Matemática discreta Ejemplos

$- \frac{2}{3} x + \frac{y}{2} = \frac{1}{6}$ , $\frac{x}{6} - y = \frac{5}{6}$

Paso 1

Resuelve $y$ en $\frac{x}{6} - y = \frac{5}{6}$ .

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Paso 1.1

Resta $\frac{x}{6}$ de ambos lados de la ecuación.

$- y = \frac{5}{6} - \frac{x}{6}$

$- \frac{x \cdot 2}{3} + \frac{y}{2} = \frac{1}{6}$

Paso 1.2

Divide cada término en $- y = \frac{5}{6} - \frac{x}{6}$ por $- 1$ y simplifica.

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Paso 1.2.1

Divide cada término en $- y = \frac{5}{6} - \frac{x}{6}$ por $- 1$ .

$\frac{- y}{- 1} = \frac{\frac{5}{6}}{- 1} + \frac{- \frac{x}{6}}{- 1}$

$- \frac{x \cdot 2}{3} + \frac{y}{2} = \frac{1}{6}$

Paso 1.2.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 1.2.2.1

La división de dos valores negativos da como resultado un valor positivo.

$\frac{y}{1} = \frac{\frac{5}{6}}{- 1} + \frac{- \frac{x}{6}}{- 1}$

$- \frac{x \cdot 2}{3} + \frac{y}{2} = \frac{1}{6}$

Paso 1.2.2.2

Divide $y$ por $1$ .

$y = \frac{\frac{5}{6}}{- 1} + \frac{- \frac{x}{6}}{- 1}$

$- \frac{x \cdot 2}{3} + \frac{y}{2} = \frac{1}{6}$

$y = \frac{\frac{5}{6}}{- 1} + \frac{- \frac{x}{6}}{- 1}$

$- \frac{x \cdot 2}{3} + \frac{y}{2} = \frac{1}{6}$

Paso 1.2.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 1.2.3.1

Simplifica cada término.

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Paso 1.2.3.1.1

Mueve el negativo del denominador de $\frac{\frac{5}{6}}{- 1}$ .

$y = - 1 \cdot \frac{5}{6} + \frac{- \frac{x}{6}}{- 1}$

$- \frac{x \cdot 2}{3} + \frac{y}{2} = \frac{1}{6}$

Paso 1.2.3.1.2

Reescribe $- 1 \cdot \frac{5}{6}$ como $- \frac{5}{6}$ .

$y = - \frac{5}{6} + \frac{- \frac{x}{6}}{- 1}$

$- \frac{x \cdot 2}{3} + \frac{y}{2} = \frac{1}{6}$

Paso 1.2.3.1.3

La división de dos valores negativos da como resultado un valor positivo.

$y = - \frac{5}{6} + \frac{\frac{x}{6}}{1}$

$- \frac{x \cdot 2}{3} + \frac{y}{2} = \frac{1}{6}$

Paso 1.2.3.1.4

Divide $\frac{x}{6}$ por $1$ .

$y = - \frac{5}{6} + \frac{x}{6}$

$- \frac{x \cdot 2}{3} + \frac{y}{2} = \frac{1}{6}$

$y = - \frac{5}{6} + \frac{x}{6}$

$- \frac{x \cdot 2}{3} + \frac{y}{2} = \frac{1}{6}$

$y = - \frac{5}{6} + \frac{x}{6}$

$- \frac{x \cdot 2}{3} + \frac{y}{2} = \frac{1}{6}$

$y = - \frac{5}{6} + \frac{x}{6}$

$- \frac{x \cdot 2}{3} + \frac{y}{2} = \frac{1}{6}$

$y = - \frac{5}{6} + \frac{x}{6}$

$- \frac{x \cdot 2}{3} + \frac{y}{2} = \frac{1}{6}$

Paso 2

Reemplaza todos los casos de $y$ por $- \frac{5}{6} + \frac{x}{6}$ en cada ecuación.

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Paso 2.1

Reemplaza todos los casos de $y$ en $- \frac{x \cdot 2}{3} + \frac{y}{2} = \frac{1}{6}$ por $- \frac{5}{6} + \frac{x}{6}$ .

