Matemática discreta Ejemplos

$f (x) = - x^{2} + 6 x^{2} - 9 x + 6$

Paso 1

Suma $- x^{2}$ y $6 x^{2}$ .

$f (x) = 5 x^{2} - 9 x + 6$

Paso 2

Obtén todas las combinaciones de $\pm \frac{p}{q}$ .

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Paso 2.1

Si una función polinomial tiene coeficientes enteros, entonces todo cero racional tendrá la forma $\frac{p}{q}$ , donde $p$ es un factor de la constante y $q$ es un factor del coeficiente principal.

$p = \pm 1, \pm 2, \pm 3, \pm 6$

$q = \pm 1, \pm 5$

Paso 2.2

Obtén todas las combinaciones de $\pm \frac{p}{q}$ . Estas son las posibles raíces de la función polinomial.

$\pm 1, \pm \frac{1}{5}, \pm 2, \pm \frac{2}{5}, \pm 3, \pm \frac{3}{5}, \pm 6, \pm \frac{6}{5}$

Paso 3

Aplica la regla de división sintética en $\frac{5 x^{2} - 9 x + 6}{x + 1}$ cuando $x = - 1$ .

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Paso 3.1

Coloca los números que representan el divisor y el dividendo en una configuración tipo división.

$- 1$	$5$	$- 9$	$6$

Paso 3.2

El primer número en el dividendo $(5)$ se pone en la primera posición del área del resultado (debajo de la recta horizontal).

$- 1$	$5$	$- 9$	$6$

	$5$

Paso 3.3

Multiplica la entrada más reciente en el resultado $(5)$ por el divisor $(- 1)$ y coloca el resultado de $(- 5)$ debajo del siguiente término en el dividendo $(- 9)$ .

$- 1$	$5$	$- 9$	$6$
		$- 5$
	$5$

Paso 3.4

Suma el producto de la multiplicación y el número del dividendo y coloca el resultado en la siguiente posición en la línea del resultado.

$- 1$	$5$	$- 9$	$6$
		$- 5$
	$5$	$- 14$

Paso 3.5

Multiplica la entrada más reciente en el resultado $(- 14)$ por el divisor $(- 1)$ y coloca el resultado de $(14)$ debajo del siguiente término en el dividendo $(6)$ .

$- 1$	$5$	$- 9$	$6$
		$- 5$	$14$
	$5$	$- 14$

Paso 3.6

Suma el producto de la multiplicación y el número del dividendo y coloca el resultado en la siguiente posición en la línea del resultado.

$- 1$	$5$	$- 9$	$6$
		$- 5$	$14$
	$5$	$- 14$	$20$

Paso 3.7

Todos los números excepto el último se convierten en coeficientes del polinomio del cociente. El último valor de la línea del resultado es el resto.

$(5) x - 14 + \frac{20}{x + 1}$

Paso 3.8

Simplifica el polinomio del cociente.

$5 x - 14 + \frac{20}{x + 1}$

Paso 4

Como $- 1 < 0$ y los signos en la fila inferior del signo alternativo de la división sintética, $- 1$ es una cota inferior para las raíces reales de la función.

Cota inferior: $- 1$

Paso 5

Aplica la regla de división sintética en $\frac{5 x^{2} - 9 x + 6}{x + \frac{1}{5}}$ cuando $x = - \frac{1}{5}$ .

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Paso 5.1

Coloca los números que representan el divisor y el dividendo en una configuración tipo división.

$- \frac{1}{5}$	$5$	$- 9$	$6$

Paso 5.2

El primer número en el dividendo $(5)$ se pone en la primera posición del área del resultado (debajo de la recta horizontal).

$- \frac{1}{5}$	$5$	$- 9$	$6$

	$5$

Paso 5.3

Multiplica la entrada más reciente en el resultado $(5)$ por el divisor $(- \frac{1}{5})$ y coloca el resultado de $(- 1)$ debajo del siguiente término en el dividendo $(- 9)$ .

$- \frac{1}{5}$	$5$	$- 9$	$6$
		$- 1$
	$5$

Paso 5.4

Suma el producto de la multiplicación y el número del dividendo y coloca el resultado en la siguiente posición en la línea del resultado.

