Matemática discreta Ejemplos

$x y^{2} = 10^{11}$ , $\frac{x^{3}}{y} = 10^{19}$

Paso 1

Divide cada término en $x y^{2} = 10^{11}$ por $y^{2}$ y simplifica.

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Paso 1.1

Divide cada término en $x y^{2} = 10^{11}$ por $y^{2}$ .

$\frac{x y^{2}}{y^{2}} = \frac{10^{11}}{y^{2}}$

$\frac{x^{3}}{y} = 10^{19}$

Paso 1.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 1.2.1

Cancela el factor común de $y^{2}$ .

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Paso 1.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{x y^{2}}{y^{2}} = \frac{10^{11}}{y^{2}}$

$\frac{x^{3}}{y} = 10^{19}$

Paso 1.2.1.2

Divide $x$ por $1$ .

$x = \frac{10^{11}}{y^{2}}$

$\frac{x^{3}}{y} = 10^{19}$

$x = \frac{10^{11}}{y^{2}}$

$\frac{x^{3}}{y} = 10^{19}$

$x = \frac{10^{11}}{y^{2}}$

$\frac{x^{3}}{y} = 10^{19}$

Paso 1.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 1.3.1

Eleva $10$ a la potencia de $11$ .

$x = \frac{100000000000}{y^{2}}$

$\frac{x^{3}}{y} = 10^{19}$

$x = \frac{100000000000}{y^{2}}$

$\frac{x^{3}}{y} = 10^{19}$

$x = \frac{100000000000}{y^{2}}$

$\frac{x^{3}}{y} = 10^{19}$

Paso 2

Reemplaza todos los casos de $x$ por $\frac{100000000000}{y^{2}}$ en cada ecuación.

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Paso 2.1

Reemplaza todos los casos de $x$ en $\frac{x^{3}}{y} = 10^{19}$ por $\frac{100000000000}{y^{2}}$ .

$\frac{{(\frac{100000000000}{y^{2}})}^{3}}{y} = 10^{19}$

$x = \frac{100000000000}{y^{2}}$

Paso 2.2

Simplifica $\frac{{(\frac{100000000000}{y^{2}})}^{3}}{y} = 10^{19}$ .

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Paso 2.2.1

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 2.2.1.1

Simplifica $\frac{{(\frac{100000000000}{y^{2}})}^{3}}{y}$ .

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Paso 2.2.1.1.1

Simplifica el numerador.

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Paso 2.2.1.1.1.1

Aplica la regla del producto a $\frac{100000000000}{y^{2}}$ .

$\frac{\frac{100000000000^{3}}{{(y^{2})}^{3}}}{y} = 10^{19}$

$x = \frac{100000000000}{y^{2}}$

Paso 2.2.1.1.1.2

Multiplica los exponentes en ${(y^{2})}^{3}$ .

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Paso 2.2.1.1.1.2.1

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{\frac{100000000000^{3}}{y^{2 \cdot 3}}}{y} = 10^{19}$

$x = \frac{100000000000}{y^{2}}$

Paso 2.2.1.1.1.2.2

Multiplica $2$ por $3$ .

$\frac{\frac{100000000000^{3}}{y^{6}}}{y} = 10^{19}$

$x = \frac{100000000000}{y^{2}}$

$\frac{\frac{100000000000^{3}}{y^{6}}}{y} = 10^{19}$

$x = \frac{100000000000}{y^{2}}$

$\frac{\frac{100000000000^{3}}{y^{6}}}{y} = 10^{19}$

$x = \frac{100000000000}{y^{2}}$

Paso 2.2.1.1.2

Multiplica el numerador por la recíproca del denominador.

$\frac{100000000000^{3}}{y^{6}} \cdot \frac{1}{y} = 10^{19}$

$x = \frac{100000000000}{y^{2}}$

Paso 2.2.1.1.3

Combinar.

$\frac{100000000000^{3} \cdot 1}{y^{6} y} = 10^{19}$

$x = \frac{100000000000}{y^{2}}$

Paso 2.2.1.1.4

Multiplica $y^{6}$ por $y$ sumando los exponentes.

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Paso 2.2.1.1.4.1

Multiplica $y^{6}$ por $y$ .

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Paso 2.2.1.1.4.1.1

Eleva $y$ a la potencia de $1$ .

$\frac{100000000000^{3} \cdot 1}{y^{6} y} = 10^{19}$

$x = \frac{100000000000}{y^{2}}$

Paso 2.2.1.1.4.1.2

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$\frac{100000000000^{3} \cdot 1}{y^{6 + 1}} = 10^{19}$

$x = \frac{100000000000}{y^{2}}$

$\frac{100000000000^{3} \cdot 1}{y^{6 + 1}} = 10^{19}$

$x = \frac{100000000000}{y^{2}}$

Paso 2.2.1.1.4.2

Suma $6$ y $1$ .

$\frac{100000000000^{3} \cdot 1}{y^{7}} = 10^{19}$

$x = \frac{100000000000}{y^{2}}$

$\frac{100000000000^{3} \cdot 1}{y^{7}} = 10^{19}$

$x = \frac{100000000000}{y^{2}}$

Paso 2.2.1.1.5

Multiplica $100000000000^{3}$ por $1$ .

$\frac{100000000000^{3}}{y^{7}} = 10^{19}$

$x = \frac{100000000000}{y^{2}}$

$\frac{100000000000^{3}}{y^{7}} = 10^{19}$

$x = \frac{100000000000}{y^{2}}$

$\frac{100000000000^{3}}{y^{7}} = 10^{19}$

$x = \frac{100000000000}{y^{2}}$

Paso 2.2.2

Simplifica el lado derecho.

