Matemática discreta Ejemplos

$- 6 x - 10 y = 7$ , $- 10 x - 3 y = 1$

Paso 1

Resuelve $x$ en $- 6 x - 10 y = 7$ .

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Paso 1.1

Suma $10 y$ a ambos lados de la ecuación.

$- 6 x = 7 + 10 y$

$- 10 x - 3 y = 1$

Paso 1.2

Divide cada término en $- 6 x = 7 + 10 y$ por $- 6$ y simplifica.

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Paso 1.2.1

Divide cada término en $- 6 x = 7 + 10 y$ por $- 6$ .

$\frac{- 6 x}{- 6} = \frac{7}{- 6} + \frac{10 y}{- 6}$

$- 10 x - 3 y = 1$

Paso 1.2.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 1.2.2.1

Cancela el factor común de $- 6$ .

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Paso 1.2.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{- 6 x}{- 6} = \frac{7}{- 6} + \frac{10 y}{- 6}$

$- 10 x - 3 y = 1$

Paso 1.2.2.1.2

Divide $x$ por $1$ .

$x = \frac{7}{- 6} + \frac{10 y}{- 6}$

$- 10 x - 3 y = 1$

$x = \frac{7}{- 6} + \frac{10 y}{- 6}$

$- 10 x - 3 y = 1$

$x = \frac{7}{- 6} + \frac{10 y}{- 6}$

$- 10 x - 3 y = 1$

Paso 1.2.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 1.2.3.1

Simplifica cada término.

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Paso 1.2.3.1.1

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$x = - \frac{7}{6} + \frac{10 y}{- 6}$

$- 10 x - 3 y = 1$

Paso 1.2.3.1.2

Cancela el factor común de $10$ y $- 6$ .

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Paso 1.2.3.1.2.1

Factoriza $2$ de $10 y$ .

$x = - \frac{7}{6} + \frac{2 (5 y)}{- 6}$

$- 10 x - 3 y = 1$

Paso 1.2.3.1.2.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 1.2.3.1.2.2.1

Factoriza $2$ de $- 6$ .

$x = - \frac{7}{6} + \frac{2 (5 y)}{2 (- 3)}$

$- 10 x - 3 y = 1$

Paso 1.2.3.1.2.2.2

Cancela el factor común.

$x = - \frac{7}{6} + \frac{2 (5 y)}{2 \cdot - 3}$

$- 10 x - 3 y = 1$

Paso 1.2.3.1.2.2.3

Reescribe la expresión.

$x = - \frac{7}{6} + \frac{5 y}{- 3}$

$- 10 x - 3 y = 1$

$x = - \frac{7}{6} + \frac{5 y}{- 3}$

$- 10 x - 3 y = 1$

$x = - \frac{7}{6} + \frac{5 y}{- 3}$

$- 10 x - 3 y = 1$

Paso 1.2.3.1.3

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$x = - \frac{7}{6} - \frac{5 y}{3}$

$- 10 x - 3 y = 1$

$x = - \frac{7}{6} - \frac{5 y}{3}$

$- 10 x - 3 y = 1$

$x = - \frac{7}{6} - \frac{5 y}{3}$

$- 10 x - 3 y = 1$

$x = - \frac{7}{6} - \frac{5 y}{3}$

$- 10 x - 3 y = 1$

$x = - \frac{7}{6} - \frac{5 y}{3}$

$- 10 x - 3 y = 1$

Paso 2

Reemplaza todos los casos de $x$ por $- \frac{7}{6} - \frac{5 y}{3}$ en cada ecuación.

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Paso 2.1

Reemplaza todos los casos de $x$ en $- 10 x - 3 y = 1$ por $- \frac{7}{6} - \frac{5 y}{3}$ .

$- 10 (- \frac{7}{6} - \frac{5 y}{3}) - 3 y = 1$

$x = - \frac{7}{6} - \frac{5 y}{3}$

Paso 2.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 2.2.1

Simplifica $- 10 (- \frac{7}{6} - \frac{5 y}{3}) - 3 y$ .

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Paso 2.2.1.1

Simplifica cada término.

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Paso 2.2.1.1.1

Aplica la propiedad distributiva.

