Matemática discreta Ejemplos

$- 10 x + 6 y = 6$ , $3 x + 3 y = 15$

Paso 1

Resuelve $x$ en $- 10 x + 6 y = 6$ .

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Paso 1.1

Resta $6 y$ de ambos lados de la ecuación.

$- 10 x = 6 - 6 y$

$3 x + 3 y = 15$

Paso 1.2

Divide cada término en $- 10 x = 6 - 6 y$ por $- 10$ y simplifica.

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Paso 1.2.1

Divide cada término en $- 10 x = 6 - 6 y$ por $- 10$ .

$\frac{- 10 x}{- 10} = \frac{6}{- 10} + \frac{- 6 y}{- 10}$

$3 x + 3 y = 15$

Paso 1.2.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 1.2.2.1

Cancela el factor común de $- 10$ .

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Paso 1.2.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{- 10 x}{- 10} = \frac{6}{- 10} + \frac{- 6 y}{- 10}$

$3 x + 3 y = 15$

Paso 1.2.2.1.2

Divide $x$ por $1$ .

$x = \frac{6}{- 10} + \frac{- 6 y}{- 10}$

$3 x + 3 y = 15$

$x = \frac{6}{- 10} + \frac{- 6 y}{- 10}$

$3 x + 3 y = 15$

$x = \frac{6}{- 10} + \frac{- 6 y}{- 10}$

$3 x + 3 y = 15$

Paso 1.2.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 1.2.3.1

Simplifica cada término.

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Paso 1.2.3.1.1

Cancela el factor común de $6$ y $- 10$ .

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Paso 1.2.3.1.1.1

Factoriza $2$ de $6$ .

$x = \frac{2 (3)}{- 10} + \frac{- 6 y}{- 10}$

$3 x + 3 y = 15$

Paso 1.2.3.1.1.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 1.2.3.1.1.2.1

Factoriza $2$ de $- 10$ .

$x = \frac{2 \cdot 3}{2 \cdot - 5} + \frac{- 6 y}{- 10}$

$3 x + 3 y = 15$

Paso 1.2.3.1.1.2.2

Cancela el factor común.

$x = \frac{2 \cdot 3}{2 \cdot - 5} + \frac{- 6 y}{- 10}$

$3 x + 3 y = 15$

Paso 1.2.3.1.1.2.3

Reescribe la expresión.

$x = \frac{3}{- 5} + \frac{- 6 y}{- 10}$

$3 x + 3 y = 15$

$x = \frac{3}{- 5} + \frac{- 6 y}{- 10}$

$3 x + 3 y = 15$

$x = \frac{3}{- 5} + \frac{- 6 y}{- 10}$

$3 x + 3 y = 15$

Paso 1.2.3.1.2

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$x = - \frac{3}{5} + \frac{- 6 y}{- 10}$

$3 x + 3 y = 15$

Paso 1.2.3.1.3

Cancela el factor común de $- 6$ y $- 10$ .

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Paso 1.2.3.1.3.1

Factoriza $- 2$ de $- 6 y$ .

$x = - \frac{3}{5} + \frac{- 2 (3 y)}{- 10}$

$3 x + 3 y = 15$

Paso 1.2.3.1.3.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 1.2.3.1.3.2.1

Factoriza $- 2$ de $- 10$ .

$x = - \frac{3}{5} + \frac{- 2 (3 y)}{- 2 \cdot 5}$

$3 x + 3 y = 15$

Paso 1.2.3.1.3.2.2

Cancela el factor común.

$x = - \frac{3}{5} + \frac{- 2 (3 y)}{- 2 \cdot 5}$

$3 x + 3 y = 15$

Paso 1.2.3.1.3.2.3

Reescribe la expresión.

