Matemática discreta Ejemplos

$f (x) = \frac{8 x}{x^{2} - 64}$

Paso 1

Escribe $f (x) = \frac{8 x}{x^{2} - 64}$ como una ecuación.

$y = \frac{8 x}{x^{2} - 64}$

Paso 2

Intercambia las variables.

$x = \frac{8 y}{y^{2} - 64}$

Paso 3

Resuelve $y$

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Paso 3.1

Multiplica la ecuación por $y^{2} - 64$ .

$(y^{2} - 64) (x) = (\frac{8 y}{y^{2} - 64}) (y^{2} - 64)$

Paso 3.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 3.2.1

Aplica la propiedad distributiva.

$y^{2} x - 64 x = (\frac{8 y}{y^{2} - 64}) (y^{2} - 64)$

Paso 3.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 3.3.1

Simplifica $(\frac{8 y}{y^{2} - 64}) (y^{2} - 64)$ .

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Paso 3.3.1.1

Simplifica el denominador.

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Paso 3.3.1.1.1

Reescribe $64$ como $8^{2}$ .

$y^{2} x - 64 x = \frac{8 y}{y^{2} - 8^{2}} (y^{2} - 64)$

Paso 3.3.1.1.2

Dado que ambos términos son cuadrados perfectos, factoriza con la fórmula de la diferencia de cuadrados, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , donde $a = y$ y $b = 8$ .

$y^{2} x - 64 x = \frac{8 y}{(y + 8) (y - 8)} (y^{2} - 64)$

Paso 3.3.1.2

Multiplica $\frac{8 y}{(y + 8) (y - 8)}$ por $y^{2} - 64$ .

$y^{2} x - 64 x = \frac{8 y (y^{2} - 64)}{(y + 8) (y - 8)}$

Paso 3.3.1.3

Simplifica el numerador.

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Paso 3.3.1.3.1

Reescribe $64$ como $8^{2}$ .

$y^{2} x - 64 x = \frac{8 y (y^{2} - 8^{2})}{(y + 8) (y - 8)}$

Paso 3.3.1.3.2

Dado que ambos términos son cuadrados perfectos, factoriza con la fórmula de la diferencia de cuadrados, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , donde $a = y$ y $b = 8$ .

$y^{2} x - 64 x = \frac{8 y (y + 8) (y - 8)}{(y + 8) (y - 8)}$

Paso 3.3.1.4

Reduce la expresión mediante la cancelación de los factores comunes.

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Paso 3.3.1.4.1

Cancela el factor común de $y + 8$ .

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Paso 3.3.1.4.1.1

Cancela el factor común.

$y^{2} x - 64 x = \frac{8 y (y + 8) (y - 8)}{(y + 8) (y - 8)}$

Paso 3.3.1.4.1.2

Reescribe la expresión.

$y^{2} x - 64 x = \frac{8 y (y - 8)}{y - 8}$

Paso 3.3.1.4.2

Cancela el factor común de $y - 8$ .

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Paso 3.3.1.4.2.1

Cancela el factor común.

$y^{2} x - 64 x = \frac{8 y (y - 8)}{y - 8}$

Paso 3.3.1.4.2.2

Divide $8 y$ por $1$ .

$y^{2} x - 64 x = 8 y$

Paso 3.4

Resuelve $y$

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Paso 3.4.1

Resta $8 y$ de ambos lados de la ecuación.

$y^{2} x - 64 x - 8 y = 0$

Paso 3.4.2

Usa la fórmula cuadrática para obtener las soluciones.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Paso 3.4.3

Sustituye los valores $a = x$ , $b = - 8$ y $c = - 64 x$ en la fórmula cuadrática y resuelve $y$ .

$\frac{8 \pm \sqrt{{(- 8)}^{2} - 4 \cdot (x \cdot (- 64 x))}}{2 x}$

Paso 3.4.4

Simplifica.

