Matemática discreta Ejemplos

$f (x) = \sin (x)$

Paso 1

Escribe $f (x) = \sin (x)$ como una ecuación.

$y = \sin (x)$

Paso 2

Intercambia las variables.

$x = \sin (y)$

Paso 3

Resuelve $y$

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Paso 3.1

Reescribe la ecuación como $\sin (y) = x$ .

$\sin (y) = x$

Paso 3.2

Resta la inversa de seno de ambos lados de la ecuación para extraer $y$ del interior de seno.

$y = \arcsin (x)$

Paso 3.3

Elimina los paréntesis.

$y = \arcsin (x)$

Paso 4

Reemplaza $y$ con $f^{- 1} (x)$ para ver la respuesta final.

$f^{- 1} (x) = \arcsin (x)$

Paso 5

Verifica si $f^{- 1} (x) = \arcsin (x)$ es la inversa de $f (x) = \sin (x)$ .

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Paso 5.1

Para verificar la inversa, comprueba si $f^{- 1} (f (x)) = x$ y $f (f^{- 1} (x)) = x$ .

Paso 5.2

Evalúa $f^{- 1} (f (x))$ .

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Paso 5.2.1

Establece la función de resultado compuesta.

$f^{- 1} (f (x))$

Paso 5.2.2

Evalúa $f^{- 1} (\sin (x))$ mediante la sustitución del valor de $f$ en $f^{- 1}$ .

$f^{- 1} (\sin (x)) = \arcsin (\sin (x))$

Paso 5.3

Evalúa $f (f^{- 1} (x))$ .

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Paso 5.3.1

Establece la función de resultado compuesta.

$f (f^{- 1} (x))$

Paso 5.3.2

Evalúa $f (\arcsin (x))$ mediante la sustitución del valor de $f^{- 1}$ en $f$ .

$f (\arcsin (x)) = \sin (\arcsin (x))$

Paso 5.3.3

Las funciones seno y arcoseno son inversas.

$f (\arcsin (x)) = x$

Paso 5.4

Como $f^{- 1} (f (x)) = x$ y $f (f^{- 1} (x)) = x$ , entonces $f^{- 1} (x) = \arcsin (x)$ es la inversa de $f (x) = \sin (x)$ .

$f^{- 1} (x) = \arcsin (x)$