$x = - \frac{3}{5} + \frac{3 y}{5}$

$3 x + 3 y = 15$

$x = - \frac{3}{5} + \frac{3 y}{5}$

$3 x + 3 y = 15$

$x = - \frac{3}{5} + \frac{3 y}{5}$

$3 x + 3 y = 15$

$x = - \frac{3}{5} + \frac{3 y}{5}$

$3 x + 3 y = 15$

$x = - \frac{3}{5} + \frac{3 y}{5}$

$3 x + 3 y = 15$

$x = - \frac{3}{5} + \frac{3 y}{5}$

$3 x + 3 y = 15$

$x = - \frac{3}{5} + \frac{3 y}{5}$

$3 x + 3 y = 15$

Paso 2

Reemplaza todos los casos de $x$ por $- \frac{3}{5} + \frac{3 y}{5}$ en cada ecuación.

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Paso 2.1

Reemplaza todos los casos de $x$ en $3 x + 3 y = 15$ por $- \frac{3}{5} + \frac{3 y}{5}$ .

$3 (- \frac{3}{5} + \frac{3 y}{5}) + 3 y = 15$

$x = - \frac{3}{5} + \frac{3 y}{5}$

Paso 2.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 2.2.1

Simplifica $3 (- \frac{3}{5} + \frac{3 y}{5}) + 3 y$ .

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Paso 2.2.1.1

Simplifica cada término.

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Paso 2.2.1.1.1

Aplica la propiedad distributiva.

$3 (- \frac{3}{5}) + 3 (\frac{3 y}{5}) + 3 y = 15$

$x = - \frac{3}{5} + \frac{3 y}{5}$

Paso 2.2.1.1.2

Multiplica $3 (- \frac{3}{5})$ .

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Paso 2.2.1.1.2.1

Multiplica $- 1$ por $3$ .

$- 3 (\frac{3}{5}) + 3 (\frac{3 y}{5}) + 3 y = 15$

$x = - \frac{3}{5} + \frac{3 y}{5}$

Paso 2.2.1.1.2.2

Combina $- 3$ y $\frac{3}{5}$ .

$\frac{- 3 \cdot 3}{5} + 3 (\frac{3 y}{5}) + 3 y = 15$

$x = - \frac{3}{5} + \frac{3 y}{5}$

Paso 2.2.1.1.2.3

Multiplica $- 3$ por $3$ .

$\frac{- 9}{5} + 3 (\frac{3 y}{5}) + 3 y = 15$

$x = - \frac{3}{5} + \frac{3 y}{5}$

$\frac{- 9}{5} + 3 (\frac{3 y}{5}) + 3 y = 15$

$x = - \frac{3}{5} + \frac{3 y}{5}$

Paso 2.2.1.1.3

Multiplica $3 \frac{3 y}{5}$ .

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Paso 2.2.1.1.3.1

Combina $3$ y $\frac{3 y}{5}$ .

$\frac{- 9}{5} + \frac{3 (3 y)}{5} + 3 y = 15$

$x = - \frac{3}{5} + \frac{3 y}{5}$

Paso 2.2.1.1.3.2

Multiplica $3$ por $3$ .

$\frac{- 9}{5} + \frac{9 y}{5} + 3 y = 15$

$x = - \frac{3}{5} + \frac{3 y}{5}$

$\frac{- 9}{5} + \frac{9 y}{5} + 3 y = 15$

$x = - \frac{3}{5} + \frac{3 y}{5}$

Paso 2.2.1.1.4

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$- \frac{9}{5} + \frac{9 y}{5} + 3 y = 15$

$x = - \frac{3}{5} + \frac{3 y}{5}$

$- \frac{9}{5} + \frac{9 y}{5} + 3 y = 15$

$x = - \frac{3}{5} + \frac{3 y}{5}$

Paso 2.2.1.2

Para escribir $3 y$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{5}{5}$ .

$- \frac{9}{5} + \frac{9 y}{5} + 3 y \cdot \frac{5}{5} = 15$

$x = - \frac{3}{5} + \frac{3 y}{5}$

Paso 2.2.1.3

Combina $3 y$ y $\frac{5}{5}$ .