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Paso 3.4.4.1

Simplifica el numerador.

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Paso 3.4.4.1.1

Eleva $- 8$ a la potencia de $2$ .

$y = \frac{8 \pm \sqrt{64 - 4 \cdot x \cdot (- 64 x)}}{2 x}$

Paso 3.4.4.1.2

Reescribe con la propiedad conmutativa de la multiplicación.

$y = \frac{8 \pm \sqrt{64 - 4 \cdot (- 64 x \cdot x)}}{2 x}$

Paso 3.4.4.1.3

Multiplica $x$ por $x$ sumando los exponentes.

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Paso 3.4.4.1.3.1

Mueve $x$ .

$y = \frac{8 \pm \sqrt{64 - 4 \cdot (- 64 (x \cdot x))}}{2 x}$

Paso 3.4.4.1.3.2

Multiplica $x$ por $x$ .

$y = \frac{8 \pm \sqrt{64 - 4 \cdot (- 64 x^{2})}}{2 x}$

Paso 3.4.4.1.4

Multiplica $- 4$ por $- 64$ .

$y = \frac{8 \pm \sqrt{64 + 256 x^{2}}}{2 x}$

Paso 3.4.4.1.5

Factoriza $64$ de $64 + 256 x^{2}$ .

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Paso 3.4.4.1.5.1

Factoriza $64$ de $64$ .

$y = \frac{8 \pm \sqrt{64 (1) + 256 x^{2}}}{2 x}$

Paso 3.4.4.1.5.2

Factoriza $64$ de $256 x^{2}$ .

$y = \frac{8 \pm \sqrt{64 (1) + 64 (4 x^{2})}}{2 x}$

Paso 3.4.4.1.5.3

Factoriza $64$ de $64 (1) + 64 (4 x^{2})$ .

$y = \frac{8 \pm \sqrt{64 (1 + 4 x^{2})}}{2 x}$

Paso 3.4.4.1.6

Reescribe $64 (1 + 4 x^{2})$ como $8^{2} (1^{2} + 4 x^{2})$ .

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Paso 3.4.4.1.6.1

Reescribe $64$ como $8^{2}$ .

$y = \frac{8 \pm \sqrt{8^{2} (1 + 4 x^{2})}}{2 x}$

Paso 3.4.4.1.6.2

Reescribe $1$ como $1^{2}$ .

$y = \frac{8 \pm \sqrt{8^{2} (1^{2} + 4 x^{2})}}{2 x}$

Paso 3.4.4.1.7

Retira los términos de abajo del radical.

$y = \frac{8 \pm 8 \sqrt{1^{2} + 4 x^{2}}}{2 x}$

Paso 3.4.4.1.8

Uno elevado a cualquier potencia es uno.

$y = \frac{8 \pm 8 \sqrt{1 + 4 x^{2}}}{2 x}$

Paso 3.4.4.2

Simplifica $\frac{8 \pm 8 \sqrt{1 + 4 x^{2}}}{2 x}$ .

$y = \frac{4 \pm 4 \sqrt{1 + 4 x^{2}}}{x}$

Paso 3.4.5

Simplifica la expresión para obtener el valor de la parte $+$ de $\pm$ .

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Paso 3.4.5.1

Simplifica el numerador.

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Paso 3.4.5.1.1

Eleva $- 8$ a la potencia de $2$ .

$y = \frac{8 \pm \sqrt{64 - 4 \cdot x \cdot (- 64 x)}}{2 x}$

Paso 3.4.5.1.2

Reescribe con la propiedad conmutativa de la multiplicación.

$y = \frac{8 \pm \sqrt{64 - 4 \cdot (- 64 x \cdot x)}}{2 x}$

Paso 3.4.5.1.3

Multiplica $x$ por $x$ sumando los exponentes.

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Paso 3.4.5.1.3.1

Mueve $x$ .

