Matemática discreta Ejemplos

${(1 + 2 i)}^{3}$

Paso 1

El triángulo de Pascal se puede visualizar de la siguiente manera:

$1$

$1 - 1$

$1 - 2 - 1$

$1 - 3 - 3 - 1$

El triángulo puede usarse para calcular los coeficientes de la expansión de ${(a + b)}^{n}$ al tomar el exponente $n$ y sumar $1$ . Los coeficientes se corresponderán con la línea $n + 1$ del triángulo. Para ${(1 + 2 i)}^{3}$ , $n = 3$ de modo que los coeficientes de la expansión se corresponderán con la línea $4$ .

Paso 2

La expansión sigue la regla ${(a + b)}^{n} = c_{0} a^{n} b^{0} + c_{1} a^{n - 1} b^{1} + c_{n - 1} a^{1} b^{n - 1} + c_{n} a^{0} b^{n}$ . Los valores de los coeficientes, desde el triángulo, son $1 - 3 - 3 - 1$ .

$1 a^{3} b^{0} + 3 a^{2} b + 3 a b^{2} + 1 a^{0} b^{3}$

Paso 3

Sustituye los valores reales de $a$ , $1$ y $b$ en la expresión $2 i$ .

$1 {(1)}^{3} {(2 i)}^{0} + 3 {(1)}^{2} {(2 i)}^{1} + 3 {(1)}^{1} {(2 i)}^{2} + 1 {(1)}^{0} {(2 i)}^{3}$

Paso 4

Simplifica la expresión.

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Paso 4.1

Simplifica cada término.

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Paso 4.1.1

Multiplica $1$ por ${(1)}^{3}$ sumando los exponentes.

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Paso 4.1.1.1

Multiplica $1$ por ${(1)}^{3}$ .

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Paso 4.1.1.1.1

Eleva $1$ a la potencia de $1$ .

$1^{1} {(1)}^{3} {(2 i)}^{0} + 3 {(1)}^{2} {(2 i)}^{1} + 3 {(1)}^{1} {(2 i)}^{2} + 1 {(1)}^{0} {(2 i)}^{3}$

Paso 4.1.1.1.2

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$1^{1 + 3} {(2 i)}^{0} + 3 {(1)}^{2} {(2 i)}^{1} + 3 {(1)}^{1} {(2 i)}^{2} + 1 {(1)}^{0} {(2 i)}^{3}$

Paso 4.1.1.2

Suma $1$ y $3$ .

$1^{4} {(2 i)}^{0} + 3 {(1)}^{2} {(2 i)}^{1} + 3 {(1)}^{1} {(2 i)}^{2} + 1 {(1)}^{0} {(2 i)}^{3}$

Paso 4.1.2

Simplifica $1^{4} {(2 i)}^{0}$ .

$1^{4} + 3 {(1)}^{2} {(2 i)}^{1} + 3 {(1)}^{1} {(2 i)}^{2} + 1 {(1)}^{0} {(2 i)}^{3}$

Paso 4.1.3

Uno elevado a cualquier potencia es uno.

$1 + 3 {(1)}^{2} {(2 i)}^{1} + 3 {(1)}^{1} {(2 i)}^{2} + 1 {(1)}^{0} {(2 i)}^{3}$

Paso 4.1.4

Uno elevado a cualquier potencia es uno.

$1 + 3 \cdot 1 {(2 i)}^{1} + 3 {(1)}^{1} {(2 i)}^{2} + 1 {(1)}^{0} {(2 i)}^{3}$

Paso 4.1.5

Multiplica $3$ por $1$ .

$1 + 3 {(2 i)}^{1} + 3 {(1)}^{1} {(2 i)}^{2} + 1 {(1)}^{0} {(2 i)}^{3}$

Paso 4.1.6

Simplifica.

$1 + 3 (2 i) + 3 {(1)}^{1} {(2 i)}^{2} + 1 {(1)}^{0} {(2 i)}^{3}$

Paso 4.1.7

Multiplica $2$ por $3$ .

$1 + 6 i + 3 {(1)}^{1} {(2 i)}^{2} + 1 {(1)}^{0} {(2 i)}^{3}$

Paso 4.1.8

Evalúa el exponente.

$1 + 6 i + 3 \cdot 1 {(2 i)}^{2} + 1 {(1)}^{0} {(2 i)}^{3}$

Paso 4.1.9

Multiplica $3$ por $1$ .

$1 + 6 i + 3 {(2 i)}^{2} + 1 {(1)}^{0} {(2 i)}^{3}$

Paso 4.1.10

Aplica la regla del producto a $2 i$ .

$1 + 6 i + 3 (2^{2} i^{2}) + 1 {(1)}^{0} {(2 i)}^{3}$

Paso 4.1.11

Eleva $2$ a la potencia de $2$ .

$1 + 6 i + 3 (4 i^{2}) + 1 {(1)}^{0} {(2 i)}^{3}$

Paso 4.1.12

Reescribe $i^{2}$ como $- 1$ .

$1 + 6 i + 3 (4 \cdot - 1) + 1 {(1)}^{0} {(2 i)}^{3}$

Paso 4.1.13

Multiplica $3 (4 \cdot - 1)$ .

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Paso 4.1.13.1

Multiplica $4$ por $- 1$ .

$1 + 6 i + 3 \cdot - 4 + 1 {(1)}^{0} {(2 i)}^{3}$

Paso 4.1.13.2

Multiplica $3$ por $- 4$ .

$1 + 6 i - 12 + 1 {(1)}^{0} {(2 i)}^{3}$

Paso 4.1.14

Multiplica $1$ por ${(1)}^{0}$ sumando los exponentes.

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Paso 4.1.14.1

Multiplica $1$ por ${(1)}^{0}$ .

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Paso 4.1.14.1.1

Eleva $1$ a la potencia de $1$ .

$1 + 6 i - 12 + 1^{1} {(1)}^{0} {(2 i)}^{3}$

Paso 4.1.14.1.2

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$1 + 6 i - 12 + 1^{1 + 0} {(2 i)}^{3}$

Paso 4.1.14.2

Suma $1$ y $0$ .

$1 + 6 i - 12 + 1^{1} {(2 i)}^{3}$

Paso 4.1.15

Simplifica $1^{1} {(2 i)}^{3}$ .

$1 + 6 i - 12 + {(2 i)}^{3}$

Paso 4.1.16

Aplica la regla del producto a $2 i$ .

$1 + 6 i - 12 + 2^{3} i^{3}$

Paso 4.1.17

Eleva $2$ a la potencia de $3$ .

$1 + 6 i - 12 + 8 i^{3}$

Paso 4.1.18

Factoriza $i^{2}$ .

$1 + 6 i - 12 + 8 (i^{2} \cdot i)$

Paso 4.1.19

Reescribe $i^{2}$ como $- 1$ .

$1 + 6 i - 12 + 8 (- 1 \cdot i)$

Paso 4.1.20

Reescribe $- 1 i$ como $- i$ .

$1 + 6 i - 12 + 8 (- i)$

Paso 4.1.21

Multiplica $- 1$ por $8$ .

$1 + 6 i - 12 - 8 i$

Paso 4.2

Simplifica mediante la adición de términos.

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Paso 4.2.1

Resta $12$ de $1$ .

$- 11 + 6 i - 8 i$

Paso 4.2.2

Resta $8 i$ de $6 i$ .

$- 11 - 2 i$