$- \frac{9}{5} + \frac{9 y}{5} + \frac{3 y \cdot 5}{5} = 15$

$x = - \frac{3}{5} + \frac{3 y}{5}$

Paso 2.2.1.4

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$- \frac{9}{5} + \frac{9 y + 3 y \cdot 5}{5} = 15$

$x = - \frac{3}{5} + \frac{3 y}{5}$

Paso 2.2.1.5

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{- 9 + 9 y + 3 y \cdot 5}{5} = 15$

$x = - \frac{3}{5} + \frac{3 y}{5}$

Paso 2.2.1.6

Multiplica $5$ por $3$ .

$\frac{- 9 + 9 y + 15 y}{5} = 15$

$x = - \frac{3}{5} + \frac{3 y}{5}$

Paso 2.2.1.7

Suma $9 y$ y $15 y$ .

$\frac{- 9 + 24 y}{5} = 15$

$x = - \frac{3}{5} + \frac{3 y}{5}$

Paso 2.2.1.8

Factoriza $3$ de $- 9 + 24 y$ .

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Paso 2.2.1.8.1

Factoriza $3$ de $- 9$ .

$\frac{3 (- 3) + 24 y}{5} = 15$

$x = - \frac{3}{5} + \frac{3 y}{5}$

Paso 2.2.1.8.2

Factoriza $3$ de $24 y$ .

$\frac{3 (- 3) + 3 (8 y)}{5} = 15$

$x = - \frac{3}{5} + \frac{3 y}{5}$

Paso 2.2.1.8.3

Factoriza $3$ de $3 (- 3) + 3 (8 y)$ .

$\frac{3 (- 3 + 8 y)}{5} = 15$

$x = - \frac{3}{5} + \frac{3 y}{5}$

$\frac{3 (- 3 + 8 y)}{5} = 15$

$x = - \frac{3}{5} + \frac{3 y}{5}$

Paso 2.2.1.9

Reescribe $- 3$ como $- 1 (3)$ .

$\frac{3 (- 1 \cdot 3 + 8 y)}{5} = 15$

$x = - \frac{3}{5} + \frac{3 y}{5}$

Paso 2.2.1.10

Factoriza $- 1$ de $8 y$ .

$\frac{3 (- 1 \cdot 3 - (- 8 y))}{5} = 15$

$x = - \frac{3}{5} + \frac{3 y}{5}$

Paso 2.2.1.11

Factoriza $- 1$ de $- 1 (3) - (- 8 y)$ .

$\frac{3 (- 1 (3 - 8 y))}{5} = 15$

$x = - \frac{3}{5} + \frac{3 y}{5}$

Paso 2.2.1.12

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$- \frac{3 (3 - 8 y)}{5} = 15$

$x = - \frac{3}{5} + \frac{3 y}{5}$

$- \frac{3 (3 - 8 y)}{5} = 15$

$x = - \frac{3}{5} + \frac{3 y}{5}$

$- \frac{3 (3 - 8 y)}{5} = 15$

$x = - \frac{3}{5} + \frac{3 y}{5}$

$- \frac{3 (3 - 8 y)}{5} = 15$

$x = - \frac{3}{5} + \frac{3 y}{5}$

Paso 3

Resuelve $y$ en $- \frac{3 (3 - 8 y)}{5} = 15$ .

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Paso 3.1

Multiplica ambos lados de la ecuación por $- \frac{5}{3}$ .

$- \frac{5}{3} \cdot (- \frac{3 (3 - 8 y)}{5}) = - \frac{5}{3} \cdot 15$

$x = - \frac{3}{5} + \frac{3 y}{5}$

Paso 3.2

Simplifica ambos lados de la ecuación.

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Paso 3.2.1

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 3.2.1.1

Simplifica $- \frac{5}{3} (- \frac{3 (3 - 8 y)}{5})$ .

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Paso 3.2.1.1.1

Cancela el factor común de $5$ .

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Paso 3.2.1.1.1.1

Mueve el signo menos inicial en $- \frac{5}{3}$ al numerador.

$\frac{- 5}{3} \cdot (- \frac{3 (3 - 8 y)}{5}) = - \frac{5}{3} \cdot 15$

$x = - \frac{3}{5} + \frac{3 y}{5}$

Paso 3.2.1.1.1.2

Mueve el signo menos inicial en $- \frac{3 (3 - 8 y)}{5}$ al numerador.

