Matemática discreta Ejemplos

$f (x) = \log_{\frac{1}{5}} (x)$

Paso 1

Escribe $f (x) = \log_{\frac{1}{5}} (x)$ como una ecuación.

$y = \log_{\frac{1}{5}} (x)$

Paso 2

Intercambia las variables.

$x = \log_{\frac{1}{5}} (y)$

Paso 3

Resuelve $y$

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Paso 3.1

Reescribe la ecuación como $\log_{\frac{1}{5}} (y) = x$ .

$\log_{\frac{1}{5}} (y) = x$

Paso 3.2

Reescribe $\log_{\frac{1}{5}} (y) = x$ en formato exponencial mediante la definición de un logaritmo. Si $x$ y $b$ son números reales positivos y $b \neq 1$ , entonces $\log_{b} (x) = y$ es equivalente a $b^{y} = x$ .

${(\frac{1}{5})}^{x} = y$

Paso 3.3

Resuelve $y$

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Paso 3.3.1

Reescribe la ecuación como $y = {(\frac{1}{5})}^{x}$ .

$y = {(\frac{1}{5})}^{x}$

Paso 3.3.2

Simplifica ${(\frac{1}{5})}^{x}$ .

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Paso 3.3.2.1

Aplica la regla del producto a $\frac{1}{5}$ .

$y = \frac{1^{x}}{5^{x}}$

Paso 3.3.2.2

Uno elevado a cualquier potencia es uno.

$y = \frac{1}{5^{x}}$

Paso 4

Reemplaza $y$ con $f^{- 1} (x)$ para ver la respuesta final.

$f^{- 1} (x) = \frac{1}{5^{x}}$

Paso 5

Verifica si $f^{- 1} (x) = \frac{1}{5^{x}}$ es la inversa de $f (x) = \log_{\frac{1}{5}} (x)$ .

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Paso 5.1

Para verificar la inversa, comprueba si $f^{- 1} (f (x)) = x$ y $f (f^{- 1} (x)) = x$ .

Paso 5.2

Evalúa $f^{- 1} (f (x))$ .

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Paso 5.2.1

Establece la función de resultado compuesta.

$f^{- 1} (f (x))$

Paso 5.2.2

Evalúa $f^{- 1} (\log_{\frac{1}{5}} (x))$ mediante la sustitución del valor de $f$ en $f^{- 1}$ .

$f^{- 1} (\log_{\frac{1}{5}} (x)) = \frac{1}{5^{\log_{\frac{1}{5}} (x)}}$

Paso 5.3

Evalúa $f (f^{- 1} (x))$ .

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Paso 5.3.1

Establece la función de resultado compuesta.

$f (f^{- 1} (x))$

Paso 5.3.2

Evalúa $f (\frac{1}{5^{x}})$ mediante la sustitución del valor de $f^{- 1}$ en $f$ .

$f (\frac{1}{5^{x}}) = \log_{\frac{1}{5}} (\frac{1}{5^{x}})$

Paso 5.4

Como $f^{- 1} (f (x)) = x$ y $f (f^{- 1} (x)) = x$ , entonces $f^{- 1} (x) = \frac{1}{5^{x}}$ es la inversa de $f (x) = \log_{\frac{1}{5}} (x)$ .

$f^{- 1} (x) = \frac{1}{5^{x}}$