$y = \frac{8 \pm \sqrt{64 - 4 \cdot (- 64 (x \cdot x))}}{2 x}$

Paso 3.4.5.1.3.2

Multiplica $x$ por $x$ .

$y = \frac{8 \pm \sqrt{64 - 4 \cdot (- 64 x^{2})}}{2 x}$

Paso 3.4.5.1.4

Multiplica $- 4$ por $- 64$ .

$y = \frac{8 \pm \sqrt{64 + 256 x^{2}}}{2 x}$

Paso 3.4.5.1.5

Factoriza $64$ de $64 + 256 x^{2}$ .

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Paso 3.4.5.1.5.1

Factoriza $64$ de $64$ .

$y = \frac{8 \pm \sqrt{64 (1) + 256 x^{2}}}{2 x}$

Paso 3.4.5.1.5.2

Factoriza $64$ de $256 x^{2}$ .

$y = \frac{8 \pm \sqrt{64 (1) + 64 (4 x^{2})}}{2 x}$

Paso 3.4.5.1.5.3

Factoriza $64$ de $64 (1) + 64 (4 x^{2})$ .

$y = \frac{8 \pm \sqrt{64 (1 + 4 x^{2})}}{2 x}$

Paso 3.4.5.1.6

Reescribe $64 (1 + 4 x^{2})$ como $8^{2} (1^{2} + 4 x^{2})$ .

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Paso 3.4.5.1.6.1

Reescribe $64$ como $8^{2}$ .

$y = \frac{8 \pm \sqrt{8^{2} (1 + 4 x^{2})}}{2 x}$

Paso 3.4.5.1.6.2

Reescribe $1$ como $1^{2}$ .

$y = \frac{8 \pm \sqrt{8^{2} (1^{2} + 4 x^{2})}}{2 x}$

Paso 3.4.5.1.7

Retira los términos de abajo del radical.

$y = \frac{8 \pm 8 \sqrt{1^{2} + 4 x^{2}}}{2 x}$

Paso 3.4.5.1.8

Uno elevado a cualquier potencia es uno.

$y = \frac{8 \pm 8 \sqrt{1 + 4 x^{2}}}{2 x}$

Paso 3.4.5.2

Simplifica $\frac{8 \pm 8 \sqrt{1 + 4 x^{2}}}{2 x}$ .

$y = \frac{4 \pm 4 \sqrt{1 + 4 x^{2}}}{x}$

Paso 3.4.5.3

Cambia $\pm$ a $+$ .

$y = \frac{4 + 4 \sqrt{1 + 4 x^{2}}}{x}$

Paso 3.4.5.4

Factoriza $4$ de $4 + 4 \sqrt{1 + 4 x^{2}}$ .

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Paso 3.4.5.4.1

Factoriza $4$ de $4$ .

$y = \frac{4 \cdot 1 + 4 \sqrt{1 + 4 x^{2}}}{x}$

Paso 3.4.5.4.2

Factoriza $4$ de $4 \cdot 1 + 4 \sqrt{1 + 4 x^{2}}$ .

$y = \frac{4 (1 + \sqrt{1 + 4 x^{2}})}{x}$

Paso 3.4.6

Simplifica la expresión para obtener el valor de la parte $-$ de $\pm$ .

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Paso 3.4.6.1

Simplifica el numerador.

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Paso 3.4.6.1.1

Eleva $- 8$ a la potencia de $2$ .

$y = \frac{8 \pm \sqrt{64 - 4 \cdot x \cdot (- 64 x)}}{2 x}$

Paso 3.4.6.1.2

Reescribe con la propiedad conmutativa de la multiplicación.

$y = \frac{8 \pm \sqrt{64 - 4 \cdot (- 64 x \cdot x)}}{2 x}$

Paso 3.4.6.1.3

Multiplica $x$ por $x$ sumando los exponentes.

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Paso 3.4.6.1.3.1

Mueve $x$ .

