Matemática discreta Ejemplos

$3 x + 7 y - 2 z = 0$ , $7 x - 5 y + 3 z = 1$ , $10 x + 2 y + z = 1$

Paso 1

Mueve todos los términos que no contengan $z$ al lado derecho de la ecuación.

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Paso 1.1

Resta $10 x$ de ambos lados de la ecuación.

$2 y + z = 1 - 10 x$

$3 x + 7 y - 2 z = 0$

$7 x - 5 y + 3 z = 1$

Paso 1.2

Resta $2 y$ de ambos lados de la ecuación.

$z = 1 - 10 x - 2 y$

$3 x + 7 y - 2 z = 0$

$7 x - 5 y + 3 z = 1$

$z = 1 - 10 x - 2 y$

$3 x + 7 y - 2 z = 0$

$7 x - 5 y + 3 z = 1$

Paso 2

Reemplaza todos los casos de $z$ por $1 - 10 x - 2 y$ en cada ecuación.

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Paso 2.1

Reemplaza todos los casos de $z$ en $3 x + 7 y - 2 z = 0$ por $1 - 10 x - 2 y$ .

$3 x + 7 y - 2 (1 - 10 x - 2 y) = 0$

$z = 1 - 10 x - 2 y$

$7 x - 5 y + 3 z = 1$

Paso 2.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 2.2.1

Simplifica $3 x + 7 y - 2 (1 - 10 x - 2 y)$ .

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Paso 2.2.1.1

Simplifica cada término.

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Paso 2.2.1.1.1

Aplica la propiedad distributiva.

$3 x + 7 y - 2 \cdot 1 - 2 (- 10 x) - 2 (- 2 y) = 0$

$z = 1 - 10 x - 2 y$

$7 x - 5 y + 3 z = 1$

Paso 2.2.1.1.2

Simplifica.

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Paso 2.2.1.1.2.1

Multiplica $- 2$ por $1$ .

$3 x + 7 y - 2 - 2 (- 10 x) - 2 (- 2 y) = 0$

$z = 1 - 10 x - 2 y$

$7 x - 5 y + 3 z = 1$

Paso 2.2.1.1.2.2

Multiplica $- 10$ por $- 2$ .

$3 x + 7 y - 2 + 20 x - 2 (- 2 y) = 0$

$z = 1 - 10 x - 2 y$

$7 x - 5 y + 3 z = 1$

Paso 2.2.1.1.2.3

Multiplica $- 2$ por $- 2$ .

$3 x + 7 y - 2 + 20 x + 4 y = 0$

$z = 1 - 10 x - 2 y$

$7 x - 5 y + 3 z = 1$

$3 x + 7 y - 2 + 20 x + 4 y = 0$

$z = 1 - 10 x - 2 y$

$7 x - 5 y + 3 z = 1$

$3 x + 7 y - 2 + 20 x + 4 y = 0$

$z = 1 - 10 x - 2 y$

$7 x - 5 y + 3 z = 1$

Paso 2.2.1.2

Simplifica mediante la adición de términos.

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Paso 2.2.1.2.1

Suma $3 x$ y $20 x$ .

$23 x + 7 y - 2 + 4 y = 0$

$z = 1 - 10 x - 2 y$

$7 x - 5 y + 3 z = 1$

Paso 2.2.1.2.2

Suma $7 y$ y $4 y$ .

$23 x + 11 y - 2 = 0$

$z = 1 - 10 x - 2 y$

$7 x - 5 y + 3 z = 1$

$23 x + 11 y - 2 = 0$

$z = 1 - 10 x - 2 y$

$7 x - 5 y + 3 z = 1$

$23 x + 11 y - 2 = 0$

$z = 1 - 10 x - 2 y$

$7 x - 5 y + 3 z = 1$

$23 x + 11 y - 2 = 0$

$z = 1 - 10 x - 2 y$

$7 x - 5 y + 3 z = 1$

Paso 2.3

Reemplaza todos los casos de $z$ en $7 x - 5 y + 3 z = 1$ por $1 - 10 x - 2 y$ .

$7 x - 5 y + 3 (1 - 10 x - 2 y) = 1$

$23 x + 11 y - 2 = 0$

$z = 1 - 10 x - 2 y$

Paso 2.4

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 2.4.1

Simplifica $7 x - 5 y + 3 (1 - 10 x - 2 y)$ .

