Matemática discreta Ejemplos

f (x) = sin (\sqrt{e^{x} + 1})

$f (x) = \sin (\sqrt{e^{x} + 1})$

Paso 1

Escribe

f (x) = sin (\sqrt{e^{x} + 1})

$f (x) = \sin (\sqrt{e^{x} + 1})$ como una ecuación.

y = sin (\sqrt{e^{x} + 1})

$y = \sin (\sqrt{e^{x} + 1})$

Paso 2

Intercambia las variables.

x = sin (\sqrt{e^{y} + 1})

$x = \sin (\sqrt{e^{y} + 1})$

Paso 3

Resuelve

y

$y$

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Paso 3.1

Reescribe la ecuación como

sin (\sqrt{e^{y} + 1}) = x

$\sin (\sqrt{e^{y} + 1}) = x$ .

sin (\sqrt{e^{y} + 1}) = x

$\sin (\sqrt{e^{y} + 1}) = x$

Paso 3.2

Sustituye

u

$u$ por

\sqrt{e^{y} + 1}

$\sqrt{e^{y} + 1}$ .

sin (u) = x

$\sin (u) = x$

Paso 3.3

Resta la inversa de seno de ambos lados de la ecuación para extraer

u

$u$ del interior de seno.

u = arcsin (x)

$u = \arcsin (x)$

Paso 3.4

Sustituye

\sqrt{e^{y} + 1}

$\sqrt{e^{y} + 1}$ por

u

$u$ y resuelve

\sqrt{e^{y} + 1} = arcsin (x)

$\sqrt{e^{y} + 1} = \arcsin (x)$

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Paso 3.4.1

Para eliminar el radical en el lazo izquierdo de la ecuación, eleva al cuadrado ambos lados de la ecuación.

{\sqrt{e^{y} + 1}}^{2} = {arcsin (x)}^{2}

${\sqrt{e^{y} + 1}}^{2} = {\arcsin (x)}^{2}$

Paso 3.4.2

Simplifica cada lado de la ecuación.

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Paso 3.4.2.1

Usa

\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir

\sqrt{e^{y} + 1}

$\sqrt{e^{y} + 1}$ como

{(e^{y} + 1)}^{\frac{1}{2}}

${(e^{y} + 1)}^{\frac{1}{2}}$ .

{({(e^{y} + 1)}^{\frac{1}{2}})}^{2} = {arcsin (x)}^{2}

${({(e^{y} + 1)}^{\frac{1}{2}})}^{2} = {\arcsin (x)}^{2}$

Paso 3.4.2.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 3.4.2.2.1

Simplifica

{({(e^{y} + 1)}^{\frac{1}{2}})}^{2}

${({(e^{y} + 1)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Paso 3.4.2.2.1.1

Multiplica los exponentes en

{({(e^{y} + 1)}^{\frac{1}{2}})}^{2}

${({(e^{y} + 1)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Paso 3.4.2.2.1.1.1

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes,

{(a^{m})}^{n} = a^{m n}

${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

{(e^{y} + 1)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {arcsin (x)}^{2}

${(e^{y} + 1)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {\arcsin (x)}^{2}$

Paso 3.4.2.2.1.1.2

Cancela el factor común de

2

$2$ .

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Paso 3.4.2.2.1.1.2.1

Cancela el factor común.

${(e^{y} + 1)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {\arcsin (x)}^{2}$

Paso 3.4.2.2.1.1.2.2

Reescribe la expresión.

${(e^{y} + 1)}^{1} = {\arcsin (x)}^{2}$

Paso 3.4.2.2.1.2

Simplifica.

$e^{y} + 1 = {\arcsin (x)}^{2}$

Paso 3.4.3

Resuelve

$y$

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Paso 3.4.3.1

Resta

$1$ de ambos lados de la ecuación.

$e^{y} = {\arcsin (x)}^{2} - 1$

Paso 3.4.3.2

Resta el logaritmo natural de ambos lados de la ecuación para eliminar la variable del exponente.