$- 10 (- \frac{7}{6}) - 10 (- \frac{5 y}{3}) - 3 y = 1$

$x = - \frac{7}{6} - \frac{5 y}{3}$

Paso 2.2.1.1.2

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 2.2.1.1.2.1

Mueve el signo menos inicial en $- \frac{7}{6}$ al numerador.

$- 10 (\frac{- 7}{6}) - 10 (- \frac{5 y}{3}) - 3 y = 1$

$x = - \frac{7}{6} - \frac{5 y}{3}$

Paso 2.2.1.1.2.2

Factoriza $2$ de $- 10$ .

$2 (- 5) (\frac{- 7}{6}) - 10 (- \frac{5 y}{3}) - 3 y = 1$

$x = - \frac{7}{6} - \frac{5 y}{3}$

Paso 2.2.1.1.2.3

Factoriza $2$ de $6$ .

$2 \cdot (- 5 \frac{- 7}{2 \cdot 3}) - 10 (- \frac{5 y}{3}) - 3 y = 1$

$x = - \frac{7}{6} - \frac{5 y}{3}$

Paso 2.2.1.1.2.4

Cancela el factor común.

$2 \cdot (- 5 \frac{- 7}{2 \cdot 3}) - 10 (- \frac{5 y}{3}) - 3 y = 1$

$x = - \frac{7}{6} - \frac{5 y}{3}$

Paso 2.2.1.1.2.5

Reescribe la expresión.

$- 5 (\frac{- 7}{3}) - 10 (- \frac{5 y}{3}) - 3 y = 1$

$x = - \frac{7}{6} - \frac{5 y}{3}$

$- 5 (\frac{- 7}{3}) - 10 (- \frac{5 y}{3}) - 3 y = 1$

$x = - \frac{7}{6} - \frac{5 y}{3}$

Paso 2.2.1.1.3

Combina $- 5$ y $\frac{- 7}{3}$ .

$\frac{- 5 \cdot - 7}{3} - 10 (- \frac{5 y}{3}) - 3 y = 1$

$x = - \frac{7}{6} - \frac{5 y}{3}$

Paso 2.2.1.1.4

Multiplica $- 5$ por $- 7$ .

$\frac{35}{3} - 10 (- \frac{5 y}{3}) - 3 y = 1$

$x = - \frac{7}{6} - \frac{5 y}{3}$

Paso 2.2.1.1.5

Multiplica $- 10 (- \frac{5 y}{3})$ .

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Paso 2.2.1.1.5.1

Multiplica $- 1$ por $- 10$ .

$\frac{35}{3} + 10 (\frac{5 y}{3}) - 3 y = 1$

$x = - \frac{7}{6} - \frac{5 y}{3}$

Paso 2.2.1.1.5.2

Combina $10$ y $\frac{5 y}{3}$ .

$\frac{35}{3} + \frac{10 (5 y)}{3} - 3 y = 1$

$x = - \frac{7}{6} - \frac{5 y}{3}$

Paso 2.2.1.1.5.3

Multiplica $5$ por $10$ .

$\frac{35}{3} + \frac{50 y}{3} - 3 y = 1$

$x = - \frac{7}{6} - \frac{5 y}{3}$

$\frac{35}{3} + \frac{50 y}{3} - 3 y = 1$

$x = - \frac{7}{6} - \frac{5 y}{3}$

$\frac{35}{3} + \frac{50 y}{3} - 3 y = 1$

$x = - \frac{7}{6} - \frac{5 y}{3}$

Paso 2.2.1.2

Para escribir $- 3 y$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{3}{3}$ .

$\frac{35}{3} + \frac{50 y}{3} - 3 y \cdot \frac{3}{3} = 1$

$x = - \frac{7}{6} - \frac{5 y}{3}$

Paso 2.2.1.3

Combina $- 3 y$ y $\frac{3}{3}$ .

