Matemática discreta Ejemplos

$f (x) = \frac{10}{x - 5}$

Paso 1

Escribe $f (x) = \frac{10}{x - 5}$ como una ecuación.

$y = \frac{10}{x - 5}$

Paso 2

Intercambia las variables.

$x = \frac{10}{y - 5}$

Paso 3

Resuelve $y$

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Paso 3.1

Reescribe la ecuación como $\frac{10}{y - 5} = x$ .

$\frac{10}{y - 5} = x$

Paso 3.2

Obtén el mcd de los términos en la ecuación.

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Paso 3.2.1

La obtención del mcd de una lista de valores es lo mismo que obtener el MCM de los denominadores de esos valores.

$y - 5, 1$

Paso 3.2.2

Elimina los paréntesis.

$y - 5, 1$

Paso 3.2.3

El mínimo común múltiplo (MCM) de una y cualquier expresión es la expresión.

$y - 5$

Paso 3.3

Multiplica cada término en $\frac{10}{y - 5} = x$ por $y - 5$ para eliminar las fracciones.

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Paso 3.3.1

Multiplica cada término en $\frac{10}{y - 5} = x$ por $y - 5$ .

$\frac{10}{y - 5} (y - 5) = x (y - 5)$

Paso 3.3.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 3.3.2.1

Cancela el factor común de $y - 5$ .

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Paso 3.3.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{10}{y - 5} (y - 5) = x (y - 5)$

Paso 3.3.2.1.2

Reescribe la expresión.

$10 = x (y - 5)$

Paso 3.3.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 3.3.3.1

Aplica la propiedad distributiva.

$10 = x y + x \cdot - 5$

Paso 3.3.3.2

Mueve $- 5$ a la izquierda de $x$ .

$10 = x y - 5 x$

Paso 3.4

Resuelve la ecuación.

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Paso 3.4.1

Reescribe la ecuación como $x y - 5 x = 10$ .

$x y - 5 x = 10$

Paso 3.4.2

Suma $5 x$ a ambos lados de la ecuación.

$x y = 10 + 5 x$

Paso 3.4.3

Divide cada término en $x y = 10 + 5 x$ por $x$ y simplifica.

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Paso 3.4.3.1

Divide cada término en $x y = 10 + 5 x$ por $x$ .

$\frac{x y}{x} = \frac{10}{x} + \frac{5 x}{x}$

Paso 3.4.3.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 3.4.3.2.1

Cancela el factor común de $x$ .

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Paso 3.4.3.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{x y}{x} = \frac{10}{x} + \frac{5 x}{x}$

Paso 3.4.3.2.1.2

Divide $y$ por $1$ .

$y = \frac{10}{x} + \frac{5 x}{x}$

Paso 3.4.3.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 3.4.3.3.1

Cancela el factor común de $x$ .

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Paso 3.4.3.3.1.1

Cancela el factor común.

$y = \frac{10}{x} + \frac{5 x}{x}$

Paso 3.4.3.3.1.2

Divide $5$ por $1$ .

$y = \frac{10}{x} + 5$

Paso 4

Reemplaza $y$ con $f^{- 1} (x)$ para ver la respuesta final.

$f^{- 1} (x) = \frac{10}{x} + 5$

Paso 5

Verifica si $f^{- 1} (x) = \frac{10}{x} + 5$ es la inversa de $f (x) = \frac{10}{x - 5}$ .

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Paso 5.1

Para verificar la inversa, comprueba si $f^{- 1} (f (x)) = x$ y $f (f^{- 1} (x)) = x$ .

Paso 5.2

Evalúa $f^{- 1} (f (x))$ .

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Paso 5.2.1

Establece la función de resultado compuesta.

$f^{- 1} (f (x))$

Paso 5.2.2

Evalúa $f^{- 1} (\frac{10}{x - 5})$ mediante la sustitución del valor de $f$ en $f^{- 1}$ .

$f^{- 1} (\frac{10}{x - 5}) = \frac{10}{\frac{10}{x - 5}} + 5$

Paso 5.2.3

Simplifica cada término.

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Paso 5.2.3.1

Multiplica el numerador por la recíproca del denominador.

$f^{- 1} (\frac{10}{x - 5}) = 10 (\frac{x - 5}{10}) + 5$

Paso 5.2.3.2

Cancela el factor común de $10$ .

