3 (5 \sqrt{x - 1} + 1))}^{2}}{225} - \frac{2 (15 \sqrt{x - 1} + 3)}{75} + \frac{26}{25}$

Paso 5.2.3.1.1.2

Aplica la regla del producto a $3 (5 \sqrt{x - 1} + 1)$ .

$P^{- 1} (15 \sqrt{x - 1} + 3) = \frac{3^{2} {(5 \sqrt{x - 1} + 1)}^{2}}{225} - \frac{2 (15 \sqrt{x - 1} + 3)}{75} + \frac{26}{25}$

Paso 5.2.3.1.1.3

Eleva $3$ a la potencia de $2$ .

$P^{- 1} (15 \sqrt{x - 1} + 3) = \frac{9 {(5 \sqrt{x - 1} + 1)}^{2}}{225} - \frac{2 (15 \sqrt{x - 1} + 3)}{75} + \frac{26}{25}$

Paso 5.2.3.1.2

Cancela el factor común de $9$ y $225$ .

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Paso 5.2.3.1.2.1

Factoriza $9$ de $9 {(5 \sqrt{x - 1} + 1)}^{2}$ .

$P^{- 1} (15 \sqrt{x - 1} + 3) = \frac{9 ({(5 \sqrt{x - 1} + 1)}^{2})}{225} - \frac{2 (15 \sqrt{x - 1} + 3)}{75} + \frac{26}{25}$

Paso 5.2.3.1.2.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 5.2.3.1.2.2.1

Factoriza $9$ de $225$ .

$P^{- 1} (15 \sqrt{x - 1} + 3) = \frac{9 {(5 \sqrt{x - 1} + 1)}^{2}}{9 \cdot 25} - \frac{2 (15 \sqrt{x - 1} + 3)}{75} + \frac{26}{25}$

Paso 5.2.3.1.2.2.2

Cancela el factor común.

$P^{- 1} (15 \sqrt{x - 1} + 3) = \frac{9 {(5 \sqrt{x - 1} + 1)}^{2}}{9 \cdot 25} - \frac{2 (15 \sqrt{x - 1} + 3)}{75} + \frac{26}{25}$

Paso 5.2.3.1.2.2.3

Reescribe la expresión.

$P^{- 1} (15 \sqrt{x - 1} + 3) = \frac{{(5 \sqrt{x - 1} + 1)}^{2}}{25} - \frac{2 (15 \sqrt{x - 1} + 3)}{75} + \frac{26}{25}$

Paso 5.2.3.1.3

Cancela el factor común de $15 \sqrt{x - 1} + 3$ y $75$ .

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Paso 5.2.3.1.3.1

Factoriza $3$ de $2 (15 \sqrt{x - 1} + 3)$ .

$P^{- 1} (15 \sqrt{x - 1} + 3) = \frac{{(5 \sqrt{x - 1} + 1)}^{2}}{25} - \frac{3 (2 (5 \sqrt{x - 1} + 1))}{75} + \frac{26}{25}$

Paso 5.2.3.1.3.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 5.2.3.1.3.2.1

Factoriza $3$ de $75$ .

$P^{- 1} (15 \sqrt{x - 1} + 3) = \frac{{(5 \sqrt{x - 1} + 1)}^{2}}{25} - \frac{3 (2 (5 \sqrt{x - 1} + 1))}{3 (25)} + \frac{26}{25}$

Paso 5.2.3.1.3.2.2

Cancela el factor común.

$P^{- 1} (15 \sqrt{x - 1} + 3) = \frac{{(5 \sqrt{x - 1} + 1)}^{2}}{25} - \frac{3 (2 (5 \sqrt{x - 1} + 1))}{3 \cdot 25} + \frac{26}{25}$

Paso 5.2.3.1.3.2.3

Reescribe la expresión.

$P^{- 1} (15 \sqrt{x - 1} + 3) = \frac{{(5 \sqrt{x - 1} + 1)}^{2}}{25} - \frac{2 (5 \sqrt{x - 1} + 1)}{25} + \frac{26}{25}$

Paso 5.2.3.2

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$P^{- 1} (15 \sqrt{x - 1} + 3) = \frac{{(5 \sqrt{x - 1} + 1)}^{2} - 2 (5 \sqrt{x - 1} + 1) + 26}{25}$

Paso 5.2.3.3

Simplifica cada término.

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Paso 5.2.3.3.1

Aplica la propiedad distributiva.

$P^{- 1} (15 \sqrt{x - 1} + 3) = \frac{{(5 \sqrt{x - 1} + 1)}^{2} - 2 (5 \sqrt{x - 1}) - 2 \cdot 1 + 26}{25}$

Paso 5.2.3.3.2

Multiplica $5$ por $- 2$ .