$\frac{35}{3} + \frac{50 y}{3} + \frac{- 3 y \cdot 3}{3} = 1$

$x = - \frac{7}{6} - \frac{5 y}{3}$

Paso 2.2.1.4

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{35}{3} + \frac{50 y - 3 y \cdot 3}{3} = 1$

$x = - \frac{7}{6} - \frac{5 y}{3}$

Paso 2.2.1.5

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{35 + 50 y - 3 y \cdot 3}{3} = 1$

$x = - \frac{7}{6} - \frac{5 y}{3}$

Paso 2.2.1.6

Multiplica $3$ por $- 3$ .

$\frac{35 + 50 y - 9 y}{3} = 1$

$x = - \frac{7}{6} - \frac{5 y}{3}$

Paso 2.2.1.7

Resta $9 y$ de $50 y$ .

$\frac{35 + 41 y}{3} = 1$

$x = - \frac{7}{6} - \frac{5 y}{3}$

$\frac{35 + 41 y}{3} = 1$

$x = - \frac{7}{6} - \frac{5 y}{3}$

$\frac{35 + 41 y}{3} = 1$

$x = - \frac{7}{6} - \frac{5 y}{3}$

$\frac{35 + 41 y}{3} = 1$

$x = - \frac{7}{6} - \frac{5 y}{3}$

Paso 3

Resuelve $y$ en $\frac{35 + 41 y}{3} = 1$ .

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Paso 3.1

Multiplica ambos lados por $3$ .

$\frac{35 + 41 y}{3} \cdot 3 = 1 \cdot 3$

$x = - \frac{7}{6} - \frac{5 y}{3}$

Paso 3.2

Simplifica.

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Paso 3.2.1

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 3.2.1.1

Simplifica $\frac{35 + 41 y}{3} \cdot 3$ .

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Paso 3.2.1.1.1

Cancela el factor común de $3$ .

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Paso 3.2.1.1.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{35 + 41 y}{3} \cdot 3 = 1 \cdot 3$

$x = - \frac{7}{6} - \frac{5 y}{3}$

Paso 3.2.1.1.1.2

Reescribe la expresión.

$35 + 41 y = 1 \cdot 3$

$x = - \frac{7}{6} - \frac{5 y}{3}$

$35 + 41 y = 1 \cdot 3$

$x = - \frac{7}{6} - \frac{5 y}{3}$

Paso 3.2.1.1.2

Reordena $35$ y $41 y$ .

$41 y + 35 = 1 \cdot 3$

$x = - \frac{7}{6} - \frac{5 y}{3}$

$41 y + 35 = 1 \cdot 3$

$x = - \frac{7}{6} - \frac{5 y}{3}$

$41 y + 35 = 1 \cdot 3$

$x = - \frac{7}{6} - \frac{5 y}{3}$

Paso 3.2.2

Simplifica el lado derecho.

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Paso 3.2.2.1

Multiplica $3$ por $1$ .

$41 y + 35 = 3$

$x = - \frac{7}{6} - \frac{5 y}{3}$

$41 y + 35 = 3$

$x = - \frac{7}{6} - \frac{5 y}{3}$

$41 y + 35 = 3$

$x = - \frac{7}{6} - \frac{5 y}{3}$

Paso 3.3

Resuelve $y$

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Paso 3.3.1

Mueve todos los términos que no contengan $y$ al lado derecho de la ecuación.

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Paso 3.3.1.1

Resta $35$ de ambos lados de la ecuación.

$41 y = 3 - 35$

$x = - \frac{7}{6} - \frac{5 y}{3}$

Paso 3.3.1.2

Resta $35$ de $3$ .

$41 y = - 32$

$x = - \frac{7}{6} - \frac{5 y}{3}$

$41 y = - 32$

$x = - \frac{7}{6} - \frac{5 y}{3}$

Paso 3.3.2

Divide cada término en $41 y = - 32$ por $41$ y simplifica.

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Paso 3.3.2.1

Divide cada término en $41 y = - 32$ por $41$ .

$\frac{41 y}{41} = \frac{- 32}{41}$

$x = - \frac{7}{6} - \frac{5 y}{3}$

Paso 3.3.2.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 3.3.2.2.1

Cancela el factor común de $41$ .

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Paso 3.3.2.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{41 y}{41} = \frac{- 32}{41}$

$x = - \frac{7}{6} - \frac{5 y}{3}$

Paso 3.3.2.2.1.2

Divide $y$ por $1$ .

