Matemática discreta Ejemplos

$f (x) = \sin (\sqrt{e^{x} + 1})$

Paso 1

Escribe $f (x) = \sin (\sqrt{e^{x} + 1})$ como una ecuación.

$y = \sin (\sqrt{e^{x} + 1})$

Paso 2

Intercambia las variables.

$x = \sin (\sqrt{e^{y} + 1})$

Paso 3

Resuelve $y$

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Paso 3.1

Reescribe la ecuación como $\sin (\sqrt{e^{y} + 1}) = x$ .

$\sin (\sqrt{e^{y} + 1}) = x$

Paso 3.2

Sustituye $u$ por $\sqrt{e^{y} + 1}$ .

$\sin (u) = x$

Paso 3.3

Resta la inversa de seno de ambos lados de la ecuación para extraer $u$ del interior de seno.

$u = \arcsin (x)$

Paso 3.4

Sustituye $\sqrt{e^{y} + 1}$ por $u$ y resuelve $\sqrt{e^{y} + 1} = \arcsin (x)$

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Paso 3.4.1

Para eliminar el radical en el lazo izquierdo de la ecuación, eleva al cuadrado ambos lados de la ecuación.

${\sqrt{e^{y} + 1}}^{2} = {\arcsin (x)}^{2}$

Paso 3.4.2

Simplifica cada lado de la ecuación.

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Paso 3.4.2.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{e^{y} + 1}$ como ${(e^{y} + 1)}^{\frac{1}{2}}$ .

${({(e^{y} + 1)}^{\frac{1}{2}})}^{2} = {\arcsin (x)}^{2}$

Paso 3.4.2.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 3.4.2.2.1

Simplifica ${({(e^{y} + 1)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Paso 3.4.2.2.1.1

Multiplica los exponentes en ${({(e^{y} + 1)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Paso 3.4.2.2.1.1.1

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

${(e^{y} + 1)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {\arcsin (x)}^{2}$

Paso 3.4.2.2.1.1.2

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 3.4.2.2.1.1.2.1

Cancela el factor común.

${(e^{y} + 1)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {\arcsin (x)}^{2}$

Paso 3.4.2.2.1.1.2.2

Reescribe la expresión.

${(e^{y} + 1)}^{1} = {\arcsin (x)}^{2}$

Paso 3.4.2.2.1.2

Simplifica.

$e^{y} + 1 = {\arcsin (x)}^{2}$

Paso 3.4.3

Resuelve $y$

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Paso 3.4.3.1

Resta $1$ de ambos lados de la ecuación.

$e^{y} = {\arcsin (x)}^{2} - 1$

Paso 3.4.3.2

Resta el logaritmo natural de ambos lados de la ecuación para eliminar la variable del exponente.

$\ln (e^{y}) = \ln ({\arcsin (x)}^{2} - 1)$

Paso 3.4.3.3

Expande el lado izquierdo.

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Paso 3.4.3.3.1

Expande $\ln (e^{y})$ ; para ello, mueve $y$ fuera del logaritmo.

$y \ln (e) = \ln ({\arcsin (x)}^{2} - 1)$

Paso 3.4.3.3.2

El logaritmo natural de $e$ es $1$ .

$y \cdot 1 = \ln ({\arcsin (x)}^{2} - 1)$

Paso 3.4.3.3.3

Multiplica $y$ por $1$ .

$y = \ln ({\arcsin (x)}^{2} - 1)$

Paso 4

Reemplaza $y$ con $f^{- 1} (x)$ para ver la respuesta final.

$f^{- 1} (x) = \ln ({\arcsin (x)}^{2} - 1)$

Paso 5

Verifica si $f^{- 1} (x) = \ln ({\arcsin (x)}^{2} - 1)$ es la inversa de $f (x) = \sin (\sqrt{e^{x} + 1})$ .

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Paso 5.1

Para verificar la inversa, comprueba si $f^{- 1} (f (x)) = x$ y $f (f^{- 1} (x)) = x$ .

Paso 5.2

Evalúa $f^{- 1} (f (x))$ .

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Paso 5.2.1

Establece la función de resultado compuesta.

$f^{- 1} (f (x))$

Paso 5.2.2

Evalúa $f^{- 1} (\sin (\sqrt{e^{x} + 1}))$ mediante la sustitución del valor de $f$ en $f^{- 1}$ .

$f^{- 1} (\sin (\sqrt{e^{x} + 1})) = \ln ({\arcsin (\sin (\sqrt{e^{x} + 1}))}^{2} - 1)$

Paso 5.3

Evalúa $f (f^{- 1} (x))$ .

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Paso 5.3.1

Establece la función de resultado compuesta.

$f (f^{- 1} (x))$

Paso 5.3.2

Evalúa $f (\ln ({\arcsin (x)}^{2} - 1))$ mediante la sustitución del valor de $f^{- 1}$ en $f$ .

$f (\ln ({\arcsin (x)}^{2} - 1)) = \sin (\sqrt{e^{\ln ({\arcsin (x)}^{2} - 1)} + 1})$

Paso 5.3.3

Potencia y logaritmo son funciones inversas.

$f (\ln ({\arcsin (x)}^{2} - 1)) = \sin (\sqrt{{\arcsin (x)}^{2} - 1 + 1})$

Paso 5.3.4

Suma $- 1$ y $1$ .

$f (\ln ({\arcsin (x)}^{2} - 1)) = \sin (\sqrt{{\arcsin (x)}^{2} + 0})$

Paso 5.3.5

Suma ${\arcsin (x)}^{2}$ y $0$ .

$f (\ln ({\arcsin (x)}^{2} - 1)) = \sin (\sqrt{{\arcsin (x)}^{2}})$

Paso 5.3.6

Extrae los términos de abajo del radical, bajo el supuesto de que tienes números reales positivos.

$f (\ln ({\arcsin (x)}^{2} - 1)) = \sin (\arcsin (x))$

Paso 5.3.7

Las funciones seno y arcoseno son inversas.

$f (\ln ({\arcsin (x)}^{2} - 1)) = x$

Paso 5.4

Como $f^{- 1} (f (x)) = x$ y $f (f^{- 1} (x)) = x$ , entonces $f^{- 1} (x) = \ln ({\arcsin (x)}^{2} - 1)$ es la inversa de $f (x) = \sin (\sqrt{e^{x} + 1})$ .

$f^{- 1} (x) = \ln ({\arcsin (x)}^{2} - 1)$