$- \frac{1}{5}$	$5$	$- 9$	$6$
		$- 1$
	$5$	$- 10$

Paso 5.5

Multiplica la entrada más reciente en el resultado $(- 10)$ por el divisor $(- \frac{1}{5})$ y coloca el resultado de $(2)$ debajo del siguiente término en el dividendo $(6)$ .

$- \frac{1}{5}$	$5$	$- 9$	$6$
		$- 1$	$2$
	$5$	$- 10$

Paso 5.6

Suma el producto de la multiplicación y el número del dividendo y coloca el resultado en la siguiente posición en la línea del resultado.

$- \frac{1}{5}$	$5$	$- 9$	$6$
		$- 1$	$2$
	$5$	$- 10$	$8$

Paso 5.7

Todos los números excepto el último se convierten en coeficientes del polinomio del cociente. El último valor de la línea del resultado es el resto.

$(5) x - 10 + \frac{8}{x + \frac{1}{5}}$

Paso 5.8

Simplifica el polinomio del cociente.

$5 x - 10 + \frac{40}{5 x + 1}$

Paso 6

Como $- \frac{1}{5} < 0$ y los signos en la fila inferior del signo alternativo de la división sintética, $- \frac{1}{5}$ es una cota inferior para las raíces reales de la función.

Cota inferior: $- \frac{1}{5}$

Paso 7

Aplica la regla de división sintética en $\frac{5 x^{2} - 9 x + 6}{x - 2}$ cuando $x = 2$ .

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Paso 7.1

Coloca los números que representan el divisor y el dividendo en una configuración tipo división.

$2$	$5$	$- 9$	$6$

Paso 7.2

El primer número en el dividendo $(5)$ se pone en la primera posición del área del resultado (debajo de la recta horizontal).

$2$	$5$	$- 9$	$6$

	$5$

Paso 7.3

Multiplica la entrada más reciente en el resultado $(5)$ por el divisor $(2)$ y coloca el resultado de $(10)$ debajo del siguiente término en el dividendo $(- 9)$ .

$2$	$5$	$- 9$	$6$
		$10$
	$5$

Paso 7.4

Suma el producto de la multiplicación y el número del dividendo y coloca el resultado en la siguiente posición en la línea del resultado.

$2$	$5$	$- 9$	$6$
		$10$
	$5$	$1$

Paso 7.5

Multiplica la entrada más reciente en el resultado $(1)$ por el divisor $(2)$ y coloca el resultado de $(2)$ debajo del siguiente término en el dividendo $(6)$ .

$2$	$5$	$- 9$	$6$
		$10$	$2$
	$5$	$1$

Paso 7.6

Suma el producto de la multiplicación y el número del dividendo y coloca el resultado en la siguiente posición en la línea del resultado.

$2$	$5$	$- 9$	$6$
		$10$	$2$
	$5$	$1$	$8$

Paso 7.7

Todos los números excepto el último se convierten en coeficientes del polinomio del cociente. El último valor de la línea del resultado es el resto.

$(5) x + 1 + \frac{8}{x - 2}$

Paso 7.8

Simplifica el polinomio del cociente.

$5 x + 1 + \frac{8}{x - 2}$

Paso 8

Como $2 > 0$ y todos los signos en la fila inferior de la división sintética son positivos, $2$ es una cota superior para las raíces reales de la función.

Cota superior: $2$

Paso 9

Aplica la regla de división sintética en $\frac{5 x^{2} - 9 x + 6}{x + 2}$ cuando $x = - 2$ .

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Paso 9.1

Coloca los números que representan el divisor y el dividendo en una configuración tipo división.

$- 2$	$5$	$- 9$	$6$

Paso 9.2

El primer número en el dividendo $(5)$ se pone en la primera posición del área del resultado (debajo de la recta horizontal).

$- 2$	$5$	$- 9$	$6$

	$5$

Paso 9.3

Multiplica la entrada más reciente en el resultado $(5)$ por el divisor $(- 2)$ y coloca el resultado de $(- 10)$ debajo del siguiente término en el dividendo $(- 9)$ .

$- 2$	$5$	$- 9$	$6$
		$- 10$
	$5$

Paso 9.4

Suma el producto de la multiplicación y el número del dividendo y coloca el resultado en la siguiente posición en la línea del resultado.