$y = \frac{- 32}{41}$

$x = - \frac{7}{6} - \frac{5 y}{3}$

$y = \frac{- 32}{41}$

$x = - \frac{7}{6} - \frac{5 y}{3}$

$y = \frac{- 32}{41}$

$x = - \frac{7}{6} - \frac{5 y}{3}$

Paso 3.3.2.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 3.3.2.3.1

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$y = - \frac{32}{41}$

$x = - \frac{7}{6} - \frac{5 y}{3}$

$y = - \frac{32}{41}$

$x = - \frac{7}{6} - \frac{5 y}{3}$

$y = - \frac{32}{41}$

$x = - \frac{7}{6} - \frac{5 y}{3}$

$y = - \frac{32}{41}$

$x = - \frac{7}{6} - \frac{5 y}{3}$

$y = - \frac{32}{41}$

$x = - \frac{7}{6} - \frac{5 y}{3}$

Paso 4

Reemplaza todos los casos de $y$ por $- \frac{32}{41}$ en cada ecuación.

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Paso 4.1

Reemplaza todos los casos de $y$ en $x = - \frac{7}{6} - \frac{5 y}{3}$ por $- \frac{32}{41}$ .

$x = - \frac{7}{6} - \frac{5 (- \frac{32}{41})}{3}$

$y = - \frac{32}{41}$

Paso 4.2

Simplifica el lado derecho.

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Paso 4.2.1

Simplifica $- \frac{7}{6} - \frac{5 (- \frac{32}{41})}{3}$ .

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Paso 4.2.1.1

Simplifica cada término.

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Paso 4.2.1.1.1

Simplifica el numerador.

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Paso 4.2.1.1.1.1

Multiplica $- 1$ por $5$ .

$x = - \frac{7}{6} - \frac{- 5 (\frac{32}{41})}{3}$

$y = - \frac{32}{41}$

Paso 4.2.1.1.1.2

Combina $- 5$ y $\frac{32}{41}$ .

$x = - \frac{7}{6} - \frac{\frac{- 5 \cdot 32}{41}}{3}$

$y = - \frac{32}{41}$

$x = - \frac{7}{6} - \frac{\frac{- 5 \cdot 32}{41}}{3}$

$y = - \frac{32}{41}$

Paso 4.2.1.1.2

Multiplica $- 5$ por $32$ .

$x = - \frac{7}{6} - \frac{\frac{- 160}{41}}{3}$

$y = - \frac{32}{41}$

Paso 4.2.1.1.3

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$x = - \frac{7}{6} - \frac{- \frac{160}{41}}{3}$

$y = - \frac{32}{41}$

Paso 4.2.1.1.4

Multiplica el numerador por la recíproca del denominador.

$x = - \frac{7}{6} - (- \frac{160}{41} \cdot \frac{1}{3})$

$y = - \frac{32}{41}$

Paso 4.2.1.1.5

Multiplica $- \frac{160}{41} \cdot \frac{1}{3}$ .

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Paso 4.2.1.1.5.1

Multiplica $\frac{1}{3}$ por $\frac{160}{41}$ .

$x = - \frac{7}{6} + \frac{160}{3 \cdot 41}$

$y = - \frac{32}{41}$

Paso 4.2.1.1.5.2

Multiplica $3$ por $41$ .

$x = - \frac{7}{6} + \frac{160}{123}$

$y = - \frac{32}{41}$

$x = - \frac{7}{6} + \frac{160}{123}$

$y = - \frac{32}{41}$

Paso 4.2.1.1.6

Multiplica $- - \frac{160}{123}$ .

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Paso 4.2.1.1.6.1

Multiplica $- 1$ por $- 1$ .

$x = - \frac{7}{6} + 1 (\frac{160}{123})$

$y = - \frac{32}{41}$

Paso 4.2.1.1.6.2

Multiplica $\frac{160}{123}$ por $1$ .

$x = - \frac{7}{6} + \frac{160}{123}$

$y = - \frac{32}{41}$

$x = - \frac{7}{6} + \frac{160}{123}$

$y = - \frac{32}{41}$

$x = - \frac{7}{6} + \frac{160}{123}$

$y = - \frac{32}{41}$

Paso 4.2.1.2

Para escribir $- \frac{7}{6}$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{41}{41}$ .

