Matemática discreta Ejemplos

$5 (4 x + y) - (x - 3 y) = - 5$ , $2 (x - 2 y) + (2 x - y) = 19$

Paso 1

Resuelve $x$ en $5 (4 x + y) - x + 3 y = - 5$ .

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Paso 1.1

Simplifica $5 (4 x + y) - x + 3 y$ .

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Paso 1.1.1

Simplifica cada término.

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Paso 1.1.1.1

Aplica la propiedad distributiva.

$5 (4 x) + 5 y - x + 3 y = - 5$

$2 (x - 2 y) + 2 x - y = 19$

Paso 1.1.1.2

Multiplica $4$ por $5$ .

$20 x + 5 y - x + 3 y = - 5$

$2 (x - 2 y) + 2 x - y = 19$

$20 x + 5 y - x + 3 y = - 5$

$2 (x - 2 y) + 2 x - y = 19$

Paso 1.1.2

Simplifica mediante la adición de términos.

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Paso 1.1.2.1

Resta $x$ de $20 x$ .

$19 x + 5 y + 3 y = - 5$

$2 (x - 2 y) + 2 x - y = 19$

Paso 1.1.2.2

Suma $5 y$ y $3 y$ .

$19 x + 8 y = - 5$

$2 (x - 2 y) + 2 x - y = 19$

$19 x + 8 y = - 5$

$2 (x - 2 y) + 2 x - y = 19$

$19 x + 8 y = - 5$

$2 (x - 2 y) + 2 x - y = 19$

Paso 1.2

Resta $8 y$ de ambos lados de la ecuación.

$19 x = - 5 - 8 y$

$2 (x - 2 y) + 2 x - y = 19$

Paso 1.3

Divide cada término en $19 x = - 5 - 8 y$ por $19$ y simplifica.

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Paso 1.3.1

Divide cada término en $19 x = - 5 - 8 y$ por $19$ .

$\frac{19 x}{19} = \frac{- 5}{19} + \frac{- 8 y}{19}$

$2 (x - 2 y) + 2 x - y = 19$

Paso 1.3.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 1.3.2.1

Cancela el factor común de $19$ .

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Paso 1.3.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{19 x}{19} = \frac{- 5}{19} + \frac{- 8 y}{19}$

$2 (x - 2 y) + 2 x - y = 19$

Paso 1.3.2.1.2

Divide $x$ por $1$ .

$x = \frac{- 5}{19} + \frac{- 8 y}{19}$

$2 (x - 2 y) + 2 x - y = 19$

$x = \frac{- 5}{19} + \frac{- 8 y}{19}$

$2 (x - 2 y) + 2 x - y = 19$

$x = \frac{- 5}{19} + \frac{- 8 y}{19}$

$2 (x - 2 y) + 2 x - y = 19$

Paso 1.3.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 1.3.3.1

Simplifica cada término.

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Paso 1.3.3.1.1

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$x = - \frac{5}{19} + \frac{- 8 y}{19}$

$2 (x - 2 y) + 2 x - y = 19$

Paso 1.3.3.1.2

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$x = - \frac{5}{19} - \frac{8 y}{19}$

$2 (x - 2 y) + 2 x - y = 19$

$x = - \frac{5}{19} - \frac{8 y}{19}$

$2 (x - 2 y) + 2 x - y = 19$

$x = - \frac{5}{19} - \frac{8 y}{19}$

$2 (x - 2 y) + 2 x - y = 19$

$x = - \frac{5}{19} - \frac{8 y}{19}$

$2 (x - 2 y) + 2 x - y = 19$

$x = - \frac{5}{19} - \frac{8 y}{19}$

$2 (x - 2 y) + 2 x - y = 19$

Paso 2

Reemplaza todos los casos de $x$ por $- \frac{5}{19} - \frac{8 y}{19}$ en cada ecuación.

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Paso 2.1

Reemplaza todos los casos de $x$ en $2 (x - 2 y) + 2 x - y = 19$ por $- \frac{5}{19} - \frac{8 y}{19}$ .