$- 2$	$5$	$- 9$	$6$
		$- 10$
	$5$	$- 19$

Paso 9.5

Multiplica la entrada más reciente en el resultado $(- 19)$ por el divisor $(- 2)$ y coloca el resultado de $(38)$ debajo del siguiente término en el dividendo $(6)$ .

$- 2$	$5$	$- 9$	$6$
		$- 10$	$38$
	$5$	$- 19$

Paso 9.6

Suma el producto de la multiplicación y el número del dividendo y coloca el resultado en la siguiente posición en la línea del resultado.

$- 2$	$5$	$- 9$	$6$
		$- 10$	$38$
	$5$	$- 19$	$44$

Paso 9.7

Todos los números excepto el último se convierten en coeficientes del polinomio del cociente. El último valor de la línea del resultado es el resto.

$(5) x - 19 + \frac{44}{x + 2}$

Paso 9.8

Simplifica el polinomio del cociente.

$5 x - 19 + \frac{44}{x + 2}$

Paso 10

Como $- 2 < 0$ y los signos en la fila inferior del signo alternativo de la división sintética, $- 2$ es una cota inferior para las raíces reales de la función.

Cota inferior: $- 2$

Paso 11

Aplica la regla de división sintética en $\frac{5 x^{2} - 9 x + 6}{x + \frac{2}{5}}$ cuando $x = - \frac{2}{5}$ .

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Paso 11.1

Coloca los números que representan el divisor y el dividendo en una configuración tipo división.

$- \frac{2}{5}$	$5$	$- 9$	$6$

Paso 11.2

El primer número en el dividendo $(5)$ se pone en la primera posición del área del resultado (debajo de la recta horizontal).

$- \frac{2}{5}$	$5$	$- 9$	$6$

	$5$

Paso 11.3

Multiplica la entrada más reciente en el resultado $(5)$ por el divisor $(- \frac{2}{5})$ y coloca el resultado de $(- 2)$ debajo del siguiente término en el dividendo $(- 9)$ .

$- \frac{2}{5}$	$5$	$- 9$	$6$
		$- 2$
	$5$

Paso 11.4

Suma el producto de la multiplicación y el número del dividendo y coloca el resultado en la siguiente posición en la línea del resultado.

$- \frac{2}{5}$	$5$	$- 9$	$6$
		$- 2$
	$5$	$- 11$

Paso 11.5

Multiplica la entrada más reciente en el resultado $(- 11)$ por el divisor $(- \frac{2}{5})$ y coloca el resultado de $(\frac{22}{5})$ debajo del siguiente término en el dividendo $(6)$ .

$- \frac{2}{5}$	$5$	$- 9$	$6$
		$- 2$	$\frac{22}{5}$
	$5$	$- 11$

Paso 11.6

Suma el producto de la multiplicación y el número del dividendo y coloca el resultado en la siguiente posición en la línea del resultado.

$- \frac{2}{5}$	$5$	$- 9$	$6$
		$- 2$	$\frac{22}{5}$
	$5$	$- 11$	$\frac{52}{5}$

Paso 11.7

Todos los números excepto el último se convierten en coeficientes del polinomio del cociente. El último valor de la línea del resultado es el resto.

$(5) x - 11 + \frac{\frac{52}{5}}{x + \frac{2}{5}}$

Paso 11.8

Simplifica el polinomio del cociente.

$5 x - 11 + \frac{52}{5 x + 2}$

Paso 12

Como $- \frac{2}{5} < 0$ y los signos en la fila inferior del signo alternativo de la división sintética, $- \frac{2}{5}$ es una cota inferior para las raíces reales de la función.

Cota inferior: $- \frac{2}{5}$

Paso 13

Aplica la regla de división sintética en $\frac{5 x^{2} - 9 x + 6}{x - 3}$ cuando $x = 3$ .

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Paso 13.1

Coloca los números que representan el divisor y el dividendo en una configuración tipo división.

$3$	$5$	$- 9$	$6$

Paso 13.2

El primer número en el dividendo $(5)$ se pone en la primera posición del área del resultado (debajo de la recta horizontal).

$3$	$5$	$- 9$	$6$

	$5$

Paso 13.3

Multiplica la entrada más reciente en el resultado $(5)$ por el divisor $(3)$ y coloca el resultado de $(15)$ debajo del siguiente término en el dividendo $(- 9)$ .

