Matemática discreta Ejemplos

$y = 9^{x}$

Paso 1

Intercambia las variables.

$x = 9^{y}$

Paso 2

Resuelve $y$

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Paso 2.1

Reescribe la ecuación como $9^{y} = x$ .

$9^{y} = x$

Paso 2.2

Resta el logaritmo natural de ambos lados de la ecuación para eliminar la variable del exponente.

$\ln (9^{y}) = \ln (x)$

Paso 2.3

Expande $\ln (9^{y})$ ; para ello, mueve $y$ fuera del logaritmo.

$y \ln (9) = \ln (x)$

Paso 2.4

Divide cada término en $y \ln (9) = \ln (x)$ por $\ln (9)$ y simplifica.

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Paso 2.4.1

Divide cada término en $y \ln (9) = \ln (x)$ por $\ln (9)$ .

$\frac{y \ln (9)}{\ln (9)} = \frac{\ln (x)}{\ln (9)}$

Paso 2.4.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 2.4.2.1

Cancela el factor común de $\ln (9)$ .

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Paso 2.4.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{y \ln (9)}{\ln (9)} = \frac{\ln (x)}{\ln (9)}$

Paso 2.4.2.1.2

Divide $y$ por $1$ .

$y = \frac{\ln (x)}{\ln (9)}$

Paso 3

Reemplaza $y$ con $f^{- 1} (x)$ para ver la respuesta final.

$f^{- 1} (x) = \frac{\ln (x)}{\ln (9)}$

Paso 4

Verifica si $f^{- 1} (x) = \frac{\ln (x)}{\ln (9)}$ es la inversa de $f (x) = 9^{x}$ .

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Paso 4.1

Para verificar la inversa, comprueba si $f^{- 1} (f (x)) = x$ y $f (f^{- 1} (x)) = x$ .

Paso 4.2

Evalúa $f^{- 1} (f (x))$ .

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Paso 4.2.1

Establece la función de resultado compuesta.

$f^{- 1} (f (x))$

Paso 4.2.2

Evalúa $f^{- 1} \cdot 9^{x}$ mediante la sustitución del valor de $f$ en $f^{- 1}$ .

$f^{- 1} \cdot 9^{x} = \frac{\ln (9^{x})}{\ln (9)}$

Paso 4.2.3

Expande $\ln (9^{x})$ ; para ello, mueve $x$ fuera del logaritmo.

$f^{- 1} \cdot 9^{x} = \frac{x \ln (9)}{\ln (9)}$

Paso 4.2.4

Cancela el factor común de $\ln (9)$ .

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Paso 4.2.4.1

Cancela el factor común.

$f^{- 1} \cdot 9^{x} = \frac{x \ln (9)}{\ln (9)}$

Paso 4.2.4.2

Divide $x$ por $1$ .

$f^{- 1} \cdot 9^{x} = x$

Paso 4.3

Evalúa $f (f^{- 1} (x))$ .

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Paso 4.3.1

Establece la función de resultado compuesta.

$f (f^{- 1} (x))$

Paso 4.3.2

Evalúa $f (\frac{\ln (x)}{\ln (9)})$ mediante la sustitución del valor de $f^{- 1}$ en $f$ .

$f (\frac{\ln (x)}{\ln (9)}) = 9^{\frac{\ln (x)}{\ln (9)}}$

Paso 4.3.3

Usa la regla de cambio de base $\frac{\log_{b} (x)}{\log_{b} (a)} = \log_{a} (x)$ .

$f (\frac{\ln (x)}{\ln (9)}) = 9^{\log_{9} (x)}$

Paso 4.3.4

Potencia y logaritmo son funciones inversas.

$f (\frac{\ln (x)}{\ln (9)}) = x$

Paso 4.4

Como $f^{- 1} (f (x)) = x$ y $f (f^{- 1} (x)) = x$ , entonces $f^{- 1} (x) = \frac{\ln (x)}{\ln (9)}$ es la inversa de $f (x) = 9^{x}$ .

$f^{- 1} (x) = \frac{\ln (x)}{\ln (9)}$