Matemática discreta Ejemplos

$f (x) = x^{2} e^{x} - 4 e^{x}$

Paso 1

Establece $x^{2} e^{x} - 4 e^{x}$ igual a $0$ .

$x^{2} e^{x} - 4 e^{x} = 0$

Paso 2

Resuelve $x$

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Paso 2.1

Factoriza el lado izquierdo de la ecuación.

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Paso 2.1.1

Factoriza $e^{x}$ de $x^{2} e^{x} - 4 e^{x}$ .

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Paso 2.1.1.1

Factoriza $e^{x}$ de $x^{2} e^{x}$ .

$e^{x} x^{2} - 4 e^{x} = 0$

Paso 2.1.1.2

Factoriza $e^{x}$ de $- 4 e^{x}$ .

$e^{x} x^{2} + e^{x} \cdot - 4 = 0$

Paso 2.1.1.3

Factoriza $e^{x}$ de $e^{x} x^{2} + e^{x} \cdot - 4$ .

$e^{x} (x^{2} - 4) = 0$

Paso 2.1.2

Reescribe $4$ como $2^{2}$ .

$e^{x} (x^{2} - 2^{2}) = 0$

Paso 2.1.3

Factoriza.

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Paso 2.1.3.1

Dado que ambos términos son cuadrados perfectos, factoriza con la fórmula de la diferencia de cuadrados, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , donde $a = x$ y $b = 2$ .

$e^{x} ((x + 2) (x - 2)) = 0$

Paso 2.1.3.2

Elimina los paréntesis innecesarios.

$e^{x} (x + 2) (x - 2) = 0$

Paso 2.2

Si cualquier factor individual en el lado izquierdo de la ecuación es igual a $0$ , la expresión completa será igual a $0$ .

$e^{x} = 0$

$x + 2 = 0$

$x - 2 = 0$

Paso 2.3

Establece $e^{x}$ igual a $0$ y resuelve $x$ .

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Paso 2.3.1

Establece $e^{x}$ igual a $0$ .

$e^{x} = 0$

Paso 2.3.2

Resuelve $e^{x} = 0$ en $x$ .

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Paso 2.3.2.1

Resta el logaritmo natural de ambos lados de la ecuación para eliminar la variable del exponente.

$\ln (e^{x}) = \ln (0)$

Paso 2.3.2.2

La ecuación no puede resolverse porque $\ln (0)$ es indefinida.

Indefinida

Paso 2.3.2.3

No hay soluciones para $e^{x} = 0$

No hay solución

Paso 2.4

Establece $x + 2$ igual a $0$ y resuelve $x$ .

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Paso 2.4.1

Establece $x + 2$ igual a $0$ .

$x + 2 = 0$

Paso 2.4.2

Resta $2$ de ambos lados de la ecuación.

$x = - 2$

Paso 2.5

Establece $x - 2$ igual a $0$ y resuelve $x$ .

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Paso 2.5.1

Establece $x - 2$ igual a $0$ .

$x - 2 = 0$

Paso 2.5.2

Suma $2$ a ambos lados de la ecuación.

$x = 2$

Paso 2.6

La solución final comprende todos los valores que hacen $e^{x} (x + 2) (x - 2) = 0$ verdadera.

$x = - 2, 2$

Paso 3