$2 ((- \frac{5}{19} - \frac{8 y}{19}) - 2 y) + 2 (- \frac{5}{19} - \frac{8 y}{19}) - y = 19$

$x = - \frac{5}{19} - \frac{8 y}{19}$

Paso 2.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 2.2.1

Simplifica $2 ((- \frac{5}{19} - \frac{8 y}{19}) - 2 y) + 2 (- \frac{5}{19} - \frac{8 y}{19}) - y$ .

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Paso 2.2.1.1

Simplifica cada término.

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Paso 2.2.1.1.1

Para escribir $- 2 y$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{19}{19}$ .

$2 (- \frac{5}{19} - \frac{8 y}{19} - 2 y \cdot \frac{19}{19}) + 2 (- \frac{5}{19} - \frac{8 y}{19}) - y = 19$

$x = - \frac{5}{19} - \frac{8 y}{19}$

Paso 2.2.1.1.2

Combina $- 2 y$ y $\frac{19}{19}$ .

$2 (- \frac{5}{19} - \frac{8 y}{19} + \frac{- 2 y \cdot 19}{19}) + 2 (- \frac{5}{19} - \frac{8 y}{19}) - y = 19$

$x = - \frac{5}{19} - \frac{8 y}{19}$

Paso 2.2.1.1.3

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$2 (- \frac{5}{19} + \frac{- 8 y - 2 y \cdot 19}{19}) + 2 (- \frac{5}{19} - \frac{8 y}{19}) - y = 19$

$x = - \frac{5}{19} - \frac{8 y}{19}$

Paso 2.2.1.1.4

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$2 (\frac{- 5 - 8 y - 2 y \cdot 19}{19}) + 2 (- \frac{5}{19} - \frac{8 y}{19}) - y = 19$

$x = - \frac{5}{19} - \frac{8 y}{19}$

Paso 2.2.1.1.5

Multiplica $19$ por $- 2$ .

$2 (\frac{- 5 - 8 y - 38 y}{19}) + 2 (- \frac{5}{19} - \frac{8 y}{19}) - y = 19$

$x = - \frac{5}{19} - \frac{8 y}{19}$

Paso 2.2.1.1.6

Resta $38 y$ de $- 8 y$ .

$2 (\frac{- 5 - 46 y}{19}) + 2 (- \frac{5}{19} - \frac{8 y}{19}) - y = 19$

$x = - \frac{5}{19} - \frac{8 y}{19}$

Paso 2.2.1.1.7

Combina $2$ y $\frac{- 5 - 46 y}{19}$ .

$\frac{2 (- 5 - 46 y)}{19} + 2 (- \frac{5}{19} - \frac{8 y}{19}) - y = 19$

$x = - \frac{5}{19} - \frac{8 y}{19}$

Paso 2.2.1.1.8

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{2 (- 5 - 46 y)}{19} + 2 (- \frac{5}{19}) + 2 (- \frac{8 y}{19}) - y = 19$

$x = - \frac{5}{19} - \frac{8 y}{19}$

Paso 2.2.1.1.9

Multiplica $2 (- \frac{5}{19})$ .

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Paso 2.2.1.1.9.1

Multiplica $- 1$ por $2$ .

$\frac{2 (- 5 - 46 y)}{19} - 2 (\frac{5}{19}) + 2 (- \frac{8 y}{19}) - y = 19$

$x = - \frac{5}{19} - \frac{8 y}{19}$

Paso 2.2.1.1.9.2

Combina $- 2$ y $\frac{5}{19}$ .

$\frac{2 (- 5 - 46 y)}{19} + \frac{- 2 \cdot 5}{19} + 2 (- \frac{8 y}{19}) - y = 19$

$x = - \frac{5}{19} - \frac{8 y}{19}$

Paso 2.2.1.1.9.3

Multiplica $- 2$ por $5$ .