$3$	$5$	$- 9$	$6$
		$15$
	$5$

Paso 13.4

Suma el producto de la multiplicación y el número del dividendo y coloca el resultado en la siguiente posición en la línea del resultado.

$3$	$5$	$- 9$	$6$
		$15$
	$5$	$6$

Paso 13.5

Multiplica la entrada más reciente en el resultado $(6)$ por el divisor $(3)$ y coloca el resultado de $(18)$ debajo del siguiente término en el dividendo $(6)$ .

$3$	$5$	$- 9$	$6$
		$15$	$18$
	$5$	$6$

Paso 13.6

Suma el producto de la multiplicación y el número del dividendo y coloca el resultado en la siguiente posición en la línea del resultado.

$3$	$5$	$- 9$	$6$
		$15$	$18$
	$5$	$6$	$24$

Paso 13.7

Todos los números excepto el último se convierten en coeficientes del polinomio del cociente. El último valor de la línea del resultado es el resto.

$(5) x + 6 + \frac{24}{x - 3}$

Paso 13.8

Simplifica el polinomio del cociente.

$5 x + 6 + \frac{24}{x - 3}$

Paso 14

Como $3 > 0$ y todos los signos en la fila inferior de la división sintética son positivos, $3$ es una cota superior para las raíces reales de la función.

Cota superior: $3$

Paso 15

Aplica la regla de división sintética en $\frac{5 x^{2} - 9 x + 6}{x + 3}$ cuando $x = - 3$ .

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Paso 15.1

Coloca los números que representan el divisor y el dividendo en una configuración tipo división.

$- 3$	$5$	$- 9$	$6$

Paso 15.2

El primer número en el dividendo $(5)$ se pone en la primera posición del área del resultado (debajo de la recta horizontal).

$- 3$	$5$	$- 9$	$6$

	$5$

Paso 15.3

Multiplica la entrada más reciente en el resultado $(5)$ por el divisor $(- 3)$ y coloca el resultado de $(- 15)$ debajo del siguiente término en el dividendo $(- 9)$ .

$- 3$	$5$	$- 9$	$6$
		$- 15$
	$5$

Paso 15.4

Suma el producto de la multiplicación y el número del dividendo y coloca el resultado en la siguiente posición en la línea del resultado.

$- 3$	$5$	$- 9$	$6$
		$- 15$
	$5$	$- 24$

Paso 15.5

Multiplica la entrada más reciente en el resultado $(- 24)$ por el divisor $(- 3)$ y coloca el resultado de $(72)$ debajo del siguiente término en el dividendo $(6)$ .

$- 3$	$5$	$- 9$	$6$
		$- 15$	$72$
	$5$	$- 24$

Paso 15.6

Suma el producto de la multiplicación y el número del dividendo y coloca el resultado en la siguiente posición en la línea del resultado.

$- 3$	$5$	$- 9$	$6$
		$- 15$	$72$
	$5$	$- 24$	$78$

Paso 15.7

Todos los números excepto el último se convierten en coeficientes del polinomio del cociente. El último valor de la línea del resultado es el resto.

$(5) x - 24 + \frac{78}{x + 3}$

Paso 15.8

Simplifica el polinomio del cociente.

$5 x - 24 + \frac{78}{x + 3}$

Paso 16

Como $- 3 < 0$ y los signos en la fila inferior del signo alternativo de la división sintética, $- 3$ es una cota inferior para las raíces reales de la función.

Cota inferior: $- 3$

Paso 17

Aplica la regla de división sintética en $\frac{5 x^{2} - 9 x + 6}{x + \frac{3}{5}}$ cuando $x = - \frac{3}{5}$ .

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Paso 17.1

Coloca los números que representan el divisor y el dividendo en una configuración tipo división.

$- \frac{3}{5}$	$5$	$- 9$	$6$

Paso 17.2

El primer número en el dividendo $(5)$ se pone en la primera posición del área del resultado (debajo de la recta horizontal).

$- \frac{3}{5}$	$5$	$- 9$	$6$

	$5$

Paso 17.3

Multiplica la entrada más reciente en el resultado $(5)$ por el divisor $(- \frac{3}{5})$ y coloca el resultado de $(- 3)$ debajo del siguiente término en el dividendo $(- 9)$ .