$y = \frac{8 \pm \sqrt{64 - 4 \cdot (- 64 (x \cdot x))}}{2 x}$

Paso 3.4.6.1.3.2

Multiplica $x$ por $x$ .

$y = \frac{8 \pm \sqrt{64 - 4 \cdot (- 64 x^{2})}}{2 x}$

Paso 3.4.6.1.4

Multiplica $- 4$ por $- 64$ .

$y = \frac{8 \pm \sqrt{64 + 256 x^{2}}}{2 x}$

Paso 3.4.6.1.5

Factoriza $64$ de $64 + 256 x^{2}$ .

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Paso 3.4.6.1.5.1

Factoriza $64$ de $64$ .

$y = \frac{8 \pm \sqrt{64 (1) + 256 x^{2}}}{2 x}$

Paso 3.4.6.1.5.2

Factoriza $64$ de $256 x^{2}$ .

$y = \frac{8 \pm \sqrt{64 (1) + 64 (4 x^{2})}}{2 x}$

Paso 3.4.6.1.5.3

Factoriza $64$ de $64 (1) + 64 (4 x^{2})$ .

$y = \frac{8 \pm \sqrt{64 (1 + 4 x^{2})}}{2 x}$

Paso 3.4.6.1.6

Reescribe $64 (1 + 4 x^{2})$ como $8^{2} (1^{2} + 4 x^{2})$ .

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Paso 3.4.6.1.6.1

Reescribe $64$ como $8^{2}$ .

$y = \frac{8 \pm \sqrt{8^{2} (1 + 4 x^{2})}}{2 x}$

Paso 3.4.6.1.6.2

Reescribe $1$ como $1^{2}$ .

$y = \frac{8 \pm \sqrt{8^{2} (1^{2} + 4 x^{2})}}{2 x}$

Paso 3.4.6.1.7

Retira los términos de abajo del radical.

$y = \frac{8 \pm 8 \sqrt{1^{2} + 4 x^{2}}}{2 x}$

Paso 3.4.6.1.8

Uno elevado a cualquier potencia es uno.

$y = \frac{8 \pm 8 \sqrt{1 + 4 x^{2}}}{2 x}$

Paso 3.4.6.2

Simplifica $\frac{8 \pm 8 \sqrt{1 + 4 x^{2}}}{2 x}$ .

$y = \frac{4 \pm 4 \sqrt{1 + 4 x^{2}}}{x}$

Paso 3.4.6.3

Cambia $\pm$ a $-$ .

$y = \frac{4 - 4 \sqrt{1 + 4 x^{2}}}{x}$

Paso 3.4.6.4

Factoriza $4$ de $4 - 4 \sqrt{1 + 4 x^{2}}$ .

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Paso 3.4.6.4.1

Factoriza $4$ de $4$ .

$y = \frac{4 (1) - 4 \sqrt{1 + 4 x^{2}}}{x}$

Paso 3.4.6.4.2

Factoriza $4$ de $- 4 \sqrt{1 + 4 x^{2}}$ .

$y = \frac{4 (1) + 4 (- \sqrt{1 + 4 x^{2}})}{x}$

Paso 3.4.6.4.3

Factoriza $4$ de $4 (1) + 4 (- \sqrt{1 + 4 x^{2}})$ .

$y = \frac{4 (1 - \sqrt{1 + 4 x^{2}})}{x}$

Paso 3.4.7

La respuesta final es la combinación de ambas soluciones.

$y = \frac{4 (1 + \sqrt{1 + 4 x^{2}})}{x}$

$y = \frac{4 (1 - \sqrt{1 + 4 x^{2}})}{x}$

$y = \frac{4 (1 + \sqrt{1 + 4 x^{2}})}{x}$

$y = \frac{4 (1 - \sqrt{1 + 4 x^{2}})}{x}$

$y = \frac{4 (1 + \sqrt{1 + 4 x^{2}})}{x}$

$y = \frac{4 (1 - \sqrt{1 + 4 x^{2}})}{x}$

Paso 4

Replace $y$ with $f^{- 1} (x)$ to show the final answer.