$\frac{- 5}{3} \cdot \frac{- 3 (3 - 8 y)}{5} = - \frac{5}{3} \cdot 15$

$x = - \frac{3}{5} + \frac{3 y}{5}$

Paso 3.2.1.1.1.3

Factoriza $5$ de $- 5$ .

$\frac{5 (- 1)}{3} \cdot \frac{- 3 (3 - 8 y)}{5} = - \frac{5}{3} \cdot 15$

$x = - \frac{3}{5} + \frac{3 y}{5}$

Paso 3.2.1.1.1.4

Cancela el factor común.

$\frac{5 \cdot - 1}{3} \cdot \frac{- 3 (3 - 8 y)}{5} = - \frac{5}{3} \cdot 15$

$x = - \frac{3}{5} + \frac{3 y}{5}$

Paso 3.2.1.1.1.5

Reescribe la expresión.

$\frac{- 1}{3} \cdot (- 3 (3 - 8 y)) = - \frac{5}{3} \cdot 15$

$x = - \frac{3}{5} + \frac{3 y}{5}$

$\frac{- 1}{3} \cdot (- 3 (3 - 8 y)) = - \frac{5}{3} \cdot 15$

$x = - \frac{3}{5} + \frac{3 y}{5}$

Paso 3.2.1.1.2

Cancela el factor común de $3$ .

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Paso 3.2.1.1.2.1

Factoriza $3$ de $- 3 (3 - 8 y)$ .

$\frac{- 1}{3} \cdot (3 (- (3 - 8 y))) = - \frac{5}{3} \cdot 15$

$x = - \frac{3}{5} + \frac{3 y}{5}$

Paso 3.2.1.1.2.2

Cancela el factor común.

$\frac{- 1}{3} \cdot (3 (- (3 - 8 y))) = - \frac{5}{3} \cdot 15$

$x = - \frac{3}{5} + \frac{3 y}{5}$

Paso 3.2.1.1.2.3

Reescribe la expresión.

$3 - 8 y = - \frac{5}{3} \cdot 15$

$x = - \frac{3}{5} + \frac{3 y}{5}$

$3 - 8 y = - \frac{5}{3} \cdot 15$

$x = - \frac{3}{5} + \frac{3 y}{5}$

Paso 3.2.1.1.3

Multiplica.

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Paso 3.2.1.1.3.1

Multiplica $- 1$ por $- 1$ .

$1 (3 - 8 y) = - \frac{5}{3} \cdot 15$

$x = - \frac{3}{5} + \frac{3 y}{5}$

Paso 3.2.1.1.3.2

Multiplica $3 - 8 y$ por $1$ .

$3 - 8 y = - \frac{5}{3} \cdot 15$

$x = - \frac{3}{5} + \frac{3 y}{5}$

$3 - 8 y = - \frac{5}{3} \cdot 15$

$x = - \frac{3}{5} + \frac{3 y}{5}$

$3 - 8 y = - \frac{5}{3} \cdot 15$

$x = - \frac{3}{5} + \frac{3 y}{5}$

$3 - 8 y = - \frac{5}{3} \cdot 15$

$x = - \frac{3}{5} + \frac{3 y}{5}$

Paso 3.2.2

Simplifica el lado derecho.

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Paso 3.2.2.1

Simplifica $- \frac{5}{3} \cdot 15$ .

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Paso 3.2.2.1.1

Cancela el factor común de $3$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 3.2.2.1.1.1

Mueve el signo menos inicial en $- \frac{5}{3}$ al numerador.

$3 - 8 y = \frac{- 5}{3} \cdot 15$

$x = - \frac{3}{5} + \frac{3 y}{5}$

Paso 3.2.2.1.1.2

Factoriza $3$ de $15$ .

$3 - 8 y = \frac{- 5}{3} \cdot (3 (5))$

$x = - \frac{3}{5} + \frac{3 y}{5}$

Paso 3.2.2.1.1.3

Cancela el factor común.