$- \frac{3}{5}$	$5$	$- 9$	$6$
		$- 3$
	$5$

Paso 17.4

Suma el producto de la multiplicación y el número del dividendo y coloca el resultado en la siguiente posición en la línea del resultado.

$- \frac{3}{5}$	$5$	$- 9$	$6$
		$- 3$
	$5$	$- 12$

Paso 17.5

Multiplica la entrada más reciente en el resultado $(- 12)$ por el divisor $(- \frac{3}{5})$ y coloca el resultado de $(\frac{36}{5})$ debajo del siguiente término en el dividendo $(6)$ .

$- \frac{3}{5}$	$5$	$- 9$	$6$
		$- 3$	$\frac{36}{5}$
	$5$	$- 12$

Paso 17.6

Suma el producto de la multiplicación y el número del dividendo y coloca el resultado en la siguiente posición en la línea del resultado.

$- \frac{3}{5}$	$5$	$- 9$	$6$
		$- 3$	$\frac{36}{5}$
	$5$	$- 12$	$\frac{66}{5}$

Paso 17.7

Todos los números excepto el último se convierten en coeficientes del polinomio del cociente. El último valor de la línea del resultado es el resto.

$(5) x - 12 + \frac{\frac{66}{5}}{x + \frac{3}{5}}$

Paso 17.8

Simplifica el polinomio del cociente.

$5 x - 12 + \frac{66}{5 x + 3}$

Paso 18

Como $- \frac{3}{5} < 0$ y los signos en la fila inferior del signo alternativo de la división sintética, $- \frac{3}{5}$ es una cota inferior para las raíces reales de la función.

Cota inferior: $- \frac{3}{5}$

Paso 19

Aplica la regla de división sintética en $\frac{5 x^{2} - 9 x + 6}{x - 6}$ cuando $x = 6$ .

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Paso 19.1

Coloca los números que representan el divisor y el dividendo en una configuración tipo división.

$6$	$5$	$- 9$	$6$

Paso 19.2

El primer número en el dividendo $(5)$ se pone en la primera posición del área del resultado (debajo de la recta horizontal).

$6$	$5$	$- 9$	$6$

	$5$

Paso 19.3

Multiplica la entrada más reciente en el resultado $(5)$ por el divisor $(6)$ y coloca el resultado de $(30)$ debajo del siguiente término en el dividendo $(- 9)$ .

$6$	$5$	$- 9$	$6$
		$30$
	$5$

Paso 19.4

Suma el producto de la multiplicación y el número del dividendo y coloca el resultado en la siguiente posición en la línea del resultado.

$6$	$5$	$- 9$	$6$
		$30$
	$5$	$21$

Paso 19.5

Multiplica la entrada más reciente en el resultado $(21)$ por el divisor $(6)$ y coloca el resultado de $(126)$ debajo del siguiente término en el dividendo $(6)$ .

$6$	$5$	$- 9$	$6$
		$30$	$126$
	$5$	$21$

Paso 19.6

Suma el producto de la multiplicación y el número del dividendo y coloca el resultado en la siguiente posición en la línea del resultado.

$6$	$5$	$- 9$	$6$
		$30$	$126$
	$5$	$21$	$132$

Paso 19.7

Todos los números excepto el último se convierten en coeficientes del polinomio del cociente. El último valor de la línea del resultado es el resto.

$(5) x + 21 + \frac{132}{x - 6}$

Paso 19.8

Simplifica el polinomio del cociente.

$5 x + 21 + \frac{132}{x - 6}$

Paso 20

Como $6 > 0$ y todos los signos en la fila inferior de la división sintética son positivos, $6$ es una cota superior para las raíces reales de la función.

Cota superior: $6$

Paso 21

Aplica la regla de división sintética en $\frac{5 x^{2} - 9 x + 6}{x + 6}$ cuando $x = - 6$ .

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Paso 21.1

Coloca los números que representan el divisor y el dividendo en una configuración tipo división.

$- 6$	$5$	$- 9$	$6$

Paso 21.2

El primer número en el dividendo $(5)$ se pone en la primera posición del área del resultado (debajo de la recta horizontal).