$\frac{2 (- 5 - 46 y)}{19} + \frac{- 10}{19} + 2 (- \frac{8 y}{19}) - y = 19$

$x = - \frac{5}{19} - \frac{8 y}{19}$

$\frac{2 (- 5 - 46 y)}{19} + \frac{- 10}{19} + 2 (- \frac{8 y}{19}) - y = 19$

$x = - \frac{5}{19} - \frac{8 y}{19}$

Paso 2.2.1.1.10

Multiplica $2 (- \frac{8 y}{19})$ .

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Paso 2.2.1.1.10.1

Multiplica $- 1$ por $2$ .

$\frac{2 (- 5 - 46 y)}{19} + \frac{- 10}{19} - 2 \frac{8 y}{19} - y = 19$

$x = - \frac{5}{19} - \frac{8 y}{19}$

Paso 2.2.1.1.10.2

Combina $- 2$ y $\frac{8 y}{19}$ .

$\frac{2 (- 5 - 46 y)}{19} + \frac{- 10}{19} + \frac{- 2 (8 y)}{19} - y = 19$

$x = - \frac{5}{19} - \frac{8 y}{19}$

Paso 2.2.1.1.10.3

Multiplica $8$ por $- 2$ .

$\frac{2 (- 5 - 46 y)}{19} + \frac{- 10}{19} + \frac{- 16 y}{19} - y = 19$

$x = - \frac{5}{19} - \frac{8 y}{19}$

$\frac{2 (- 5 - 46 y)}{19} + \frac{- 10}{19} + \frac{- 16 y}{19} - y = 19$

$x = - \frac{5}{19} - \frac{8 y}{19}$

Paso 2.2.1.1.11

Simplifica cada término.

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Paso 2.2.1.1.11.1

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$\frac{2 (- 5 - 46 y)}{19} - \frac{10}{19} + \frac{- 16 y}{19} - y = 19$

$x = - \frac{5}{19} - \frac{8 y}{19}$

Paso 2.2.1.1.11.2

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$\frac{2 (- 5 - 46 y)}{19} - \frac{10}{19} - \frac{16 y}{19} - y = 19$

$x = - \frac{5}{19} - \frac{8 y}{19}$

$\frac{2 (- 5 - 46 y)}{19} - \frac{10}{19} - \frac{16 y}{19} - y = 19$

$x = - \frac{5}{19} - \frac{8 y}{19}$

$\frac{2 (- 5 - 46 y)}{19} - \frac{10}{19} - \frac{16 y}{19} - y = 19$

$x = - \frac{5}{19} - \frac{8 y}{19}$

Paso 2.2.1.2

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$- y + \frac{2 (- 5 - 46 y) - 10 - 16 y}{19} = 19$

$x = - \frac{5}{19} - \frac{8 y}{19}$

Paso 2.2.1.3

Simplifica cada término.

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Paso 2.2.1.3.1

Aplica la propiedad distributiva.

$- y + \frac{2 \cdot - 5 + 2 (- 46 y) - 10 - 16 y}{19} = 19$

$x = - \frac{5}{19} - \frac{8 y}{19}$

Paso 2.2.1.3.2

Multiplica $2$ por $- 5$ .

$- y + \frac{- 10 + 2 (- 46 y) - 10 - 16 y}{19} = 19$

$x = - \frac{5}{19} - \frac{8 y}{19}$

Paso 2.2.1.3.3

Multiplica $- 46$ por $2$ .

$- y + \frac{- 10 - 92 y - 10 - 16 y}{19} = 19$

$x = - \frac{5}{19} - \frac{8 y}{19}$

$- y + \frac{- 10 - 92 y - 10 - 16 y}{19} = 19$

$x = - \frac{5}{19} - \frac{8 y}{19}$

Paso 2.2.1.4

Simplifica los términos.

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Paso 2.2.1.4.1

Resta $10$ de $- 10$ .

$- y + \frac{- 92 y - 20 - 16 y}{19} = 19$

$x = - \frac{5}{19} - \frac{8 y}{19}$

Paso 2.2.1.4.2

Resta $16 y$ de $- 92 y$ .

