Matemática discreta Ejemplos

$f (x) = \frac{x - 2}{x}$

Paso 1

Escribe $f (x) = \frac{x - 2}{x}$ como una ecuación.

$y = \frac{x - 2}{x}$

Paso 2

Intercambia las variables.

$x = \frac{y - 2}{y}$

Paso 3

Resuelve $y$

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Paso 3.1

Reescribe la ecuación como $\frac{y - 2}{y} = x$ .

$\frac{y - 2}{y} = x$

Paso 3.2

Obtén el mcd de los términos en la ecuación.

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Paso 3.2.1

La obtención del mcd de una lista de valores es lo mismo que obtener el MCM de los denominadores de esos valores.

$y, 1$

Paso 3.2.2

El mínimo común múltiplo (MCM) de una y cualquier expresión es la expresión.

$y$

Paso 3.3

Multiplica cada término en $\frac{y - 2}{y} = x$ por $y$ para eliminar las fracciones.

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Paso 3.3.1

Multiplica cada término en $\frac{y - 2}{y} = x$ por $y$ .

$\frac{y - 2}{y} y = x y$

Paso 3.3.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 3.3.2.1

Cancela el factor común de $y$ .

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Paso 3.3.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{y - 2}{y} y = x y$

Paso 3.3.2.1.2

Reescribe la expresión.

$y - 2 = x y$

Paso 3.4

Resuelve la ecuación.

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Paso 3.4.1

Resta $x y$ de ambos lados de la ecuación.

$y - 2 - x y = 0$

Paso 3.4.2

Suma $2$ a ambos lados de la ecuación.

$y - x y = 2$

Paso 3.4.3

Factoriza $y$ de $y - x y$ .

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Paso 3.4.3.1

Factoriza $y$ de $y^{1}$ .

$y \cdot 1 - x y = 2$

Paso 3.4.3.2

Factoriza $y$ de $- x y$ .

$y \cdot 1 + y (- x) = 2$

Paso 3.4.3.3

Factoriza $y$ de $y \cdot 1 + y (- x)$ .

$y (1 - x) = 2$

Paso 3.4.4

Divide cada término en $y (1 - x) = 2$ por $1 - x$ y simplifica.

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Paso 3.4.4.1

Divide cada término en $y (1 - x) = 2$ por $1 - x$ .

$\frac{y (1 - x)}{1 - x} = \frac{2}{1 - x}$

Paso 3.4.4.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 3.4.4.2.1

Cancela el factor común de $1 - x$ .

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Paso 3.4.4.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{y (1 - x)}{1 - x} = \frac{2}{1 - x}$

Paso 3.4.4.2.1.2

Divide $y$ por $1$ .

$y = \frac{2}{1 - x}$

Paso 4

Reemplaza $y$ con $f^{- 1} (x)$ para ver la respuesta final.

$f^{- 1} (x) = \frac{2}{1 - x}$

Paso 5

Verifica si $f^{- 1} (x) = \frac{2}{1 - x}$ es la inversa de $f (x) = \frac{x - 2}{x}$ .

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Paso 5.1

Para verificar la inversa, comprueba si $f^{- 1} (f (x)) = x$ y $f (f^{- 1} (x)) = x$ .

Paso 5.2

Evalúa $f^{- 1} (f (x))$ .

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Paso 5.2.1

Establece la función de resultado compuesta.

$f^{- 1} (f (x))$

Paso 5.2.2

Evalúa $f^{- 1} (\frac{x - 2}{x})$ mediante la sustitución del valor de $f$ en $f^{- 1}$ .

$f^{- 1} (\frac{x - 2}{x}) = \frac{2}{1 - (\frac{x - 2}{x})}$

Paso 5.2.3

Simplifica el denominador.

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Paso 5.2.3.1

Escribe $1$ como una fracción con un denominador común.

$f^{- 1} (\frac{x - 2}{x}) = \frac{2}{\frac{x}{x} - \frac{x - 2}{x}}$

Paso 5.2.3.2

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$f^{- 1} (\frac{x - 2}{x}) = \frac{2}{\frac{x - (x - 2)}{x}}$

Paso 5.2.3.3

Reescribe $\frac{x - (x - 2)}{x}$ en forma factorizada.

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Paso 5.2.3.3.1

Aplica la propiedad distributiva.

$f^{- 1} (\frac{x - 2}{x}) = \frac{2}{\frac{x - x + 2}{x}}$

Paso 5.2.3.3.2

Multiplica $- 1$ por $- 2$ .

$f^{- 1} (\frac{x - 2}{x}) = \frac{2}{\frac{x - x + 2}{x}}$

Paso 5.2.3.3.3

Resta $x$ de $x$ .

$f^{- 1} (\frac{x - 2}{x}) = \frac{2}{\frac{0 + 2}{x}}$

Paso 5.2.3.3.4

Suma $0$ y $2$ .

$f^{- 1} (\frac{x - 2}{x}) = \frac{2}{\frac{2}{x}}$

Paso 5.2.4

Multiplica el numerador por la recíproca del denominador.

$f^{- 1} (\frac{x - 2}{x}) = 2 (\frac{x}{2})$

Paso 5.2.5

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 5.2.5.1

Cancela el factor común.

