Matemática discreta Ejemplos

$x + y + z = 5$ , $15 x + 160 y + 20 z = 370$ , $x + 12 y + z = 27$

Paso 1

Mueve todos los términos que no contengan $x$ al lado derecho de la ecuación.

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Paso 1.1

Resta $y$ de ambos lados de la ecuación.

$x + z = 5 - y$

$15 x + 160 y + 20 z = 370$

$x + 12 y + z = 27$

Paso 1.2

Resta $z$ de ambos lados de la ecuación.

$x = 5 - y - z$

$15 x + 160 y + 20 z = 370$

$x + 12 y + z = 27$

$x = 5 - y - z$

$15 x + 160 y + 20 z = 370$

$x + 12 y + z = 27$

Paso 2

Reemplaza todos los casos de $x$ por $5 - y - z$ en cada ecuación.

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Paso 2.1

Reemplaza todos los casos de $x$ en $15 x + 160 y + 20 z = 370$ por $5 - y - z$ .

$15 (5 - y - z) + 160 y + 20 z = 370$

$x = 5 - y - z$

$x + 12 y + z = 27$

Paso 2.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 2.2.1

Simplifica $15 (5 - y - z) + 160 y + 20 z$ .

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Paso 2.2.1.1

Simplifica cada término.

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Paso 2.2.1.1.1

Aplica la propiedad distributiva.

$15 \cdot 5 + 15 (- y) + 15 (- z) + 160 y + 20 z = 370$

$x = 5 - y - z$

$x + 12 y + z = 27$

Paso 2.2.1.1.2

Simplifica.

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Paso 2.2.1.1.2.1

Multiplica $15$ por $5$ .

$75 + 15 (- y) + 15 (- z) + 160 y + 20 z = 370$

$x = 5 - y - z$

$x + 12 y + z = 27$

Paso 2.2.1.1.2.2

Multiplica $- 1$ por $15$ .

$75 - 15 y + 15 (- z) + 160 y + 20 z = 370$

$x = 5 - y - z$

$x + 12 y + z = 27$

Paso 2.2.1.1.2.3

Multiplica $- 1$ por $15$ .

$75 - 15 y - 15 z + 160 y + 20 z = 370$

$x = 5 - y - z$

$x + 12 y + z = 27$

$75 - 15 y - 15 z + 160 y + 20 z = 370$

$x = 5 - y - z$

$x + 12 y + z = 27$

$75 - 15 y - 15 z + 160 y + 20 z = 370$

$x = 5 - y - z$

$x + 12 y + z = 27$

Paso 2.2.1.2

Simplifica mediante la adición de términos.

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Paso 2.2.1.2.1

Suma $- 15 y$ y $160 y$ .

$75 + 145 y - 15 z + 20 z = 370$

$x = 5 - y - z$

$x + 12 y + z = 27$

Paso 2.2.1.2.2

Suma $- 15 z$ y $20 z$ .

$75 + 145 y + 5 z = 370$

$x = 5 - y - z$

$x + 12 y + z = 27$

$75 + 145 y + 5 z = 370$

$x = 5 - y - z$

$x + 12 y + z = 27$

$75 + 145 y + 5 z = 370$

$x = 5 - y - z$

$x + 12 y + z = 27$

$75 + 145 y + 5 z = 370$

$x = 5 - y - z$

$x + 12 y + z = 27$

Paso 2.3

Reemplaza todos los casos de $x$ en $x + 12 y + z = 27$ por $5 - y - z$ .

$(5 - y - z) + 12 y + z = 27$

$75 + 145 y + 5 z = 370$

$x = 5 - y - z$

Paso 2.4

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 2.4.1

Simplifica $(5 - y - z) + 12 y + z$ .

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Paso 2.4.1.1

Combina los términos opuestos en $(5 - y - z) + 12 y + z$ .

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Paso 2.4.1.1.1

Suma $- z$ y $z$ .

$(5 - y) + 12 y + 0 = 27$

$75 + 145 y + 5 z = 370$

$x = 5 - y - z$

Paso 2.4.1.1.2

Suma $(5 - y) + 12 y$ y $0$ .

$(5 - y) + 12 y = 27$

$75 + 145 y + 5 z = 370$

$x = 5 - y - z$

$(5 - y) + 12 y = 27$

$75 + 145 y + 5 z = 370$

$x = 5 - y - z$

Paso 2.4.1.2

Suma $- y$ y $12 y$ .

$5 + 11 y = 27$

$75 + 145 y + 5 z = 370$

$x = 5 - y - z$

$5 + 11 y = 27$

$75 + 145 y + 5 z = 370$

$x = 5 - y - z$

$5 + 11 y = 27$

$75 + 145 y + 5 z = 370$

$x = 5 - y - z$

$5 + 11 y = 27$

$75 + 145 y + 5 z = 370$

$x = 5 - y - z$

Paso 3

Resuelve $y$ en $5 + 11 y = 27$ .

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Paso 3.1

Mueve todos los términos que no contengan $y$ al lado derecho de la ecuación.

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Paso 3.1.1

Resta $5$ de ambos lados de la ecuación.

$11 y = 27 - 5$

$75 + 145 y + 5 z = 370$

$x = 5 - y - z$

Paso 3.1.2

Resta $5$ de $27$ .

$11 y = 22$

$75 + 145 y + 5 z = 370$

$x = 5 - y - z$

$11 y = 22$

$75 + 145 y + 5 z = 370$

$x = 5 - y - z$

Paso 3.2

Divide cada término en $11 y = 22$ por $11$ y simplifica.

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Paso 3.2.1

Divide cada término en $11 y = 22$ por $11$ .