$- y + \frac{- 108 y - 20}{19} = 19$

$x = - \frac{5}{19} - \frac{8 y}{19}$

Paso 2.2.1.4.3

Factoriza $4$ de $- 108 y - 20$ .

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Paso 2.2.1.4.3.1

Factoriza $4$ de $- 108 y$ .

$- y + \frac{4 (- 27 y) - 20}{19} = 19$

$x = - \frac{5}{19} - \frac{8 y}{19}$

Paso 2.2.1.4.3.2

Factoriza $4$ de $- 20$ .

$- y + \frac{4 (- 27 y) + 4 (- 5)}{19} = 19$

$x = - \frac{5}{19} - \frac{8 y}{19}$

Paso 2.2.1.4.3.3

Factoriza $4$ de $4 (- 27 y) + 4 (- 5)$ .

$- y + \frac{4 (- 27 y - 5)}{19} = 19$

$x = - \frac{5}{19} - \frac{8 y}{19}$

$- y + \frac{4 (- 27 y - 5)}{19} = 19$

$x = - \frac{5}{19} - \frac{8 y}{19}$

$- y + \frac{4 (- 27 y - 5)}{19} = 19$

$x = - \frac{5}{19} - \frac{8 y}{19}$

Paso 2.2.1.5

Para escribir $- y$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{19}{19}$ .

$- y \cdot \frac{19}{19} + \frac{4 (- 27 y - 5)}{19} = 19$

$x = - \frac{5}{19} - \frac{8 y}{19}$

Paso 2.2.1.6

Simplifica los términos.

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Paso 2.2.1.6.1

Combina $- y$ y $\frac{19}{19}$ .

$\frac{- y \cdot 19}{19} + \frac{4 (- 27 y - 5)}{19} = 19$

$x = - \frac{5}{19} - \frac{8 y}{19}$

Paso 2.2.1.6.2

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{- y \cdot 19 + 4 (- 27 y - 5)}{19} = 19$

$x = - \frac{5}{19} - \frac{8 y}{19}$

$\frac{- y \cdot 19 + 4 (- 27 y - 5)}{19} = 19$

$x = - \frac{5}{19} - \frac{8 y}{19}$

Paso 2.2.1.7

Simplifica el numerador.

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Paso 2.2.1.7.1

Multiplica $19$ por $- 1$ .

$\frac{- 19 y + 4 (- 27 y - 5)}{19} = 19$

$x = - \frac{5}{19} - \frac{8 y}{19}$

Paso 2.2.1.7.2

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{- 19 y + 4 (- 27 y) + 4 \cdot - 5}{19} = 19$

$x = - \frac{5}{19} - \frac{8 y}{19}$

Paso 2.2.1.7.3

Multiplica $- 27$ por $4$ .

$\frac{- 19 y - 108 y + 4 \cdot - 5}{19} = 19$

$x = - \frac{5}{19} - \frac{8 y}{19}$

Paso 2.2.1.7.4

Multiplica $4$ por $- 5$ .

$\frac{- 19 y - 108 y - 20}{19} = 19$

$x = - \frac{5}{19} - \frac{8 y}{19}$

Paso 2.2.1.7.5

Resta $108 y$ de $- 19 y$ .

$\frac{- 127 y - 20}{19} = 19$

$x = - \frac{5}{19} - \frac{8 y}{19}$

$\frac{- 127 y - 20}{19} = 19$

$x = - \frac{5}{19} - \frac{8 y}{19}$

Paso 2.2.1.8

Simplifica con la obtención del factor común.

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Paso 2.2.1.8.1

Factoriza $- 1$ de $- 127 y$ .

$\frac{- (127 y) - 20}{19} = 19$

$x = - \frac{5}{19} - \frac{8 y}{19}$

Paso 2.2.1.8.2

Reescribe $- 20$ como $- 1 (20)$ .