$3 - 8 y = \frac{- 5}{3} \cdot (3 \cdot 5)$

$x = - \frac{3}{5} + \frac{3 y}{5}$

Paso 3.2.2.1.1.4

Reescribe la expresión.

$3 - 8 y = - 5 \cdot 5$

$x = - \frac{3}{5} + \frac{3 y}{5}$

$3 - 8 y = - 5 \cdot 5$

$x = - \frac{3}{5} + \frac{3 y}{5}$

Paso 3.2.2.1.2

Multiplica $- 5$ por $5$ .

$3 - 8 y = - 25$

$x = - \frac{3}{5} + \frac{3 y}{5}$

$3 - 8 y = - 25$

$x = - \frac{3}{5} + \frac{3 y}{5}$

$3 - 8 y = - 25$

$x = - \frac{3}{5} + \frac{3 y}{5}$

$3 - 8 y = - 25$

$x = - \frac{3}{5} + \frac{3 y}{5}$

Paso 3.3

Mueve todos los términos que no contengan $y$ al lado derecho de la ecuación.

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Paso 3.3.1

Resta $3$ de ambos lados de la ecuación.

$- 8 y = - 25 - 3$

$x = - \frac{3}{5} + \frac{3 y}{5}$

Paso 3.3.2

Resta $3$ de $- 25$ .

$- 8 y = - 28$

$x = - \frac{3}{5} + \frac{3 y}{5}$

$- 8 y = - 28$

$x = - \frac{3}{5} + \frac{3 y}{5}$

Paso 3.4

Divide cada término en $- 8 y = - 28$ por $- 8$ y simplifica.

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Paso 3.4.1

Divide cada término en $- 8 y = - 28$ por $- 8$ .

$\frac{- 8 y}{- 8} = \frac{- 28}{- 8}$

$x = - \frac{3}{5} + \frac{3 y}{5}$

Paso 3.4.2

Simplifica el lado izquierdo.

Toca para ver más pasos...

Paso 3.4.2.1

Cancela el factor común de $- 8$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 3.4.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{- 8 y}{- 8} = \frac{- 28}{- 8}$

$x = - \frac{3}{5} + \frac{3 y}{5}$

Paso 3.4.2.1.2

Divide $y$ por $1$ .

$y = \frac{- 28}{- 8}$

$x = - \frac{3}{5} + \frac{3 y}{5}$

$y = \frac{- 28}{- 8}$

$x = - \frac{3}{5} + \frac{3 y}{5}$

$y = \frac{- 28}{- 8}$

$x = - \frac{3}{5} + \frac{3 y}{5}$

Paso 3.4.3

Simplifica el lado derecho.

Toca para ver más pasos...

Paso 3.4.3.1

Cancela el factor común de $- 28$ y $- 8$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 3.4.3.1.1

Factoriza $- 4$ de $- 28$ .

$y = \frac{- 4 \cdot 7}{- 8}$

$x = - \frac{3}{5} + \frac{3 y}{5}$

Paso 3.4.3.1.2

Cancela los factores comunes.

Toca para ver más pasos...

Paso 3.4.3.1.2.1

Factoriza $- 4$ de $- 8$ .

$y = \frac{- 4 \cdot 7}{- 4 \cdot 2}$

$x = - \frac{3}{5} + \frac{3 y}{5}$

Paso 3.4.3.1.2.2

Cancela el factor común.

$y = \frac{- 4 \cdot 7}{- 4 \cdot 2}$

$x = - \frac{3}{5} + \frac{3 y}{5}$

Paso 3.4.3.1.2.3

Reescribe la expresión.

$y = \frac{7}{2}$

$x = - \frac{3}{5} + \frac{3 y}{5}$

$y = \frac{7}{2}$

$x = - \frac{3}{5} + \frac{3 y}{5}$

$y = \frac{7}{2}$

$x = - \frac{3}{5} + \frac{3 y}{5}$

$y = \frac{7}{2}$

$x = - \frac{3}{5} + \frac{3 y}{5}$

$y = \frac{7}{2}$

$x = - \frac{3}{5} + \frac{3 y}{5}$

$y = \frac{7}{2}$

$x = - \frac{3}{5} + \frac{3 y}{5}$

Paso 4

Reemplaza todos los casos de $y$ por $\frac{7}{2}$ en cada ecuación.