$x = - \frac{7}{6} \cdot \frac{41}{41} + \frac{160}{123}$

$y = - \frac{32}{41}$

Paso 4.2.1.3

Para escribir $\frac{160}{123}$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{2}{2}$ .

$x = - \frac{7}{6} \cdot \frac{41}{41} + \frac{160}{123} \cdot \frac{2}{2}$

$y = - \frac{32}{41}$

Paso 4.2.1.4

Escribe cada expresión con un denominador común de $246$ , mediante la multiplicación de cada uno por un factor adecuado de $1$ .

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Paso 4.2.1.4.1

Multiplica $\frac{7}{6}$ por $\frac{41}{41}$ .

$x = - \frac{7 \cdot 41}{6 \cdot 41} + \frac{160}{123} \cdot \frac{2}{2}$

$y = - \frac{32}{41}$

Paso 4.2.1.4.2

Multiplica $6$ por $41$ .

$x = - \frac{7 \cdot 41}{246} + \frac{160}{123} \cdot \frac{2}{2}$

$y = - \frac{32}{41}$

Paso 4.2.1.4.3

Multiplica $\frac{160}{123}$ por $\frac{2}{2}$ .

$x = - \frac{7 \cdot 41}{246} + \frac{160 \cdot 2}{123 \cdot 2}$

$y = - \frac{32}{41}$

Paso 4.2.1.4.4

Multiplica $123$ por $2$ .

$x = - \frac{7 \cdot 41}{246} + \frac{160 \cdot 2}{246}$

$y = - \frac{32}{41}$

$x = - \frac{7 \cdot 41}{246} + \frac{160 \cdot 2}{246}$

$y = - \frac{32}{41}$

Paso 4.2.1.5

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$x = \frac{- 7 \cdot 41 + 160 \cdot 2}{246}$

$y = - \frac{32}{41}$

Paso 4.2.1.6

Simplifica el numerador.

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Paso 4.2.1.6.1

Multiplica $- 7$ por $41$ .

$x = \frac{- 287 + 160 \cdot 2}{246}$

$y = - \frac{32}{41}$

Paso 4.2.1.6.2

Multiplica $160$ por $2$ .

$x = \frac{- 287 + 320}{246}$

$y = - \frac{32}{41}$

Paso 4.2.1.6.3

Suma $- 287$ y $320$ .

$x = \frac{33}{246}$

$y = - \frac{32}{41}$

$x = \frac{33}{246}$

$y = - \frac{32}{41}$

Paso 4.2.1.7

Cancela el factor común de $33$ y $246$ .

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Paso 4.2.1.7.1

Factoriza $3$ de $33$ .

$x = \frac{3 (11)}{246}$

$y = - \frac{32}{41}$

Paso 4.2.1.7.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 4.2.1.7.2.1

Factoriza $3$ de $246$ .

$x = \frac{3 \cdot 11}{3 \cdot 82}$

$y = - \frac{32}{41}$

Paso 4.2.1.7.2.2

Cancela el factor común.

$x = \frac{3 \cdot 11}{3 \cdot 82}$

$y = - \frac{32}{41}$

Paso 4.2.1.7.2.3

Reescribe la expresión.

$x = \frac{11}{82}$

$y = - \frac{32}{41}$

$x = \frac{11}{82}$

$y = - \frac{32}{41}$

$x = \frac{11}{82}$

$y = - \frac{32}{41}$

$x = \frac{11}{82}$

$y = - \frac{32}{41}$

$x = \frac{11}{82}$

$y = - \frac{32}{41}$

$x = \frac{11}{82}$

$y = - \frac{32}{41}$

Paso 5

La solución del sistema es el conjunto completo de pares ordenados que son soluciones válidas.

$(\frac{11}{82}, - \frac{32}{41})$

Paso 6

El resultado puede mostrarse de distintas formas.

Forma de punto:

$(\frac{11}{82}, - \frac{32}{41})$

Forma de la ecuación:

$x = \frac{11}{82}, y = - \frac{32}{41}$

Paso 7