Matemática discreta Ejemplos

$y = \frac{7 x}{5} + \frac{16}{5}$

Paso 1

Intercambia las variables.

$x = \frac{7 y}{5} + \frac{16}{5}$

Paso 2

Resuelve $y$

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Paso 2.1

Reescribe la ecuación como $\frac{7 y}{5} + \frac{16}{5} = x$ .

$\frac{7 y}{5} + \frac{16}{5} = x$

Paso 2.2

Resta $\frac{16}{5}$ de ambos lados de la ecuación.

$\frac{7 y}{5} = x - \frac{16}{5}$

Paso 2.3

Multiplica ambos lados de la ecuación por $\frac{5}{7}$ .

$\frac{5}{7} \cdot \frac{7 y}{5} = \frac{5}{7} (x - \frac{16}{5})$

Paso 2.4

Simplifica ambos lados de la ecuación.

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Paso 2.4.1

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 2.4.1.1

Simplifica $\frac{5}{7} \cdot \frac{7 y}{5}$ .

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Paso 2.4.1.1.1

Cancela el factor común de $5$ .

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Paso 2.4.1.1.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{5}{7} \cdot \frac{7 y}{5} = \frac{5}{7} (x - \frac{16}{5})$

Paso 2.4.1.1.1.2

Reescribe la expresión.

$\frac{1}{7} (7 y) = \frac{5}{7} (x - \frac{16}{5})$

Paso 2.4.1.1.2

Cancela el factor común de $7$ .

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Paso 2.4.1.1.2.1

Factoriza $7$ de $7 y$ .

$\frac{1}{7} (7 (y)) = \frac{5}{7} (x - \frac{16}{5})$

Paso 2.4.1.1.2.2

Cancela el factor común.

$\frac{1}{7} (7 y) = \frac{5}{7} (x - \frac{16}{5})$

Paso 2.4.1.1.2.3

Reescribe la expresión.

$y = \frac{5}{7} (x - \frac{16}{5})$

Paso 2.4.2

Simplifica el lado derecho.

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Paso 2.4.2.1

Simplifica $\frac{5}{7} (x - \frac{16}{5})$ .

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Paso 2.4.2.1.1

Aplica la propiedad distributiva.

$y = \frac{5}{7} x + \frac{5}{7} (- \frac{16}{5})$

Paso 2.4.2.1.2

Combina $\frac{5}{7}$ y $x$ .

$y = \frac{5 x}{7} + \frac{5}{7} (- \frac{16}{5})$

Paso 2.4.2.1.3

Cancela el factor común de $5$ .

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Paso 2.4.2.1.3.1

Mueve el signo menos inicial en $- \frac{16}{5}$ al numerador.

$y = \frac{5 x}{7} + \frac{5}{7} \cdot \frac{- 16}{5}$

Paso 2.4.2.1.3.2

Cancela el factor común.

$y = \frac{5 x}{7} + \frac{5}{7} \cdot \frac{- 16}{5}$

Paso 2.4.2.1.3.3

Reescribe la expresión.

$y = \frac{5 x}{7} + \frac{1}{7} \cdot - 16$

Paso 2.4.2.1.4

Combina $\frac{1}{7}$ y $- 16$ .

$y = \frac{5 x}{7} + \frac{- 16}{7}$

Paso 2.4.2.1.5

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$y = \frac{5 x}{7} - \frac{16}{7}$

Paso 3

Replace $y$ with $f^{- 1} (x)$ to show the final answer.

$f^{- 1} (x) = \frac{5 x}{7} - \frac{16}{7}$

Paso 4

Verifica si $f^{- 1} (x) = \frac{5 x}{7} - \frac{16}{7}$ es la inversa de $f (x) = \frac{7 x}{5} + \frac{16}{5}$ .

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Paso 4.1

Para verificar la inversa, comprueba si $f^{- 1} (f (x)) = x$ y $f (f^{- 1} (x)) = x$ .

Paso 4.2

Evalúa $f^{- 1} (f (x))$ .

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Paso 4.2.1

Establece la función de resultado compuesta.

$f^{- 1} (f (x))$

Paso 4.2.2

Evalúa $f^{- 1} (\frac{7 x}{5} + \frac{16}{5})$ mediante la sustitución del valor de $f$ en $f^{- 1}$ .

$f^{- 1} (\frac{7 x}{5} + \frac{16}{5}) = \frac{5 (\frac{7 x}{5} + \frac{16}{5})}{7} - \frac{16}{7}$

Paso 4.2.3

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$f^{- 1} (\frac{7 x}{5} + \frac{16}{5}) = \frac{5 (\frac{7 x}{5} + \frac{16}{5}) - 16}{7}$

Paso 4.2.4

Simplifica cada término.

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Paso 4.2.4.1

Aplica la propiedad distributiva.

$f^{- 1} (\frac{7 x}{5} + \frac{16}{5}) = \frac{5 (\frac{7 x}{5}) + 5 (\frac{16}{5}) - 16}{7}$

Paso 4.2.4.2

Cancela el factor común de $5$ .

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Paso 4.2.4.2.1

Cancela el factor común.