$P^{- 1} (15 \sqrt{x - 1} + 3) = \frac{{(5 \sqrt{x - 1} + 1)}^{2} - 10 \sqrt{x - 1} - 2 \cdot 1 + 26}{25}$

Paso 5.2.3.3.3

Multiplica $- 2$ por $1$ .

$P^{- 1} (15 \sqrt{x - 1} + 3) = \frac{{(5 \sqrt{x - 1} + 1)}^{2} - 10 \sqrt{x - 1} - 2 + 26}{25}$

Paso 5.2.3.4

Suma $- 2$ y $26$ .

$P^{- 1} (15 \sqrt{x - 1} + 3) = \frac{{(5 \sqrt{x - 1} + 1)}^{2} - 10 \sqrt{x - 1} + 24}{25}$

Paso 5.2.4

Simplifica el numerador.

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Paso 5.2.4.1

Sea $u = \sqrt{x - 1}$ . Sustituye $u$ por todos los casos de $\sqrt{x - 1}$ .

$P^{- 1} (15 \sqrt{x - 1} + 3) = \frac{25 u^{2} + 25}{25}$

Paso 5.2.4.2

Factoriza $25$ de $25 u^{2} + 25$ .

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Paso 5.2.4.2.1

Factoriza $25$ de $25 u^{2}$ .

$P^{- 1} (15 \sqrt{x - 1} + 3) = \frac{25 (u^{2}) + 25}{25}$

Paso 5.2.4.2.2

Factoriza $25$ de $25$ .

$P^{- 1} (15 \sqrt{x - 1} + 3) = \frac{25 (u^{2}) + 25 (1)}{25}$

Paso 5.2.4.2.3

Factoriza $25$ de $25 (u^{2}) + 25 (1)$ .

$P^{- 1} (15 \sqrt{x - 1} + 3) = \frac{25 (u^{2} + 1)}{25}$

Paso 5.2.4.3

Reemplaza todos los casos de $u$ con $\sqrt{x - 1}$ .

$P^{- 1} (15 \sqrt{x - 1} + 3) = \frac{25 ({\sqrt{x - 1}}^{2} + 1)}{25}$

Paso 5.2.4.4

Simplifica.

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Paso 5.2.4.4.1

Reescribe ${\sqrt{x - 1}}^{2}$ como $x - 1$ .

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Paso 5.2.4.4.1.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{x - 1}$ como ${(x - 1)}^{\frac{1}{2}}$ .

$P^{- 1} (15 \sqrt{x - 1} + 3) = \frac{25 ({({(x - 1)}^{\frac{1}{2}})}^{2} + 1)}{25}$

Paso 5.2.4.4.1.2

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$P^{- 1} (15 \sqrt{x - 1} + 3) = \frac{25 ({(x - 1)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} + 1)}{25}$

Paso 5.2.4.4.1.3

Combina $\frac{1}{2}$ y $2$ .

$P^{- 1} (15 \sqrt{x - 1} + 3) = \frac{25 ({(x - 1)}^{\frac{2}{2}} + 1)}{25}$

Paso 5.2.4.4.1.4

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 5.2.4.4.1.4.1

Cancela el factor común.

$P^{- 1} (15 \sqrt{x - 1} + 3) = \frac{25 ({(x - 1)}^{\frac{2}{2}} + 1)}{25}$

Paso 5.2.4.4.1.4.2

Reescribe la expresión.

$P^{- 1} (15 \sqrt{x - 1} + 3) = \frac{25 ((x - 1) + 1)}{25}$

Paso 5.2.4.4.1.5

Simplifica.

$P^{- 1} (15 \sqrt{x - 1} + 3) = \frac{25 (x - 1 + 1)}{25}$

Paso 5.2.4.4.2

Combina los términos opuestos en $x - 1 + 1$ .

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Paso 5.2.4.4.2.1

Suma $- 1$ y $1$ .

$P^{- 1} (15 \sqrt{x - 1} + 3) = \frac{25 (x + 0)}{25}$

Paso 5.2.4.4.2.2

Suma $x$ y $0$ .

$P^{- 1} (15 \sqrt{x - 1} + 3) = \frac{25 x}{25}$

Paso 5.2.5

Cancela el factor común de $25$ .

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Paso 5.2.5.1

Cancela el factor común.

$P^{- 1} (15 \sqrt{x - 1} + 3) = \frac{25 x}{25}$

Paso 5.2.5.2

Divide $x$ por $1$ .

$P^{- 1} (15 \sqrt{x - 1} + 3) = x$

Paso 5.3

Evalúa $P (P^{- 1} (x))$ .

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Paso 5.3.1

Establece la función de resultado compuesta.