$\frac{- (127 y) - 1 \cdot 20}{19} = 19$

$x = - \frac{5}{19} - \frac{8 y}{19}$

Paso 2.2.1.8.3

Factoriza $- 1$ de $- (127 y) - 1 (20)$ .

$\frac{- (127 y + 20)}{19} = 19$

$x = - \frac{5}{19} - \frac{8 y}{19}$

Paso 2.2.1.8.4

Simplifica la expresión.

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Paso 2.2.1.8.4.1

Reescribe $- (127 y + 20)$ como $- 1 (127 y + 20)$ .

$\frac{- 1 (127 y + 20)}{19} = 19$

$x = - \frac{5}{19} - \frac{8 y}{19}$

Paso 2.2.1.8.4.2

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$- \frac{127 y + 20}{19} = 19$

$x = - \frac{5}{19} - \frac{8 y}{19}$

$- \frac{127 y + 20}{19} = 19$

$x = - \frac{5}{19} - \frac{8 y}{19}$

$- \frac{127 y + 20}{19} = 19$

$x = - \frac{5}{19} - \frac{8 y}{19}$

$- \frac{127 y + 20}{19} = 19$

$x = - \frac{5}{19} - \frac{8 y}{19}$

$- \frac{127 y + 20}{19} = 19$

$x = - \frac{5}{19} - \frac{8 y}{19}$

$- \frac{127 y + 20}{19} = 19$

$x = - \frac{5}{19} - \frac{8 y}{19}$

Paso 3

Resuelve $y$ en $- \frac{127 y + 20}{19} = 19$ .

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Paso 3.1

Multiplica ambos lados de la ecuación por $- 19$ .

$- 19 (- \frac{127 y + 20}{19}) = - 19 \cdot 19$

$x = - \frac{5}{19} - \frac{8 y}{19}$

Paso 3.2

Simplifica ambos lados de la ecuación.

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Paso 3.2.1

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 3.2.1.1

Simplifica $- 19 (- \frac{127 y + 20}{19})$ .

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Paso 3.2.1.1.1

Cancela el factor común de $19$ .

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Paso 3.2.1.1.1.1

Mueve el signo menos inicial en $- \frac{127 y + 20}{19}$ al numerador.

$- 19 \frac{- (127 y + 20)}{19} = - 19 \cdot 19$

$x = - \frac{5}{19} - \frac{8 y}{19}$

Paso 3.2.1.1.1.2

Factoriza $19$ de $- 19$ .

$19 (- 1) (\frac{- (127 y + 20)}{19}) = - 19 \cdot 19$

$x = - \frac{5}{19} - \frac{8 y}{19}$

Paso 3.2.1.1.1.3

Cancela el factor común.

$19 \cdot (- 1 \frac{- (127 y + 20)}{19}) = - 19 \cdot 19$

$x = - \frac{5}{19} - \frac{8 y}{19}$

Paso 3.2.1.1.1.4

Reescribe la expresión.

$127 y + 20 = - 19 \cdot 19$

$x = - \frac{5}{19} - \frac{8 y}{19}$

$127 y + 20 = - 19 \cdot 19$

$x = - \frac{5}{19} - \frac{8 y}{19}$

Paso 3.2.1.1.2

Multiplica.

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Paso 3.2.1.1.2.1

Multiplica $- 1$ por $- 1$ .

$1 (127 y + 20) = - 19 \cdot 19$

$x = - \frac{5}{19} - \frac{8 y}{19}$

Paso 3.2.1.1.2.2

Multiplica $127 y + 20$ por $1$ .

$127 y + 20 = - 19 \cdot 19$

$x = - \frac{5}{19} - \frac{8 y}{19}$

$127 y + 20 = - 19 \cdot 19$

$x = - \frac{5}{19} - \frac{8 y}{19}$

$127 y + 20 = - 19 \cdot 19$

$x = - \frac{5}{19} - \frac{8 y}{19}$

$127 y + 20 = - 19 \cdot 19$

$x = - \frac{5}{19} - \frac{8 y}{19}$

Paso 3.2.2

Simplifica el lado derecho.