$\ln (e^{y}) = \ln ({\arcsin (x)}^{2} - 1)$

Paso 3.4.3.3

Expande el lado izquierdo.

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Paso 3.4.3.3.1

Expande

$\ln (e^{y})$ ; para ello, mueve

$y$ fuera del logaritmo.

$y \ln (e) = \ln ({\arcsin (x)}^{2} - 1)$

Paso 3.4.3.3.2

El logaritmo natural de

$e$ es

$1$ .

$y \cdot 1 = \ln ({\arcsin (x)}^{2} - 1)$

Paso 3.4.3.3.3

Multiplica

$y$ por

$1$ .

$y = \ln ({\arcsin (x)}^{2} - 1)$

Paso 4

Reemplaza

$y$ con

$f^{- 1} (x)$ para ver la respuesta final.

$f^{- 1} (x) = \ln ({\arcsin (x)}^{2} - 1)$

Paso 5

Verifica si

$f^{- 1} (x) = \ln ({\arcsin (x)}^{2} - 1)$ es la inversa de

$f (x) = \sin (\sqrt{e^{x} + 1})$ .

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Paso 5.1

Para verificar la inversa, comprueba si

$f^{- 1} (f (x)) = x$ y

$f (f^{- 1} (x)) = x$ .

Paso 5.2

Evalúa

$f^{- 1} (f (x))$ .

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Paso 5.2.1

Establece la función de resultado compuesta.

$f^{- 1} (f (x))$

Paso 5.2.2

Evalúa

$f^{- 1} (\sin (\sqrt{e^{x} + 1}))$ mediante la sustitución del valor de

$f$ en

$f^{- 1}$ .

$f^{- 1} (\sin (\sqrt{e^{x} + 1})) = \ln ({\arcsin (\sin (\sqrt{e^{x} + 1}))}^{2} - 1)$

Paso 5.3

Evalúa

$f (f^{- 1} (x))$ .

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Paso 5.3.1

Establece la función de resultado compuesta.

$f (f^{- 1} (x))$

Paso 5.3.2

Evalúa

$f (\ln ({\arcsin (x)}^{2} - 1))$ mediante la sustitución del valor de

$f^{- 1}$ en

$f$ .

$f (\ln ({\arcsin (x)}^{2} - 1)) = \sin (\sqrt{e^{\ln ({\arcsin (x)}^{2} - 1)} + 1})$

Paso 5.3.3

Potencia y logaritmo son funciones inversas.

$f (\ln ({\arcsin (x)}^{2} - 1)) = \sin (\sqrt{{\arcsin (x)}^{2} - 1 + 1})$

Paso 5.3.4

Suma

$- 1$ y

$1$ .

$f (\ln ({\arcsin (x)}^{2} - 1)) = \sin (\sqrt{{\arcsin (x)}^{2} + 0})$

Paso 5.3.5

Suma

${\arcsin (x)}^{2}$ y

$0$ .

$f (\ln ({\arcsin (x)}^{2} - 1)) = \sin (\sqrt{{\arcsin (x)}^{2}})$

Paso 5.3.6

Extrae los términos de abajo del radical, bajo el supuesto de que tienes números reales positivos.

$f (\ln ({\arcsin (x)}^{2} - 1)) = \sin (\arcsin (x))$

Paso 5.3.7

Las funciones seno y arcoseno son inversas.

$f (\ln ({\arcsin (x)}^{2} - 1)) = x$

Paso 5.4

Como

$f^{- 1} (f (x)) = x$ y

$f (f^{- 1} (x)) = x$ , entonces

$f^{- 1} (x) = \ln ({\arcsin (x)}^{2} - 1)$ es la inversa de

$f (x) = \sin (\sqrt{e^{x} + 1})$ .

$f^{- 1} (x) = \ln ({\arcsin (x)}^{2} - 1)$