$P (P^{- 1} (x))$

Paso 5.3.2

Evalúa $P (\frac{x^{2}}{225} - \frac{2 x}{75} + \frac{26}{25})$ mediante la sustitución del valor de $P^{- 1}$ en $P$ .

$P (\frac{x^{2}}{225} - \frac{2 x}{75} + \frac{26}{25}) = 15 \sqrt{(\frac{x^{2}}{225} - \frac{2 x}{75} + \frac{26}{25}) - 1} + 3$

Paso 5.3.3

Simplifica cada término.

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Paso 5.3.3.1

Para escribir $- 1$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{25}{25}$ .

$P (\frac{x^{2}}{225} - \frac{2 x}{75} + \frac{26}{25}) = 15 \sqrt{\frac{x^{2}}{225} - \frac{2 x}{75} + \frac{26}{25} - 1 \cdot \frac{25}{25}} + 3$

Paso 5.3.3.2

Combina $- 1$ y $\frac{25}{25}$ .

$P (\frac{x^{2}}{225} - \frac{2 x}{75} + \frac{26}{25}) = 15 \sqrt{\frac{x^{2}}{225} - \frac{2 x}{75} + \frac{26}{25} + \frac{- 1 \cdot 25}{25}} + 3$

Paso 5.3.3.3

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$P (\frac{x^{2}}{225} - \frac{2 x}{75} + \frac{26}{25}) = 15 \sqrt{\frac{x^{2}}{225} - \frac{2 x}{75} + \frac{26 - 1 \cdot 25}{25}} + 3$

Paso 5.3.3.4

Simplifica el numerador.

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Paso 5.3.3.4.1

Multiplica $- 1$ por $25$ .

$P (\frac{x^{2}}{225} - \frac{2 x}{75} + \frac{26}{25}) = 15 \sqrt{\frac{x^{2}}{225} - \frac{2 x}{75} + \frac{26 - 25}{25}} + 3$

Paso 5.3.3.4.2

Resta $25$ de $26$ .

$P (\frac{x^{2}}{225} - \frac{2 x}{75} + \frac{26}{25}) = 15 \sqrt{\frac{x^{2}}{225} - \frac{2 x}{75} + \frac{1}{25}} + 3$

Paso 5.3.3.5

Factoriza con la regla del cuadrado perfecto.

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Paso 5.3.3.5.1

Reescribe $225$ como $15^{2}$ .

$P (\frac{x^{2}}{225} - \frac{2 x}{75} + \frac{26}{25}) = 15 \sqrt{\frac{x^{2}}{15^{2}} - \frac{2 x}{75} + \frac{1}{25}} + 3$

Paso 5.3.3.5.2

Reescribe $\frac{x^{2}}{15^{2}}$ como ${(\frac{x}{15})}^{2}$ .

$P (\frac{x^{2}}{225} - \frac{2 x}{75} + \frac{26}{25}) = 15 \sqrt{{(\frac{x}{15})}^{2} - \frac{2 x}{75} + \frac{1}{25}} + 3$

Paso 5.3.3.5.3

Reescribe $1$ como $1^{2}$ .

$P (\frac{x^{2}}{225} - \frac{2 x}{75} + \frac{26}{25}) = 15 \sqrt{{(\frac{x}{15})}^{2} - \frac{2 x}{75} + \frac{1^{2}}{25}} + 3$

Paso 5.3.3.5.4

Reescribe $25$ como $5^{2}$ .

$P (\frac{x^{2}}{225} - \frac{2 x}{75} + \frac{26}{25}) = 15 \sqrt{{(\frac{x}{15})}^{2} - \frac{2 x}{75} + \frac{1^{2}}{5^{2}}} + 3$

Paso 5.3.3.5.5

Reescribe $\frac{1^{2}}{5^{2}}$ como ${(\frac{1}{5})}^{2}$ .

$P (\frac{x^{2}}{225} - \frac{2 x}{75} + \frac{26}{25}) = 15 \sqrt{{(\frac{x}{15})}^{2} - \frac{2 x}{75} + {(\frac{1}{5})}^{2}} + 3$

Paso 5.3.3.5.6

Comprueba que el término medio sea dos veces el producto de los números que se elevan al cuadrado en el primer término y el tercer término.

$\frac{2 x}{75} = 2 \cdot \frac{x}{15} \cdot \frac{1}{5}$

Paso 5.3.3.5.7

Reescribe el polinomio.