$f^{- 1} (x) = \frac{4 (1 + \sqrt{1 + 4 x^{2}})}{x}, \frac{4 (1 - \sqrt{1 + 4 x^{2}})}{x}$

Paso 5

Verifica si $f^{- 1} (x) = \frac{4 (1 + \sqrt{1 + 4 x^{2}})}{x}, \frac{4 (1 - \sqrt{1 + 4 x^{2}})}{x}$ es la inversa de $f (x) = \frac{8 x}{x^{2} - 64}$ .

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Paso 5.1

El dominio de la inversa es el rango de la función original y viceversa. Obtén el dominio y el rango de $f (x) = \frac{8 x}{x^{2} - 64}$ y $f^{- 1} (x) = \frac{4 (1 + \sqrt{1 + 4 x^{2}})}{x}, \frac{4 (1 - \sqrt{1 + 4 x^{2}})}{x}$ y compáralos.

Paso 5.2

Obtén el rango de $f (x) = \frac{8 x}{x^{2} - 64}$ .

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Paso 5.2.1

El rango es el conjunto de todos los valores $y$ válidos. Usa la gráfica para obtener el rango.

Notación de intervalo:

$(- \infty, \infty)$

Paso 5.3

Obtén el dominio de $\frac{4 (1 + \sqrt{1 + 4 x^{2}})}{x}$ .

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Paso 5.3.1

Establece el radicando en $\sqrt{1 + 4 x^{2}}$ mayor o igual que $0$ para obtener el lugar donde está definida la expresión.

$1 + 4 x^{2} \geq 0$

Paso 5.3.2

Resuelve $x$

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Paso 5.3.2.1

Resta $1$ de ambos lados de la desigualdad.

$4 x^{2} \geq - 1$

Paso 5.3.2.2

Divide cada término en $4 x^{2} \geq - 1$ por $4$ y simplifica.

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Paso 5.3.2.2.1

Divide cada término en $4 x^{2} \geq - 1$ por $4$ .

$\frac{4 x^{2}}{4} \geq \frac{- 1}{4}$

Paso 5.3.2.2.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 5.3.2.2.2.1

Cancela el factor común de $4$ .

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Paso 5.3.2.2.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{4 x^{2}}{4} \geq \frac{- 1}{4}$

Paso 5.3.2.2.2.1.2

Divide $x^{2}$ por $1$ .

$x^{2} \geq \frac{- 1}{4}$

Paso 5.3.2.2.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 5.3.2.2.3.1

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$x^{2} \geq - \frac{1}{4}$

Paso 5.3.2.3

Como el lado izquierdo tiene una potencia par, siempre es positivo para todos los números reales.

Todos los números reales

Paso 5.3.3

Establece el denominador en $\frac{4 (1 + \sqrt{1 + 4 x^{2}})}{x}$ igual que $0$ para obtener el lugar donde no está definida la expresión.

$x = 0$

Paso 5.3.4

El dominio son todos los valores de $x$ que hacen que la expresión sea definida.

$(- \infty, 0) \cup (0, \infty)$

Paso 5.4

Como el dominio de $f^{- 1} (x) = \frac{4 (1 + \sqrt{1 + 4 x^{2}})}{x}, \frac{4 (1 - \sqrt{1 + 4 x^{2}})}{x}$ no es igual al rango de $f (x) = \frac{8 x}{x^{2} - 64}$ , entonces $f^{- 1} (x) = \frac{4 (1 + \sqrt{1 + 4 x^{2}})}{x}, \frac{4 (1 - \sqrt{1 + 4 x^{2}})}{x}$ no es una inversa de $f (x) = \frac{8 x}{x^{2} - 64}$ .

No hay una inversa

Paso 6