$\frac{11 y}{11} = \frac{22}{11}$

$75 + 145 y + 5 z = 370$

$x = 5 - y - z$

Paso 3.2.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 3.2.2.1

Cancela el factor común de $11$ .

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Paso 3.2.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{11 y}{11} = \frac{22}{11}$

$75 + 145 y + 5 z = 370$

$x = 5 - y - z$

Paso 3.2.2.1.2

Divide $y$ por $1$ .

$y = \frac{22}{11}$

$75 + 145 y + 5 z = 370$

$x = 5 - y - z$

$y = \frac{22}{11}$

$75 + 145 y + 5 z = 370$

$x = 5 - y - z$

$y = \frac{22}{11}$

$75 + 145 y + 5 z = 370$

$x = 5 - y - z$

Paso 3.2.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 3.2.3.1

Divide $22$ por $11$ .

$y = 2$

$75 + 145 y + 5 z = 370$

$x = 5 - y - z$

$y = 2$

$75 + 145 y + 5 z = 370$

$x = 5 - y - z$

$y = 2$

$75 + 145 y + 5 z = 370$

$x = 5 - y - z$

$y = 2$

$75 + 145 y + 5 z = 370$

$x = 5 - y - z$

Paso 4

Reemplaza todos los casos de $y$ por $2$ en cada ecuación.

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Paso 4.1

Reemplaza todos los casos de $y$ en $75 + 145 y + 5 z = 370$ por $2$ .

$75 + 145 (2) + 5 z = 370$

$y = 2$

$x = 5 - y - z$

Paso 4.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 4.2.1

Simplifica $75 + 145 (2) + 5 z$ .

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Paso 4.2.1.1

Multiplica $145$ por $2$ .

$75 + 290 + 5 z = 370$

$y = 2$

$x = 5 - y - z$

Paso 4.2.1.2

Suma $75$ y $290$ .

$365 + 5 z = 370$

$y = 2$

$x = 5 - y - z$

$365 + 5 z = 370$

$y = 2$

$x = 5 - y - z$

$365 + 5 z = 370$

$y = 2$

$x = 5 - y - z$

Paso 4.3

Reemplaza todos los casos de $y$ en $x = 5 - y - z$ por $2$ .

$x = 5 - (2) - z$

$365 + 5 z = 370$

$y = 2$

Paso 4.4

Simplifica el lado derecho.

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Paso 4.4.1

Simplifica $5 - (2) - z$ .

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Paso 4.4.1.1

Multiplica $- 1$ por $2$ .

$x = 5 - 2 - z$

$365 + 5 z = 370$

$y = 2$

Paso 4.4.1.2

Resta $2$ de $5$ .

$x = 3 - z$

$365 + 5 z = 370$

$y = 2$

$x = 3 - z$

$365 + 5 z = 370$

$y = 2$

$x = 3 - z$

$365 + 5 z = 370$

$y = 2$

$x = 3 - z$

$365 + 5 z = 370$

$y = 2$

Paso 5

Resuelve $z$ en $365 + 5 z = 370$ .

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Paso 5.1

Mueve todos los términos que no contengan $z$ al lado derecho de la ecuación.

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Paso 5.1.1

Resta $365$ de ambos lados de la ecuación.

$5 z = 370 - 365$

$x = 3 - z$

$y = 2$

Paso 5.1.2

Resta $365$ de $370$ .

$5 z = 5$

$x = 3 - z$

$y = 2$

$5 z = 5$

$x = 3 - z$

$y = 2$

Paso 5.2

Divide cada término en $5 z = 5$ por $5$ y simplifica.

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Paso 5.2.1

Divide cada término en $5 z = 5$ por $5$ .

$\frac{5 z}{5} = \frac{5}{5}$

$x = 3 - z$

$y = 2$

Paso 5.2.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 5.2.2.1

Cancela el factor común de $5$ .

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Paso 5.2.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{5 z}{5} = \frac{5}{5}$

$x = 3 - z$

$y = 2$

Paso 5.2.2.1.2

Divide $z$ por $1$ .

$z = \frac{5}{5}$

$x = 3 - z$

$y = 2$

$z = \frac{5}{5}$

$x = 3 - z$

$y = 2$

$z = \frac{5}{5}$

$x = 3 - z$

$y = 2$

Paso 5.2.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 5.2.3.1

Divide $5$ por $5$ .

$z = 1$

$x = 3 - z$

$y = 2$

$z = 1$

$x = 3 - z$

$y = 2$

$z = 1$

$x = 3 - z$

$y = 2$

$z = 1$

$x = 3 - z$

$y = 2$

Paso 6

Reemplaza todos los casos de $z$ por $1$ en cada ecuación.

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Paso 6.1

Reemplaza todos los casos de $z$ en $x = 3 - z$ por $1$ .

$x = 3 - (1)$

$z = 1$

$y = 2$

Paso 6.2

Simplifica el lado derecho.

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Paso 6.2.1

Simplifica $3 - (1)$ .

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Paso 6.2.1.1

Multiplica $- 1$ por $1$ .

$x = 3 - 1$

$z = 1$

$y = 2$

Paso 6.2.1.2

Resta $1$ de $3$ .

$x = 2$

$z = 1$

$y = 2$

$x = 2$

$z = 1$

$y = 2$

$x = 2$

$z = 1$

$y = 2$

$x = 2$

$z = 1$

$y = 2$

Paso 7

La solución del sistema es el conjunto completo de pares ordenados que son soluciones válidas.

$(2, 2, 1)$

Paso 8

El resultado puede mostrarse de distintas formas.

Forma de punto:

$(2, 2, 1)$

Forma de la ecuación:

$x = 2, y = 2, z = 1$