$P (\frac{x^{2}}{225} - \frac{2 x}{75} + \frac{26}{25}) = 15 \sqrt{{(\frac{x}{15})}^{2} - 2 \cdot \frac{x}{15} \cdot \frac{1}{5} + {(\frac{1}{5})}^{2}} + 3$

Paso 5.3.3.5.8

Factoriza con la regla del trinomio cuadrado perfecto $a^{2} - 2 a b + b^{2} = {(a - b)}^{2}$ , donde $a = \frac{x}{15}$ y $b = \frac{1}{5}$ .

$P (\frac{x^{2}}{225} - \frac{2 x}{75} + \frac{26}{25}) = 15 \sqrt{{(\frac{x}{15} - \frac{1}{5})}^{2}} + 3$

Paso 5.3.3.6

Para escribir $- \frac{1}{5}$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{3}{3}$ .

$P (\frac{x^{2}}{225} - \frac{2 x}{75} + \frac{26}{25}) = 15 \sqrt{{(\frac{x}{15} - \frac{1}{5} \cdot \frac{3}{3})}^{2}} + 3$

Paso 5.3.3.7

Escribe cada expresión con un denominador común de $15$ , mediante la multiplicación de cada uno por un factor adecuado de $1$ .

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Paso 5.3.3.7.1

Multiplica $\frac{1}{5}$ por $\frac{3}{3}$ .

$P (\frac{x^{2}}{225} - \frac{2 x}{75} + \frac{26}{25}) = 15 \sqrt{{(\frac{x}{15} - \frac{3}{5 \cdot 3})}^{2}} + 3$

Paso 5.3.3.7.2

Multiplica $5$ por $3$ .

$P (\frac{x^{2}}{225} - \frac{2 x}{75} + \frac{26}{25}) = 15 \sqrt{{(\frac{x}{15} - \frac{3}{15})}^{2}} + 3$

Paso 5.3.3.8

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$P (\frac{x^{2}}{225} - \frac{2 x}{75} + \frac{26}{25}) = 15 \sqrt{{(\frac{x - 3}{15})}^{2}} + 3$

Paso 5.3.3.9

Aplica la regla del producto a $\frac{x - 3}{15}$ .

$P (\frac{x^{2}}{225} - \frac{2 x}{75} + \frac{26}{25}) = 15 \sqrt{\frac{{(x - 3)}^{2}}{15^{2}}} + 3$

Paso 5.3.3.10

Eleva $15$ a la potencia de $2$ .

$P (\frac{x^{2}}{225} - \frac{2 x}{75} + \frac{26}{25}) = 15 \sqrt{\frac{{(x - 3)}^{2}}{225}} + 3$

Paso 5.3.3.11

Reescribe $225$ como $15^{2}$ .

$P (\frac{x^{2}}{225} - \frac{2 x}{75} + \frac{26}{25}) = 15 \sqrt{\frac{{(x - 3)}^{2}}{15^{2}}} + 3$

Paso 5.3.3.12

Reescribe $\frac{{(x - 3)}^{2}}{15^{2}}$ como ${(\frac{x - 3}{15})}^{2}$ .

$P (\frac{x^{2}}{225} - \frac{2 x}{75} + \frac{26}{25}) = 15 \sqrt{{(\frac{x - 3}{15})}^{2}} + 3$

Paso 5.3.3.13

Extrae los términos de abajo del radical, bajo el supuesto de que tienes números reales positivos.

$P (\frac{x^{2}}{225} - \frac{2 x}{75} + \frac{26}{25}) = 15 (\frac{x - 3}{15}) + 3$

Paso 5.3.3.14

Cancela el factor común de $15$ .

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Paso 5.3.3.14.1

Cancela el factor común.

$P (\frac{x^{2}}{225} - \frac{2 x}{75} + \frac{26}{25}) = 15 (\frac{x - 3}{15}) + 3$

Paso 5.3.3.14.2

Reescribe la expresión.

$P (\frac{x^{2}}{225} - \frac{2 x}{75} + \frac{26}{25}) = x - 3 + 3$

Paso 5.3.4

Combina los términos opuestos en $x - 3 + 3$ .

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Paso 5.3.4.1

Suma $- 3$ y $3$ .

$P (\frac{x^{2}}{225} - \frac{2 x}{75} + \frac{26}{25}) = x + 0$

Paso 5.3.4.2

Suma $x$ y $0$ .

$P (\frac{x^{2}}{225} - \frac{2 x}{75} + \frac{26}{25}) = x$

Paso 5.4

Como $P^{- 1} (P (x)) = x$ y $P (P^{- 1} (x)) = x$ , entonces $P^{- 1} (x) = \frac{x^{2}}{225} - \frac{2 x}{75} + \frac{26}{25}$ es la inversa de $P (x) = 15 \sqrt{x - 1} + 3$ .

$P^{- 1} (x) = \frac{x^{2}}{225} - \frac{2 x}{75} + \frac{26}{25}$