$- \frac{x \cdot 2}{3} + \frac{- \frac{5}{6} + \frac{x}{6}}{2} = \frac{1}{6}$

$y = - \frac{5}{6} + \frac{x}{6}$

Paso 2.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 2.2.1

Simplifica $- \frac{x \cdot 2}{3} + \frac{- \frac{5}{6} + \frac{x}{6}}{2}$ .

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Paso 2.2.1.1

Simplifica cada término.

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Paso 2.2.1.1.1

Mueve $2$ a la izquierda de $x$ .

$- \frac{2 \cdot x}{3} + \frac{- \frac{5}{6} + \frac{x}{6}}{2} = \frac{1}{6}$

$y = - \frac{5}{6} + \frac{x}{6}$

Paso 2.2.1.1.2

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$- \frac{2 x}{3} + \frac{\frac{- 5 + x}{6}}{2} = \frac{1}{6}$

$y = - \frac{5}{6} + \frac{x}{6}$

Paso 2.2.1.1.3

Multiplica el numerador por la recíproca del denominador.

$- \frac{2 x}{3} + \frac{- 5 + x}{6} \cdot \frac{1}{2} = \frac{1}{6}$

$y = - \frac{5}{6} + \frac{x}{6}$

Paso 2.2.1.1.4

Multiplica $\frac{- 5 + x}{6} \cdot \frac{1}{2}$ .

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Paso 2.2.1.1.4.1

Multiplica $\frac{- 5 + x}{6}$ por $\frac{1}{2}$ .

$- \frac{2 x}{3} + \frac{- 5 + x}{6 \cdot 2} = \frac{1}{6}$

$y = - \frac{5}{6} + \frac{x}{6}$

Paso 2.2.1.1.4.2

Multiplica $6$ por $2$ .

$- \frac{2 x}{3} + \frac{- 5 + x}{12} = \frac{1}{6}$

$y = - \frac{5}{6} + \frac{x}{6}$

$- \frac{2 x}{3} + \frac{- 5 + x}{12} = \frac{1}{6}$

$y = - \frac{5}{6} + \frac{x}{6}$

$- \frac{2 x}{3} + \frac{- 5 + x}{12} = \frac{1}{6}$

$y = - \frac{5}{6} + \frac{x}{6}$

Paso 2.2.1.2

Para escribir $- \frac{2 x}{3}$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{4}{4}$ .

$- \frac{2 x}{3} \cdot \frac{4}{4} + \frac{- 5 + x}{12} = \frac{1}{6}$

$y = - \frac{5}{6} + \frac{x}{6}$

Paso 2.2.1.3

Escribe cada expresión con un denominador común de $12$ , mediante la multiplicación de cada uno por un factor adecuado de $1$ .

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Paso 2.2.1.3.1

Multiplica $\frac{2 x}{3}$ por $\frac{4}{4}$ .

$- \frac{2 x \cdot 4}{3 \cdot 4} + \frac{- 5 + x}{12} = \frac{1}{6}$

$y = - \frac{5}{6} + \frac{x}{6}$

Paso 2.2.1.3.2

Multiplica $3$ por $4$ .

$- \frac{2 x \cdot 4}{12} + \frac{- 5 + x}{12} = \frac{1}{6}$

$y = - \frac{5}{6} + \frac{x}{6}$

$- \frac{2 x \cdot 4}{12} + \frac{- 5 + x}{12} = \frac{1}{6}$

$y = - \frac{5}{6} + \frac{x}{6}$

Paso 2.2.1.4

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{- 2 x \cdot 4 - 5 + x}{12} = \frac{1}{6}$

$y = - \frac{5}{6} + \frac{x}{6}$

Paso 2.2.1.5

Simplifica el numerador.

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Paso 2.2.1.5.1

Multiplica $4$ por $- 2$ .

$\frac{- 8 x - 5 + x}{12} = \frac{1}{6}$

$y = - \frac{5}{6} + \frac{x}{6}$

Paso 2.2.1.5.2

Suma $- 8 x$ y $x$ .

$\frac{- 7 x - 5}{12} = \frac{1}{6}$

$y = - \frac{5}{6} + \frac{x}{6}$

$\frac{- 7 x - 5}{12} = \frac{1}{6}$

$y = - \frac{5}{6} + \frac{x}{6}$

Paso 2.2.1.6

Simplifica con la obtención del factor común.

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Paso 2.2.1.6.1

Factoriza $- 1$ de $- 7 x$ .