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Paso 2.4.1.1

Simplifica cada término.

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Paso 2.4.1.1.1

Aplica la propiedad distributiva.

$7 x - 5 y + 3 \cdot 1 + 3 (- 10 x) + 3 (- 2 y) = 1$

$23 x + 11 y - 2 = 0$

$z = 1 - 10 x - 2 y$

Paso 2.4.1.1.2

Simplifica.

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Paso 2.4.1.1.2.1

Multiplica $3$ por $1$ .

$7 x - 5 y + 3 + 3 (- 10 x) + 3 (- 2 y) = 1$

$23 x + 11 y - 2 = 0$

$z = 1 - 10 x - 2 y$

Paso 2.4.1.1.2.2

Multiplica $- 10$ por $3$ .

$7 x - 5 y + 3 - 30 x + 3 (- 2 y) = 1$

$23 x + 11 y - 2 = 0$

$z = 1 - 10 x - 2 y$

Paso 2.4.1.1.2.3

Multiplica $- 2$ por $3$ .

$7 x - 5 y + 3 - 30 x - 6 y = 1$

$23 x + 11 y - 2 = 0$

$z = 1 - 10 x - 2 y$

$7 x - 5 y + 3 - 30 x - 6 y = 1$

$23 x + 11 y - 2 = 0$

$z = 1 - 10 x - 2 y$

$7 x - 5 y + 3 - 30 x - 6 y = 1$

$23 x + 11 y - 2 = 0$

$z = 1 - 10 x - 2 y$

Paso 2.4.1.2

Simplifica mediante la adición de términos.

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Paso 2.4.1.2.1

Resta $30 x$ de $7 x$ .

$- 23 x - 5 y + 3 - 6 y = 1$

$23 x + 11 y - 2 = 0$

$z = 1 - 10 x - 2 y$

Paso 2.4.1.2.2

Resta $6 y$ de $- 5 y$ .

$- 23 x - 11 y + 3 = 1$

$23 x + 11 y - 2 = 0$

$z = 1 - 10 x - 2 y$

$- 23 x - 11 y + 3 = 1$

$23 x + 11 y - 2 = 0$

$z = 1 - 10 x - 2 y$

$- 23 x - 11 y + 3 = 1$

$23 x + 11 y - 2 = 0$

$z = 1 - 10 x - 2 y$

$- 23 x - 11 y + 3 = 1$

$23 x + 11 y - 2 = 0$

$z = 1 - 10 x - 2 y$

$- 23 x - 11 y + 3 = 1$

$23 x + 11 y - 2 = 0$

$z = 1 - 10 x - 2 y$

Paso 3

Resuelve $x$ en $- 23 x - 11 y + 3 = 1$ .

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Paso 3.1

Mueve todos los términos que no contengan $x$ al lado derecho de la ecuación.

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Paso 3.1.1

Suma $11 y$ a ambos lados de la ecuación.

$- 23 x + 3 = 1 + 11 y$

$23 x + 11 y - 2 = 0$

$z = 1 - 10 x - 2 y$

Paso 3.1.2

Resta $3$ de ambos lados de la ecuación.

$- 23 x = 1 + 11 y - 3$

$23 x + 11 y - 2 = 0$

$z = 1 - 10 x - 2 y$

Paso 3.1.3

Resta $3$ de $1$ .

$- 23 x = 11 y - 2$

$23 x + 11 y - 2 = 0$

$z = 1 - 10 x - 2 y$

$- 23 x = 11 y - 2$

$23 x + 11 y - 2 = 0$

$z = 1 - 10 x - 2 y$

Paso 3.2

Divide cada término en $- 23 x = 11 y - 2$ por $- 23$ y simplifica.

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Paso 3.2.1

Divide cada término en $- 23 x = 11 y - 2$ por $- 23$ .

$\frac{- 23 x}{- 23} = \frac{11 y}{- 23} + \frac{- 2}{- 23}$

$23 x + 11 y - 2 = 0$

$z = 1 - 10 x - 2 y$

Paso 3.2.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 3.2.2.1

Cancela el factor común de $- 23$ .