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Paso 4.1

Reemplaza todos los casos de $y$ en $x = - \frac{3}{5} + \frac{3 y}{5}$ por $\frac{7}{2}$ .

$x = - \frac{3}{5} + \frac{3 (\frac{7}{2})}{5}$

$y = \frac{7}{2}$

Paso 4.2

Simplifica el lado derecho.

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Paso 4.2.1

Simplifica $- \frac{3}{5} + \frac{3 (\frac{7}{2})}{5}$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 4.2.1.1

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$x = \frac{- 3 + 3 (\frac{7}{2})}{5}$

$y = \frac{7}{2}$

Paso 4.2.1.2

Multiplica $3 (\frac{7}{2})$ .

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Paso 4.2.1.2.1

Combina $3$ y $\frac{7}{2}$ .

$x = \frac{- 3 + \frac{3 \cdot 7}{2}}{5}$

$y = \frac{7}{2}$

Paso 4.2.1.2.2

Multiplica $3$ por $7$ .

$x = \frac{- 3 + \frac{21}{2}}{5}$

$y = \frac{7}{2}$

$x = \frac{- 3 + \frac{21}{2}}{5}$

$y = \frac{7}{2}$

Paso 4.2.1.3

Para escribir $- 3$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{2}{2}$ .

$x = \frac{- 3 \cdot \frac{2}{2} + \frac{21}{2}}{5}$

$y = \frac{7}{2}$

Paso 4.2.1.4

Combina $- 3$ y $\frac{2}{2}$ .

$x = \frac{\frac{- 3 \cdot 2}{2} + \frac{21}{2}}{5}$

$y = \frac{7}{2}$

Paso 4.2.1.5

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$x = \frac{\frac{- 3 \cdot 2 + 21}{2}}{5}$

$y = \frac{7}{2}$

Paso 4.2.1.6

Simplifica el numerador.

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Paso 4.2.1.6.1

Multiplica $- 3$ por $2$ .

$x = \frac{\frac{- 6 + 21}{2}}{5}$

$y = \frac{7}{2}$

Paso 4.2.1.6.2

Suma $- 6$ y $21$ .

$x = \frac{\frac{15}{2}}{5}$

$y = \frac{7}{2}$

$x = \frac{\frac{15}{2}}{5}$

$y = \frac{7}{2}$

Paso 4.2.1.7

Multiplica el numerador por la recíproca del denominador.

$x = \frac{15}{2} \cdot \frac{1}{5}$

$y = \frac{7}{2}$

Paso 4.2.1.8

Cancela el factor común de $5$ .

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Paso 4.2.1.8.1

Factoriza $5$ de $15$ .

$x = \frac{5 (3)}{2} \cdot \frac{1}{5}$

$y = \frac{7}{2}$

Paso 4.2.1.8.2

Cancela el factor común.

$x = \frac{5 \cdot 3}{2} \cdot \frac{1}{5}$

$y = \frac{7}{2}$

Paso 4.2.1.8.3

Reescribe la expresión.

$x = \frac{3}{2}$

$y = \frac{7}{2}$

$x = \frac{3}{2}$

$y = \frac{7}{2}$

$x = \frac{3}{2}$

$y = \frac{7}{2}$

$x = \frac{3}{2}$

$y = \frac{7}{2}$

$x = \frac{3}{2}$

$y = \frac{7}{2}$

Paso 5

La solución del sistema es el conjunto completo de pares ordenados que son soluciones válidas.

$(\frac{3}{2}, \frac{7}{2})$

Paso 6

El resultado puede mostrarse de distintas formas.

Forma de punto:

$(\frac{3}{2}, \frac{7}{2})$

Forma de la ecuación:

$x = \frac{3}{2}, y = \frac{7}{2}$

Paso 7