$f^{- 1} (\frac{x - 2}{x}) = 2 (\frac{x}{2})$

Paso 5.2.5.2

Reescribe la expresión.

$f^{- 1} (\frac{x - 2}{x}) = x$

Paso 5.3

Evalúa $f (f^{- 1} (x))$ .

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Paso 5.3.1

Establece la función de resultado compuesta.

$f (f^{- 1} (x))$

Paso 5.3.2

Evalúa $f (\frac{2}{1 - x})$ mediante la sustitución del valor de $f^{- 1}$ en $f$ .

$f (\frac{2}{1 - x}) = \frac{(\frac{2}{1 - x}) - 2}{\frac{2}{1 - x}}$

Paso 5.3.3

Multiplica el numerador por la recíproca del denominador.

$f (\frac{2}{1 - x}) = (\frac{2}{1 - x} - 2) (\frac{1 - x}{2})$

Paso 5.3.4

Para escribir $- 2$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{1 - x}{1 - x}$ .

$f (\frac{2}{1 - x}) = (\frac{2}{1 - x} - 2 \cdot \frac{1 - x}{1 - x}) (\frac{1 - x}{2})$

Paso 5.3.5

Simplifica los términos.

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Paso 5.3.5.1

Combina $- 2$ y $\frac{1 - x}{1 - x}$ .

$f (\frac{2}{1 - x}) = (\frac{2}{1 - x} + \frac{- 2 (1 - x)}{1 - x}) (\frac{1 - x}{2})$

Paso 5.3.5.2

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$f (\frac{2}{1 - x}) = \frac{2 - 2 (1 - x)}{1 - x} \cdot \frac{1 - x}{2}$

Paso 5.3.6

Simplifica el numerador.

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Paso 5.3.6.1

Factoriza $2$ de $2 - 2 (1 - x)$ .

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Paso 5.3.6.1.1

Factoriza $2$ de $2$ .

$f (\frac{2}{1 - x}) = \frac{2 (1) - 2 (1 - x)}{1 - x} \cdot \frac{1 - x}{2}$

Paso 5.3.6.1.2

Factoriza $2$ de $- 2 (1 - x)$ .

$f (\frac{2}{1 - x}) = \frac{2 (1) + 2 (- (1 - x))}{1 - x} \cdot \frac{1 - x}{2}$

Paso 5.3.6.1.3

Factoriza $2$ de $2 (1) + 2 (- (1 - x))$ .

$f (\frac{2}{1 - x}) = \frac{2 (1 - (1 - x))}{1 - x} \cdot \frac{1 - x}{2}$

Paso 5.3.6.2

Aplica la propiedad distributiva.

$f (\frac{2}{1 - x}) = \frac{2 (1 - 1 \cdot 1 + x)}{1 - x} \cdot \frac{1 - x}{2}$

Paso 5.3.6.3

Multiplica $- 1$ por $1$ .

$f (\frac{2}{1 - x}) = \frac{2 (1 - 1 + x)}{1 - x} \cdot \frac{1 - x}{2}$

Paso 5.3.6.4

Multiplica $- - x$ .

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Paso 5.3.6.4.1

Multiplica $- 1$ por $- 1$ .

$f (\frac{2}{1 - x}) = \frac{2 (1 - 1 + 1 x)}{1 - x} \cdot \frac{1 - x}{2}$

Paso 5.3.6.4.2

Multiplica $x$ por $1$ .

$f (\frac{2}{1 - x}) = \frac{2 (1 - 1 + x)}{1 - x} \cdot \frac{1 - x}{2}$

Paso 5.3.6.5

Resta $1$ de $1$ .

$f (\frac{2}{1 - x}) = \frac{2 (0 + x)}{1 - x} \cdot \frac{1 - x}{2}$

Paso 5.3.6.6

Suma $0$ y $x$ .

$f (\frac{2}{1 - x}) = \frac{2 x}{1 - x} \cdot \frac{1 - x}{2}$

Paso 5.3.7

Reduce la expresión mediante la cancelación de los factores comunes.

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Paso 5.3.7.1

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 5.3.7.1.1

Factoriza $2$ de $2 x$ .

$f (\frac{2}{1 - x}) = \frac{2 (x)}{1 - x} \cdot \frac{1 - x}{2}$

Paso 5.3.7.1.2

Cancela el factor común.

$f (\frac{2}{1 - x}) = \frac{2 x}{1 - x} \cdot \frac{1 - x}{2}$

Paso 5.3.7.1.3

Reescribe la expresión.

$f (\frac{2}{1 - x}) = \frac{x}{1 - x} \cdot (1 - x)$

Paso 5.3.7.2

Cancela el factor común de $1 - x$ .

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Paso 5.3.7.2.1

Cancela el factor común.

$f (\frac{2}{1 - x}) = \frac{x}{1 - x} \cdot (1 - x)$

Paso 5.3.7.2.2

Reescribe la expresión.

$f (\frac{2}{1 - x}) = x$

Paso 5.4

Como $f^{- 1} (f (x)) = x$ y $f (f^{- 1} (x)) = x$ , entonces $f^{- 1} (x) = \frac{2}{1 - x}$ es la inversa de $f (x) = \frac{x - 2}{x}$ .

$f^{- 1} (x) = \frac{2}{1 - x}$