$- 6$	$5$	$- 9$	$6$

	$5$

Paso 21.3

Multiplica la entrada más reciente en el resultado $(5)$ por el divisor $(- 6)$ y coloca el resultado de $(- 30)$ debajo del siguiente término en el dividendo $(- 9)$ .

$- 6$	$5$	$- 9$	$6$
		$- 30$
	$5$

Paso 21.4

Suma el producto de la multiplicación y el número del dividendo y coloca el resultado en la siguiente posición en la línea del resultado.

$- 6$	$5$	$- 9$	$6$
		$- 30$
	$5$	$- 39$

Paso 21.5

Multiplica la entrada más reciente en el resultado $(- 39)$ por el divisor $(- 6)$ y coloca el resultado de $(234)$ debajo del siguiente término en el dividendo $(6)$ .

$- 6$	$5$	$- 9$	$6$
		$- 30$	$234$
	$5$	$- 39$

Paso 21.6

Suma el producto de la multiplicación y el número del dividendo y coloca el resultado en la siguiente posición en la línea del resultado.

$- 6$	$5$	$- 9$	$6$
		$- 30$	$234$
	$5$	$- 39$	$240$

Paso 21.7

Todos los números excepto el último se convierten en coeficientes del polinomio del cociente. El último valor de la línea del resultado es el resto.

$(5) x - 39 + \frac{240}{x + 6}$

Paso 21.8

Simplifica el polinomio del cociente.

$5 x - 39 + \frac{240}{x + 6}$

Paso 22

Como $- 6 < 0$ y los signos en la fila inferior del signo alternativo de la división sintética, $- 6$ es una cota inferior para las raíces reales de la función.

Cota inferior: $- 6$

Paso 23

Aplica la regla de división sintética en $\frac{5 x^{2} - 9 x + 6}{x + \frac{6}{5}}$ cuando $x = - \frac{6}{5}$ .

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Paso 23.1

Coloca los números que representan el divisor y el dividendo en una configuración tipo división.

$- \frac{6}{5}$	$5$	$- 9$	$6$

Paso 23.2

El primer número en el dividendo $(5)$ se pone en la primera posición del área del resultado (debajo de la recta horizontal).

$- \frac{6}{5}$	$5$	$- 9$	$6$

	$5$

Paso 23.3

Multiplica la entrada más reciente en el resultado $(5)$ por el divisor $(- \frac{6}{5})$ y coloca el resultado de $(- 6)$ debajo del siguiente término en el dividendo $(- 9)$ .

$- \frac{6}{5}$	$5$	$- 9$	$6$
		$- 6$
	$5$

Paso 23.4

Suma el producto de la multiplicación y el número del dividendo y coloca el resultado en la siguiente posición en la línea del resultado.

$- \frac{6}{5}$	$5$	$- 9$	$6$
		$- 6$
	$5$	$- 15$

Paso 23.5

Multiplica la entrada más reciente en el resultado $(- 15)$ por el divisor $(- \frac{6}{5})$ y coloca el resultado de $(18)$ debajo del siguiente término en el dividendo $(6)$ .

$- \frac{6}{5}$	$5$	$- 9$	$6$
		$- 6$	$18$
	$5$	$- 15$

Paso 23.6

Suma el producto de la multiplicación y el número del dividendo y coloca el resultado en la siguiente posición en la línea del resultado.

$- \frac{6}{5}$	$5$	$- 9$	$6$
		$- 6$	$18$
	$5$	$- 15$	$24$

Paso 23.7

Todos los números excepto el último se convierten en coeficientes del polinomio del cociente. El último valor de la línea del resultado es el resto.

$(5) x - 15 + \frac{24}{x + \frac{6}{5}}$

Paso 23.8

Simplifica el polinomio del cociente.

$5 x - 15 + \frac{120}{5 x + 6}$

Paso 24

Como $- \frac{6}{5} < 0$ y los signos en la fila inferior del signo alternativo de la división sintética, $- \frac{6}{5}$ es una cota inferior para las raíces reales de la función.

Cota inferior: $- \frac{6}{5}$

Paso 25

Determina los límites superior e inferior.

Cotas superiores: $2, 3, 6$

Cotas inferiores: $- 1, - \frac{1}{5}, - 2, - \frac{2}{5}, - 3, - \frac{3}{5}, - 6, - \frac{6}{5}$

Paso 26