$\frac{- (7 x) - 5}{12} = \frac{1}{6}$

$y = - \frac{5}{6} + \frac{x}{6}$

Paso 2.2.1.6.2

Reescribe $- 5$ como $- 1 (5)$ .

$\frac{- (7 x) - 1 \cdot 5}{12} = \frac{1}{6}$

$y = - \frac{5}{6} + \frac{x}{6}$

Paso 2.2.1.6.3

Factoriza $- 1$ de $- (7 x) - 1 (5)$ .

$\frac{- (7 x + 5)}{12} = \frac{1}{6}$

$y = - \frac{5}{6} + \frac{x}{6}$

Paso 2.2.1.6.4

Simplifica la expresión.

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Paso 2.2.1.6.4.1

Reescribe $- (7 x + 5)$ como $- 1 (7 x + 5)$ .

$\frac{- 1 (7 x + 5)}{12} = \frac{1}{6}$

$y = - \frac{5}{6} + \frac{x}{6}$

Paso 2.2.1.6.4.2

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$- \frac{7 x + 5}{12} = \frac{1}{6}$

$y = - \frac{5}{6} + \frac{x}{6}$

$- \frac{7 x + 5}{12} = \frac{1}{6}$

$y = - \frac{5}{6} + \frac{x}{6}$

$- \frac{7 x + 5}{12} = \frac{1}{6}$

$y = - \frac{5}{6} + \frac{x}{6}$

$- \frac{7 x + 5}{12} = \frac{1}{6}$

$y = - \frac{5}{6} + \frac{x}{6}$

$- \frac{7 x + 5}{12} = \frac{1}{6}$

$y = - \frac{5}{6} + \frac{x}{6}$

$- \frac{7 x + 5}{12} = \frac{1}{6}$

$y = - \frac{5}{6} + \frac{x}{6}$

Paso 3

Resuelve $x$ en $- \frac{7 x + 5}{12} = \frac{1}{6}$ .

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Paso 3.1

Multiplica ambos lados de la ecuación por $- 12$ .

$- 12 (- \frac{7 x + 5}{12}) = - 12 (\frac{1}{6})$

$y = - \frac{5}{6} + \frac{x}{6}$

Paso 3.2

Simplifica ambos lados de la ecuación.

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Paso 3.2.1

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 3.2.1.1

Simplifica $- 12 (- \frac{7 x + 5}{12})$ .

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Paso 3.2.1.1.1

Cancela el factor común de $12$ .

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Paso 3.2.1.1.1.1

Mueve el signo menos inicial en $- \frac{7 x + 5}{12}$ al numerador.

$- 12 \frac{- (7 x + 5)}{12} = - 12 (\frac{1}{6})$

$y = - \frac{5}{6} + \frac{x}{6}$

Paso 3.2.1.1.1.2

Factoriza $12$ de $- 12$ .

$12 (- 1) (\frac{- (7 x + 5)}{12}) = - 12 (\frac{1}{6})$

$y = - \frac{5}{6} + \frac{x}{6}$

Paso 3.2.1.1.1.3

Cancela el factor común.

$12 \cdot (- 1 \frac{- (7 x + 5)}{12}) = - 12 (\frac{1}{6})$

$y = - \frac{5}{6} + \frac{x}{6}$

Paso 3.2.1.1.1.4

Reescribe la expresión.

$7 x + 5 = - 12 (\frac{1}{6})$

$y = - \frac{5}{6} + \frac{x}{6}$

$7 x + 5 = - 12 (\frac{1}{6})$

$y = - \frac{5}{6} + \frac{x}{6}$

Paso 3.2.1.1.2

Multiplica.

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Paso 3.2.1.1.2.1

Multiplica $- 1$ por $- 1$ .

$1 (7 x + 5) = - 12 (\frac{1}{6})$

$y = - \frac{5}{6} + \frac{x}{6}$

Paso 3.2.1.1.2.2

Multiplica $7 x + 5$ por $1$ .

$7 x + 5 = - 12 (\frac{1}{6})$

$y = - \frac{5}{6} + \frac{x}{6}$

$7 x + 5 = - 12 (\frac{1}{6})$

$y = - \frac{5}{6} + \frac{x}{6}$

$7 x + 5 = - 12 (\frac{1}{6})$

$y = - \frac{5}{6} + \frac{x}{6}$

$7 x + 5 = - 12 (\frac{1}{6})$

$y = - \frac{5}{6} + \frac{x}{6}$

Paso 3.2.2

Simplifica el lado derecho.

