Matemática discreta Ejemplos

$f (x) = 1.5 x^{2} - 4$

Paso 1

Escribe $f (x) = 1.5 x^{2} - 4$ como una ecuación.

$y = 1.5 x^{2} - 4$

Paso 2

Intercambia las variables.

$x = 1.5 y^{2} - 4$

Paso 3

Resuelve $y$

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Paso 3.1

Reescribe la ecuación como $1.5 y^{2} - 4 = x$ .

$1.5 y^{2} - 4 = x$

Paso 3.2

Suma $4$ a ambos lados de la ecuación.

$1.5 y^{2} = x + 4$

Paso 3.3

Divide cada término en $1.5 y^{2} = x + 4$ por $1.5$ y simplifica.

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Paso 3.3.1

Divide cada término en $1.5 y^{2} = x + 4$ por $1.5$ .

$\frac{1.5 y^{2}}{1.5} = \frac{x}{1.5} + \frac{4}{1.5}$

Paso 3.3.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 3.3.2.1

Cancela el factor común de $1.5$ .

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Paso 3.3.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{1.5 y^{2}}{1.5} = \frac{x}{1.5} + \frac{4}{1.5}$

Paso 3.3.2.1.2

Divide $y^{2}$ por $1$ .

$y^{2} = \frac{x}{1.5} + \frac{4}{1.5}$

Paso 3.3.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 3.3.3.1

Simplifica cada término.

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Paso 3.3.3.1.1

Multiplica por $1$ .

$y^{2} = \frac{1 x}{1.5} + \frac{4}{1.5}$

Paso 3.3.3.1.2

Factoriza $1.5$ de $1.5$ .

$y^{2} = \frac{1 x}{1.5 (1)} + \frac{4}{1.5}$

Paso 3.3.3.1.3

Separa las fracciones.

$y^{2} = \frac{1}{1.5} \cdot \frac{x}{1} + \frac{4}{1.5}$

Paso 3.3.3.1.4

Divide $1$ por $1.5$ .

$y^{2} = 0.\overline{6} \frac{x}{1} + \frac{4}{1.5}$

Paso 3.3.3.1.5

Divide $x$ por $1$ .

$y^{2} = 0.\overline{6} x + \frac{4}{1.5}$

Paso 3.3.3.1.6

Divide $4$ por $1.5$ .

$y^{2} = 0.\overline{6} x + 2.\overline{6}$

Paso 3.4

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$y = \pm \sqrt{0.\overline{6} x + 2.\overline{6}}$

Paso 3.5

La solución completa es el resultado de las partes positiva y negativa de la solución.

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Paso 3.5.1

Primero, usa el valor positivo de $\pm$ para obtener la primera solución.

$y = \sqrt{0.\overline{6} x + 2.\overline{6}}$

Paso 3.5.2

Luego, usa el valor negativo de $\pm$ para obtener la segunda solución.

$y = - \sqrt{0.\overline{6} x + 2.\overline{6}}$

Paso 3.5.3

La solución completa es el resultado de las partes positiva y negativa de la solución.

$y = \sqrt{0.\overline{6} x + 2.\overline{6}}$

$y = - \sqrt{0.\overline{6} x + 2.\overline{6}}$

$y = \sqrt{0.\overline{6} x + 2.\overline{6}}$

$y = - \sqrt{0.\overline{6} x + 2.\overline{6}}$

$y = \sqrt{0.\overline{6} x + 2.\overline{6}}$

$y = - \sqrt{0.\overline{6} x + 2.\overline{6}}$

Paso 4

Replace $y$ with $f^{- 1} (x)$ to show the final answer.

$f^{- 1} (x) = \sqrt{0.\overline{6} x + 2.\overline{6}}, - \sqrt{0.\overline{6} x + 2.\overline{6}}$

Paso 5

Verifica si $f^{- 1} (x) = \sqrt{0.\overline{6} x + 2.\overline{6}}, - \sqrt{0.\overline{6} x + 2.\overline{6}}$ es la inversa de $f (x) = 1.5 x^{2} - 4$ .

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Paso 5.1

El dominio de la inversa es el rango de la función original y viceversa. Obtén el dominio y el rango de $f (x) = 1.5 x^{2} - 4$ y $f^{- 1} (x) = \sqrt{0.\overline{6} x + 2.\overline{6}}, - \sqrt{0.\overline{6} x + 2.\overline{6}}$ y compáralos.

Paso 5.2

Obtén el rango de $f (x) = 1.5 x^{2} - 4$ .

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Paso 5.2.1

El rango es el conjunto de todos los valores $y$ válidos. Usa la gráfica para obtener el rango.

Notación de intervalo:

$[- 4, \infty)$

Paso 5.3

Obtén el dominio de $\sqrt{0.\overline{6} x + 2.\overline{6}}$ .

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Paso 5.3.1

Establece el radicando en $\sqrt{0.\overline{6} x + 2.\overline{6}}$ mayor o igual que $0$ para obtener el lugar donde está definida la expresión.

$0.\overline{6} x + 2.\overline{6} \geq 0$

Paso 5.3.2

Resuelve $x$

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Paso 5.3.2.1

Resta $2.\overline{6}$ de ambos lados de la desigualdad.

$0.\overline{6} x \geq - 2.\overline{6}$

Paso 5.3.2.2

Divide cada término en $0.\overline{6} x \geq - 2.\overline{6}$ por $0.\overline{6}$ y simplifica.

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Paso 5.3.2.2.1

Divide cada término en $0.\overline{6} x \geq - 2.\overline{6}$ por $0.\overline{6}$ .

$\frac{0.\overline{6} x}{0.\overline{6}} \geq \frac{- 2.\overline{6}}{0.\overline{6}}$

Paso 5.3.2.2.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 5.3.2.2.2.1

Cancela el factor común de $0.\overline{6}$ .

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Paso 5.3.2.2.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{0.\overline{6} x}{0.\overline{6}} \geq \frac{- 2.\overline{6}}{0.\overline{6}}$

Paso 5.3.2.2.2.1.2

Divide $x$ por $1$ .

$x \geq \frac{- 2.\overline{6}}{0.\overline{6}}$

Paso 5.3.2.2.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 5.3.2.2.3.1

Divide $- 2.\overline{6}$ por $0.\overline{6}$ .

$x \geq - 4$

Paso 5.3.3

El dominio son todos los valores de $x$ que hacen que la expresión sea definida.

$[- 4, \infty)$

Paso 5.4

Como el dominio de $f^{- 1} (x) = \sqrt{0.\overline{6} x + 2.\overline{6}}, - \sqrt{0.\overline{6} x + 2.\overline{6}}$ no es igual al rango de $f (x) = 1.5 x^{2} - 4$ , entonces $f^{- 1} (x) = \sqrt{0.\overline{6} x + 2.\overline{6}}, - \sqrt{0.\overline{6} x + 2.\overline{6}}$ no es una inversa de $f (x) = 1.5 x^{2} - 4$ .

No hay una inversa

Paso 6