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Paso 3.2.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{- 23 x}{- 23} = \frac{11 y}{- 23} + \frac{- 2}{- 23}$

$23 x + 11 y - 2 = 0$

$z = 1 - 10 x - 2 y$

Paso 3.2.2.1.2

Divide $x$ por $1$ .

$x = \frac{11 y}{- 23} + \frac{- 2}{- 23}$

$23 x + 11 y - 2 = 0$

$z = 1 - 10 x - 2 y$

$x = \frac{11 y}{- 23} + \frac{- 2}{- 23}$

$23 x + 11 y - 2 = 0$

$z = 1 - 10 x - 2 y$

$x = \frac{11 y}{- 23} + \frac{- 2}{- 23}$

$23 x + 11 y - 2 = 0$

$z = 1 - 10 x - 2 y$

Paso 3.2.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 3.2.3.1

Simplifica cada término.

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Paso 3.2.3.1.1

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$x = - \frac{11 y}{23} + \frac{- 2}{- 23}$

$23 x + 11 y - 2 = 0$

$z = 1 - 10 x - 2 y$

Paso 3.2.3.1.2

La división de dos valores negativos da como resultado un valor positivo.

$x = - \frac{11 y}{23} + \frac{2}{23}$

$23 x + 11 y - 2 = 0$

$z = 1 - 10 x - 2 y$

$x = - \frac{11 y}{23} + \frac{2}{23}$

$23 x + 11 y - 2 = 0$

$z = 1 - 10 x - 2 y$

$x = - \frac{11 y}{23} + \frac{2}{23}$

$23 x + 11 y - 2 = 0$

$z = 1 - 10 x - 2 y$

$x = - \frac{11 y}{23} + \frac{2}{23}$

$23 x + 11 y - 2 = 0$

$z = 1 - 10 x - 2 y$

$x = - \frac{11 y}{23} + \frac{2}{23}$

$23 x + 11 y - 2 = 0$

$z = 1 - 10 x - 2 y$

Paso 4

Reemplaza todos los casos de $x$ por $- \frac{11 y}{23} + \frac{2}{23}$ en cada ecuación.

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Paso 4.1

Reemplaza todos los casos de $x$ en $23 x + 11 y - 2 = 0$ por $- \frac{11 y}{23} + \frac{2}{23}$ .

$23 (- \frac{11 y}{23} + \frac{2}{23}) + 11 y - 2 = 0$

$x = - \frac{11 y}{23} + \frac{2}{23}$

$z = 1 - 10 x - 2 y$

Paso 4.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 4.2.1

Simplifica $23 (- \frac{11 y}{23} + \frac{2}{23}) + 11 y - 2$ .

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Paso 4.2.1.1

Simplifica cada término.

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Paso 4.2.1.1.1

Aplica la propiedad distributiva.

$23 (- \frac{11 y}{23}) + 23 (\frac{2}{23}) + 11 y - 2 = 0$

$x = - \frac{11 y}{23} + \frac{2}{23}$

$z = 1 - 10 x - 2 y$

Paso 4.2.1.1.2

Cancela el factor común de $23$ .

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Paso 4.2.1.1.2.1

Mueve el signo menos inicial en $- \frac{11 y}{23}$ al numerador.

$23 (\frac{- 11 y}{23}) + 23 (\frac{2}{23}) + 11 y - 2 = 0$

$x = - \frac{11 y}{23} + \frac{2}{23}$

$z = 1 - 10 x - 2 y$

Paso 4.2.1.1.2.2

Cancela el factor común.

$23 (\frac{- 11 y}{23}) + 23 (\frac{2}{23}) + 11 y - 2 = 0$

$x = - \frac{11 y}{23} + \frac{2}{23}$

$z = 1 - 10 x - 2 y$

Paso 4.2.1.1.2.3

Reescribe la expresión.

$- 11 y + 23 (\frac{2}{23}) + 11 y - 2 = 0$

$x = - \frac{11 y}{23} + \frac{2}{23}$

$z = 1 - 10 x - 2 y$

$- 11 y + 23 (\frac{2}{23}) + 11 y - 2 = 0$

$x = - \frac{11 y}{23} + \frac{2}{23}$

$z = 1 - 10 x - 2 y$

Paso 4.2.1.1.3

Cancela el factor común de $23$ .