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Paso 3.2.2.1

Cancela el factor común de $6$ .

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Paso 3.2.2.1.1

Factoriza $6$ de $- 12$ .

$7 x + 5 = 6 (- 2) (\frac{1}{6})$

$y = - \frac{5}{6} + \frac{x}{6}$

Paso 3.2.2.1.2

Cancela el factor común.

$7 x + 5 = 6 \cdot (- 2 (\frac{1}{6}))$

$y = - \frac{5}{6} + \frac{x}{6}$

Paso 3.2.2.1.3

Reescribe la expresión.

$7 x + 5 = - 2$

$y = - \frac{5}{6} + \frac{x}{6}$

$7 x + 5 = - 2$

$y = - \frac{5}{6} + \frac{x}{6}$

$7 x + 5 = - 2$

$y = - \frac{5}{6} + \frac{x}{6}$

$7 x + 5 = - 2$

$y = - \frac{5}{6} + \frac{x}{6}$

Paso 3.3

Mueve todos los términos que no contengan $x$ al lado derecho de la ecuación.

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Paso 3.3.1

Resta $5$ de ambos lados de la ecuación.

$7 x = - 2 - 5$

$y = - \frac{5}{6} + \frac{x}{6}$

Paso 3.3.2

Resta $5$ de $- 2$ .

$7 x = - 7$

$y = - \frac{5}{6} + \frac{x}{6}$

$7 x = - 7$

$y = - \frac{5}{6} + \frac{x}{6}$

Paso 3.4

Divide cada término en $7 x = - 7$ por $7$ y simplifica.

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Paso 3.4.1

Divide cada término en $7 x = - 7$ por $7$ .

$\frac{7 x}{7} = \frac{- 7}{7}$

$y = - \frac{5}{6} + \frac{x}{6}$

Paso 3.4.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 3.4.2.1

Cancela el factor común de $7$ .

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Paso 3.4.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{7 x}{7} = \frac{- 7}{7}$

$y = - \frac{5}{6} + \frac{x}{6}$

Paso 3.4.2.1.2

Divide $x$ por $1$ .

$x = \frac{- 7}{7}$

$y = - \frac{5}{6} + \frac{x}{6}$

$x = \frac{- 7}{7}$

$y = - \frac{5}{6} + \frac{x}{6}$

$x = \frac{- 7}{7}$

$y = - \frac{5}{6} + \frac{x}{6}$

Paso 3.4.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 3.4.3.1

Divide $- 7$ por $7$ .

$x = - 1$

$y = - \frac{5}{6} + \frac{x}{6}$

$x = - 1$

$y = - \frac{5}{6} + \frac{x}{6}$

$x = - 1$

$y = - \frac{5}{6} + \frac{x}{6}$

$x = - 1$

$y = - \frac{5}{6} + \frac{x}{6}$

Paso 4

Reemplaza todos los casos de $x$ por $- 1$ en cada ecuación.

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Paso 4.1

Reemplaza todos los casos de $x$ en $y = - \frac{5}{6} + \frac{x}{6}$ por $- 1$ .

$y = - \frac{5}{6} + \frac{- 1}{6}$

$x = - 1$

Paso 4.2

Simplifica el lado derecho.

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Paso 4.2.1

Simplifica $- \frac{5}{6} + \frac{- 1}{6}$ .

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Paso 4.2.1.1

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$y = \frac{- 5 - 1}{6}$

$x = - 1$

Paso 4.2.1.2

Simplifica la expresión.

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Paso 4.2.1.2.1

Resta $1$ de $- 5$ .

$y = \frac{- 6}{6}$

$x = - 1$

Paso 4.2.1.2.2

Divide $- 6$ por $6$ .

$y = - 1$

$x = - 1$

$y = - 1$

$x = - 1$

$y = - 1$

$x = - 1$

$y = - 1$

$x = - 1$

$y = - 1$

$x = - 1$

Paso 5

La solución del sistema es el conjunto completo de pares ordenados que son soluciones válidas.

$(- 1, - 1)$

Paso 6

El resultado puede mostrarse de distintas formas.

Forma de punto:

$(- 1, - 1)$

Forma de la ecuación:

$x = - 1, y = - 1$

Paso 7