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Paso 5.2.3.2.1

Cancela el factor común.

$f^{- 1} (\frac{10}{x - 5}) = 10 (\frac{x - 5}{10}) + 5$

Paso 5.2.3.2.2

Reescribe la expresión.

$f^{- 1} (\frac{10}{x - 5}) = x - 5 + 5$

Paso 5.2.4

Combina los términos opuestos en $x - 5 + 5$ .

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Paso 5.2.4.1

Suma $- 5$ y $5$ .

$f^{- 1} (\frac{10}{x - 5}) = x + 0$

Paso 5.2.4.2

Suma $x$ y $0$ .

$f^{- 1} (\frac{10}{x - 5}) = x$

Paso 5.3

Evalúa $f (f^{- 1} (x))$ .

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Paso 5.3.1

Establece la función de resultado compuesta.

$f (f^{- 1} (x))$

Paso 5.3.2

Evalúa $f (\frac{10}{x} + 5)$ mediante la sustitución del valor de $f^{- 1}$ en $f$ .

$f (\frac{10}{x} + 5) = \frac{10}{(\frac{10}{x} + 5) - 5}$

Paso 5.3.3

Cancela el factor común de $10$ y $(\frac{10}{x} + 5) - 5$ .

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Paso 5.3.3.1

Factoriza $5$ de $10$ .

$f (\frac{10}{x} + 5) = \frac{5 (2)}{(\frac{10}{x} + 5) - 5}$

Paso 5.3.3.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 5.3.3.2.1

Factoriza $5$ de $\frac{10}{x}$ .

$f (\frac{10}{x} + 5) = \frac{5 \cdot 2}{5 (\frac{2}{x}) + 5 - 5}$

Paso 5.3.3.2.2

Factoriza $5$ de $5$ .

$f (\frac{10}{x} + 5) = \frac{5 (2)}{5 (\frac{2}{x}) + 5 \cdot 1 - 5}$

Paso 5.3.3.2.3

Factoriza $5$ de $5 \frac{2}{x} + 5 \cdot 1$ .

$f (\frac{10}{x} + 5) = \frac{5 (2)}{5 (\frac{2}{x} + 1) - 5}$

Paso 5.3.3.2.4

Factoriza $5$ de $- 5$ .

$f (\frac{10}{x} + 5) = \frac{5 \cdot 2}{5 (\frac{2}{x} + 1) + 5 \cdot - 1}$

Paso 5.3.3.2.5

Factoriza $5$ de $5 (\frac{2}{x} + 1) + 5 (- 1)$ .

$f (\frac{10}{x} + 5) = \frac{5 (2)}{5 (\frac{2}{x} + 1 - 1)}$

Paso 5.3.3.2.6

Cancela el factor común.

$f (\frac{10}{x} + 5) = \frac{5 \cdot 2}{5 (\frac{2}{x} + 1 - 1)}$

Paso 5.3.3.2.7

Reescribe la expresión.

$f (\frac{10}{x} + 5) = \frac{2}{\frac{2}{x} + 1 - 1}$

Paso 5.3.4

Simplifica el denominador.

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Paso 5.3.4.1

Resta $1$ de $1$ .

$f (\frac{10}{x} + 5) = \frac{2}{\frac{2}{x} + 0}$

Paso 5.3.4.2

Suma $\frac{2}{x}$ y $0$ .

$f (\frac{10}{x} + 5) = \frac{2}{\frac{2}{x}}$

Paso 5.3.5

Multiplica el numerador por la recíproca del denominador.

$f (\frac{10}{x} + 5) = 2 (\frac{x}{2})$

Paso 5.3.6

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 5.3.6.1

Cancela el factor común.

$f (\frac{10}{x} + 5) = 2 (\frac{x}{2})$

Paso 5.3.6.2

Reescribe la expresión.

$f (\frac{10}{x} + 5) = x$

Paso 5.4

Como $f^{- 1} (f (x)) = x$ y $f (f^{- 1} (x)) = x$ , entonces $f^{- 1} (x) = \frac{10}{x} + 5$ es la inversa de $f (x) = \frac{10}{x - 5}$ .

$f^{- 1} (x) = \frac{10}{x} + 5$