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Paso 4.2.1.1.3.1

Cancela el factor común.

$- 11 y + 23 (\frac{2}{23}) + 11 y - 2 = 0$

$x = - \frac{11 y}{23} + \frac{2}{23}$

$z = 1 - 10 x - 2 y$

Paso 4.2.1.1.3.2

Reescribe la expresión.

$- 11 y + 2 + 11 y - 2 = 0$

$x = - \frac{11 y}{23} + \frac{2}{23}$

$z = 1 - 10 x - 2 y$

$- 11 y + 2 + 11 y - 2 = 0$

$x = - \frac{11 y}{23} + \frac{2}{23}$

$z = 1 - 10 x - 2 y$

$- 11 y + 2 + 11 y - 2 = 0$

$x = - \frac{11 y}{23} + \frac{2}{23}$

$z = 1 - 10 x - 2 y$

Paso 4.2.1.2

Combina los términos opuestos en $- 11 y + 2 + 11 y - 2$ .

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Paso 4.2.1.2.1

Suma $- 11 y$ y $11 y$ .

$0 + 2 - 2 = 0$

$x = - \frac{11 y}{23} + \frac{2}{23}$

$z = 1 - 10 x - 2 y$

Paso 4.2.1.2.2

Suma $0$ y $2$ .

$2 - 2 = 0$

$x = - \frac{11 y}{23} + \frac{2}{23}$

$z = 1 - 10 x - 2 y$

Paso 4.2.1.2.3

Resta $2$ de $2$ .

$0 = 0$

$x = - \frac{11 y}{23} + \frac{2}{23}$

$z = 1 - 10 x - 2 y$

$0 = 0$

$x = - \frac{11 y}{23} + \frac{2}{23}$

$z = 1 - 10 x - 2 y$

$0 = 0$

$x = - \frac{11 y}{23} + \frac{2}{23}$

$z = 1 - 10 x - 2 y$

$0 = 0$

$x = - \frac{11 y}{23} + \frac{2}{23}$

$z = 1 - 10 x - 2 y$

Paso 4.3

Reemplaza todos los casos de $x$ en $z = 1 - 10 x - 2 y$ por $- \frac{11 y}{23} + \frac{2}{23}$ .

$z = 1 - 10 (- \frac{11 y}{23} + \frac{2}{23}) - 2 y$

$0 = 0$

$x = - \frac{11 y}{23} + \frac{2}{23}$

Paso 4.4

Simplifica el lado derecho.

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Paso 4.4.1

Simplifica $1 - 10 (- \frac{11 y}{23} + \frac{2}{23}) - 2 y$ .

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Paso 4.4.1.1

Simplifica cada término.

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Paso 4.4.1.1.1

Aplica la propiedad distributiva.

$z = 1 - 10 (- \frac{11 y}{23}) - 10 (\frac{2}{23}) - 2 y$

$0 = 0$

$x = - \frac{11 y}{23} + \frac{2}{23}$

Paso 4.4.1.1.2

Multiplica $- 10 (- \frac{11 y}{23})$ .

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Paso 4.4.1.1.2.1

Multiplica $- 1$ por $- 10$ .

$z = 1 + 10 (\frac{11 y}{23}) - 10 (\frac{2}{23}) - 2 y$

$0 = 0$

$x = - \frac{11 y}{23} + \frac{2}{23}$

Paso 4.4.1.1.2.2

Combina $10$ y $\frac{11 y}{23}$ .

$z = 1 + \frac{10 (11 y)}{23} - 10 (\frac{2}{23}) - 2 y$

$0 = 0$

$x = - \frac{11 y}{23} + \frac{2}{23}$

Paso 4.4.1.1.2.3

Multiplica $11$ por $10$ .

$z = 1 + \frac{110 y}{23} - 10 (\frac{2}{23}) - 2 y$

$0 = 0$

$x = - \frac{11 y}{23} + \frac{2}{23}$

$z = 1 + \frac{110 y}{23} - 10 (\frac{2}{23}) - 2 y$

$0 = 0$

$x = - \frac{11 y}{23} + \frac{2}{23}$

Paso 4.4.1.1.3

Multiplica $- 10 (\frac{2}{23})$ .