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Paso 3.2.2.1

Multiplica $- 19$ por $19$ .

$127 y + 20 = - 361$

$x = - \frac{5}{19} - \frac{8 y}{19}$

$127 y + 20 = - 361$

$x = - \frac{5}{19} - \frac{8 y}{19}$

$127 y + 20 = - 361$

$x = - \frac{5}{19} - \frac{8 y}{19}$

Paso 3.3

Mueve todos los términos que no contengan $y$ al lado derecho de la ecuación.

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Paso 3.3.1

Resta $20$ de ambos lados de la ecuación.

$127 y = - 361 - 20$

$x = - \frac{5}{19} - \frac{8 y}{19}$

Paso 3.3.2

Resta $20$ de $- 361$ .

$127 y = - 381$

$x = - \frac{5}{19} - \frac{8 y}{19}$

$127 y = - 381$

$x = - \frac{5}{19} - \frac{8 y}{19}$

Paso 3.4

Divide cada término en $127 y = - 381$ por $127$ y simplifica.

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Paso 3.4.1

Divide cada término en $127 y = - 381$ por $127$ .

$\frac{127 y}{127} = \frac{- 381}{127}$

$x = - \frac{5}{19} - \frac{8 y}{19}$

Paso 3.4.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 3.4.2.1

Cancela el factor común de $127$ .

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Paso 3.4.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{127 y}{127} = \frac{- 381}{127}$

$x = - \frac{5}{19} - \frac{8 y}{19}$

Paso 3.4.2.1.2

Divide $y$ por $1$ .

$y = \frac{- 381}{127}$

$x = - \frac{5}{19} - \frac{8 y}{19}$

$y = \frac{- 381}{127}$

$x = - \frac{5}{19} - \frac{8 y}{19}$

$y = \frac{- 381}{127}$

$x = - \frac{5}{19} - \frac{8 y}{19}$

Paso 3.4.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 3.4.3.1

Divide $- 381$ por $127$ .

$y = - 3$

$x = - \frac{5}{19} - \frac{8 y}{19}$

$y = - 3$

$x = - \frac{5}{19} - \frac{8 y}{19}$

$y = - 3$

$x = - \frac{5}{19} - \frac{8 y}{19}$

$y = - 3$

$x = - \frac{5}{19} - \frac{8 y}{19}$

Paso 4

Reemplaza todos los casos de $y$ por $- 3$ en cada ecuación.

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Paso 4.1

Reemplaza todos los casos de $y$ en $x = - \frac{5}{19} - \frac{8 y}{19}$ por $- 3$ .

$x = - \frac{5}{19} - \frac{8 (- 3)}{19}$

$y = - 3$

Paso 4.2

Simplifica el lado derecho.

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Paso 4.2.1

Simplifica $- \frac{5}{19} - \frac{8 (- 3)}{19}$ .

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Paso 4.2.1.1

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$x = \frac{- 5 - 8 \cdot - 3}{19}$

$y = - 3$

Paso 4.2.1.2

Simplifica la expresión.

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Paso 4.2.1.2.1

Multiplica $- 8$ por $- 3$ .

$x = \frac{- 5 + 24}{19}$

$y = - 3$

Paso 4.2.1.2.2

Suma $- 5$ y $24$ .

$x = \frac{19}{19}$

$y = - 3$

Paso 4.2.1.2.3

Divide $19$ por $19$ .

$x = 1$

$y = - 3$

$x = 1$

$y = - 3$

$x = 1$

$y = - 3$

$x = 1$

$y = - 3$

$x = 1$

$y = - 3$

Paso 5

La solución del sistema es el conjunto completo de pares ordenados que son soluciones válidas.

$(1, - 3)$

Paso 6

El resultado puede mostrarse de distintas formas.

Forma de punto:

$(1, - 3)$

Forma de la ecuación:

$x = 1, y = - 3$

Paso 7