$f^{- 1} (\frac{7 x}{5} + \frac{16}{5}) = \frac{5 (\frac{7 x}{5}) + 5 (\frac{16}{5}) - 16}{7}$

Paso 4.2.4.2.2

Reescribe la expresión.

$f^{- 1} (\frac{7 x}{5} + \frac{16}{5}) = \frac{7 x + 5 (\frac{16}{5}) - 16}{7}$

Paso 4.2.4.3

Cancela el factor común de $5$ .

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Paso 4.2.4.3.1

Cancela el factor común.

$f^{- 1} (\frac{7 x}{5} + \frac{16}{5}) = \frac{7 x + 5 (\frac{16}{5}) - 16}{7}$

Paso 4.2.4.3.2

Reescribe la expresión.

$f^{- 1} (\frac{7 x}{5} + \frac{16}{5}) = \frac{7 x + 16 - 16}{7}$

Paso 4.2.5

Simplifica los términos.

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Paso 4.2.5.1

Combina los términos opuestos en $7 x + 16 - 16$ .

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Paso 4.2.5.1.1

Resta $16$ de $16$ .

$f^{- 1} (\frac{7 x}{5} + \frac{16}{5}) = \frac{7 x + 0}{7}$

Paso 4.2.5.1.2

Suma $7 x$ y $0$ .

$f^{- 1} (\frac{7 x}{5} + \frac{16}{5}) = \frac{7 x}{7}$

Paso 4.2.5.2

Cancela el factor común de $7$ .

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Paso 4.2.5.2.1

Cancela el factor común.

$f^{- 1} (\frac{7 x}{5} + \frac{16}{5}) = \frac{7 x}{7}$

Paso 4.2.5.2.2

Divide $x$ por $1$ .

$f^{- 1} (\frac{7 x}{5} + \frac{16}{5}) = x$

Paso 4.3

Evalúa $f (f^{- 1} (x))$ .

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Paso 4.3.1

Establece la función de resultado compuesta.

$f (f^{- 1} (x))$

Paso 4.3.2

Evalúa $f (\frac{5 x}{7} - \frac{16}{7})$ mediante la sustitución del valor de $f^{- 1}$ en $f$ .

$f (\frac{5 x}{7} - \frac{16}{7}) = \frac{7 (\frac{5 x}{7} - \frac{16}{7})}{5} + \frac{16}{5}$

Paso 4.3.3

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$f (\frac{5 x}{7} - \frac{16}{7}) = \frac{7 (\frac{5 x}{7} - \frac{16}{7}) + 16}{5}$

Paso 4.3.4

Simplifica cada término.

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Paso 4.3.4.1

Aplica la propiedad distributiva.

$f (\frac{5 x}{7} - \frac{16}{7}) = \frac{7 (\frac{5 x}{7}) + 7 (- \frac{16}{7}) + 16}{5}$

Paso 4.3.4.2

Cancela el factor común de $7$ .

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Paso 4.3.4.2.1

Cancela el factor común.

$f (\frac{5 x}{7} - \frac{16}{7}) = \frac{7 (\frac{5 x}{7}) + 7 (- \frac{16}{7}) + 16}{5}$

Paso 4.3.4.2.2

Reescribe la expresión.

$f (\frac{5 x}{7} - \frac{16}{7}) = \frac{5 x + 7 (- \frac{16}{7}) + 16}{5}$

Paso 4.3.4.3

Cancela el factor común de $7$ .

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Paso 4.3.4.3.1

Mueve el signo menos inicial en $- \frac{16}{7}$ al numerador.

$f (\frac{5 x}{7} - \frac{16}{7}) = \frac{5 x + 7 (\frac{- 16}{7}) + 16}{5}$

Paso 4.3.4.3.2

Cancela el factor común.

$f (\frac{5 x}{7} - \frac{16}{7}) = \frac{5 x + 7 (\frac{- 16}{7}) + 16}{5}$

Paso 4.3.4.3.3

Reescribe la expresión.

$f (\frac{5 x}{7} - \frac{16}{7}) = \frac{5 x - 16 + 16}{5}$

Paso 4.3.5

Simplifica los términos.

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Paso 4.3.5.1

Combina los términos opuestos en $5 x - 16 + 16$ .

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Paso 4.3.5.1.1

Suma $- 16$ y $16$ .

$f (\frac{5 x}{7} - \frac{16}{7}) = \frac{5 x + 0}{5}$

Paso 4.3.5.1.2

Suma $5 x$ y $0$ .

$f (\frac{5 x}{7} - \frac{16}{7}) = \frac{5 x}{5}$

Paso 4.3.5.2

Cancela el factor común de $5$ .

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Paso 4.3.5.2.1

Cancela el factor común.

$f (\frac{5 x}{7} - \frac{16}{7}) = \frac{5 x}{5}$

Paso 4.3.5.2.2

Divide $x$ por $1$ .

$f (\frac{5 x}{7} - \frac{16}{7}) = x$

Paso 4.4

Como $f^{- 1} (f (x)) = x$ y $f (f^{- 1} (x)) = x$ , entonces $f^{- 1} (x) = \frac{5 x}{7} - \frac{16}{7}$ es la inversa de $f (x) = \frac{7 x}{5} + \frac{16}{5}$ .

$f^{- 1} (x) = \frac{5 x}{7} - \frac{16}{7}$