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Paso 4.4.1.1.3.1

Combina $- 10$ y $\frac{2}{23}$ .

$z = 1 + \frac{110 y}{23} + \frac{- 10 \cdot 2}{23} - 2 y$

$0 = 0$

$x = - \frac{11 y}{23} + \frac{2}{23}$

Paso 4.4.1.1.3.2

Multiplica $- 10$ por $2$ .

$z = 1 + \frac{110 y}{23} + \frac{- 20}{23} - 2 y$

$0 = 0$

$x = - \frac{11 y}{23} + \frac{2}{23}$

$z = 1 + \frac{110 y}{23} + \frac{- 20}{23} - 2 y$

$0 = 0$

$x = - \frac{11 y}{23} + \frac{2}{23}$

Paso 4.4.1.1.4

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$z = 1 + \frac{110 y}{23} - \frac{20}{23} - 2 y$

$0 = 0$

$x = - \frac{11 y}{23} + \frac{2}{23}$

$z = 1 + \frac{110 y}{23} - \frac{20}{23} - 2 y$

$0 = 0$

$x = - \frac{11 y}{23} + \frac{2}{23}$

Paso 4.4.1.2

Simplifica la expresión.

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Paso 4.4.1.2.1

Escribe $1$ como una fracción con un denominador común.

$z = \frac{110 y}{23} + \frac{23}{23} - \frac{20}{23} - 2 y$

$0 = 0$

$x = - \frac{11 y}{23} + \frac{2}{23}$

Paso 4.4.1.2.2

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$z = \frac{110 y}{23} + \frac{23 - 20}{23} - 2 y$

$0 = 0$

$x = - \frac{11 y}{23} + \frac{2}{23}$

Paso 4.4.1.2.3

Resta $20$ de $23$ .

$z = \frac{110 y}{23} + \frac{3}{23} - 2 y$

$0 = 0$

$x = - \frac{11 y}{23} + \frac{2}{23}$

$z = \frac{110 y}{23} + \frac{3}{23} - 2 y$

$0 = 0$

$x = - \frac{11 y}{23} + \frac{2}{23}$

Paso 4.4.1.3

Para escribir $- 2 y$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{23}{23}$ .

$z = \frac{110 y}{23} - 2 y \cdot \frac{23}{23} + \frac{3}{23}$

$0 = 0$

$x = - \frac{11 y}{23} + \frac{2}{23}$

Paso 4.4.1.4

Combina $- 2 y$ y $\frac{23}{23}$ .

$z = \frac{110 y}{23} + \frac{- 2 y \cdot 23}{23} + \frac{3}{23}$

$0 = 0$

$x = - \frac{11 y}{23} + \frac{2}{23}$

Paso 4.4.1.5

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$z = \frac{110 y - 2 y \cdot 23}{23} + \frac{3}{23}$

$0 = 0$

$x = - \frac{11 y}{23} + \frac{2}{23}$

Paso 4.4.1.6

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$z = \frac{110 y - 2 y \cdot 23 + 3}{23}$

$0 = 0$

$x = - \frac{11 y}{23} + \frac{2}{23}$

Paso 4.4.1.7

Multiplica $23$ por $- 2$ .

$z = \frac{110 y - 46 y + 3}{23}$

$0 = 0$

$x = - \frac{11 y}{23} + \frac{2}{23}$

Paso 4.4.1.8

Resta $46 y$ de $110 y$ .

$z = \frac{64 y + 3}{23}$

$0 = 0$

$x = - \frac{11 y}{23} + \frac{2}{23}$

$z = \frac{64 y + 3}{23}$

$0 = 0$

$x = - \frac{11 y}{23} + \frac{2}{23}$

$z = \frac{64 y + 3}{23}$

$0 = 0$

$x = - \frac{11 y}{23} + \frac{2}{23}$

$z = \frac{64 y + 3}{23}$

$0 = 0$

$x = - \frac{11 y}{23} + \frac{2}{23}$

Paso 5

Elimina del sistema las ecuaciones que siempre son verdaderas.

$z = \frac{64 y + 3}{23}$

$x = - \frac{11 y}{23} + \frac{2}{23}$