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Paso 2.2.2.1

Eleva $10$ a la potencia de $19$ .

$\frac{100000000000^{3}}{y^{7}} = 10000000000000000000$

$x = \frac{100000000000}{y^{2}}$

$\frac{100000000000^{3}}{y^{7}} = 10000000000000000000$

$x = \frac{100000000000}{y^{2}}$

$\frac{100000000000^{3}}{y^{7}} = 10000000000000000000$

$x = \frac{100000000000}{y^{2}}$

$\frac{100000000000^{3}}{y^{7}} = 10000000000000000000$

$x = \frac{100000000000}{y^{2}}$

Paso 3

Resuelve $y$ en $\frac{100000000000^{3}}{y^{7}} = 10000000000000000000$ .

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Paso 3.1

Obtén el mcd de los términos en la ecuación.

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Paso 3.1.1

La obtención del mcd de una lista de valores es lo mismo que obtener el MCM de los denominadores de esos valores.

$y^{7}, 1$

$x = \frac{100000000000}{y^{2}}$

Paso 3.1.2

El mínimo común múltiplo (MCM) de una y cualquier expresión es la expresión.

$y^{7}$

$x = \frac{100000000000}{y^{2}}$

$y^{7}$

$x = \frac{100000000000}{y^{2}}$

Paso 3.2

Multiplica cada término en $\frac{100000000000^{3}}{y^{7}} = 10000000000000000000$ por $y^{7}$ para eliminar las fracciones.

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Paso 3.2.1

Multiplica cada término en $\frac{100000000000^{3}}{y^{7}} = 10000000000000000000$ por $y^{7}$ .

$\frac{100000000000^{3}}{y^{7}} \cdot y^{7} = 10000000000000000000 y^{7}$

$x = \frac{100000000000}{y^{2}}$

Paso 3.2.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 3.2.2.1

Cancela el factor común de $y^{7}$ .

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Paso 3.2.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{100000000000^{3}}{y^{7}} \cdot y^{7} = 10000000000000000000 y^{7}$

$x = \frac{100000000000}{y^{2}}$

Paso 3.2.2.1.2

Reescribe la expresión.

$100000000000^{3} = 10000000000000000000 y^{7}$

$x = \frac{100000000000}{y^{2}}$

$100000000000^{3} = 10000000000000000000 y^{7}$

$x = \frac{100000000000}{y^{2}}$

$100000000000^{3} = 10000000000000000000 y^{7}$

$x = \frac{100000000000}{y^{2}}$

$100000000000^{3} = 10000000000000000000 y^{7}$

$x = \frac{100000000000}{y^{2}}$

Paso 3.3

Resuelve la ecuación.

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Paso 3.3.1

Reescribe la ecuación como $10000000000000000000 y^{7} = 100000000000^{3}$ .

$10000000000000000000 y^{7} = 100000000000^{3}$

$x = \frac{100000000000}{y^{2}}$

Paso 3.3.2

Divide cada término en $10000000000000000000 y^{7} = 100000000000^{3}$ por $10000000000000000000$ y simplifica.

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Paso 3.3.2.1

Divide cada término en $10000000000000000000 y^{7} = 100000000000^{3}$ por $10000000000000000000$ .

$\frac{10000000000000000000 y^{7}}{10000000000000000000} = \frac{100000000000^{3}}{10000000000000000000}$

$x = \frac{100000000000}{y^{2}}$

Paso 3.3.2.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 3.3.2.2.1

Cancela el factor común de $10000000000000000000$ .

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Paso 3.3.2.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{10000000000000000000 y^{7}}{10000000000000000000} = \frac{100000000000^{3}}{10000000000000000000}$

$x = \frac{100000000000}{y^{2}}$

Paso 3.3.2.2.1.2

Divide $y^{7}$ por $1$ .

$y^{7} = \frac{100000000000^{3}}{10000000000000000000}$

$x = \frac{100000000000}{y^{2}}$

$y^{7} = \frac{100000000000^{3}}{10000000000000000000}$

$x = \frac{100000000000}{y^{2}}$

$y^{7} = \frac{100000000000^{3}}{10000000000000000000}$

$x = \frac{100000000000}{y^{2}}$

$y^{7} = \frac{100000000000^{3}}{10000000000000000000}$

$x = \frac{100000000000}{y^{2}}$

Paso 3.3.3

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$y = \sqrt[7]{\frac{100000000000^{3}}{10000000000000000000}}$

$x = \frac{100000000000}{y^{2}}$

Paso 3.3.4

Simplifica $\sqrt[7]{\frac{100000000000^{3}}{10000000000000000000}}$ .

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Paso 3.3.4.1

Reescribe $\sqrt[7]{\frac{100000000000^{3}}{10000000000000000000}}$ como $\frac{\sqrt[7]{100000000000^{3}}}{\sqrt[7]{10000000000000000000}}$ .

$y = \frac{\sqrt[7]{100000000000^{3}}}{\sqrt[7]{10000000000000000000}}$

$x = \frac{100000000000}{y^{2}}$

Paso 3.3.4.2

Simplifica el denominador.

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Paso 3.3.4.2.1

Reescribe $10000000000000000000$ como $100^{7} \cdot 100000$ .

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Paso 3.3.4.2.1.1

Factoriza $100000000000000$ de $10000000000000000000$ .

$y = \frac{\sqrt[7]{100000000000^{3}}}{\sqrt[7]{100000000000000 (100000)}}$

$x = \frac{100000000000}{y^{2}}$

Paso 3.3.4.2.1.2

Reescribe $100000000000000$ como $100^{7}$ .

$y = \frac{\sqrt[7]{100000000000^{3}}}{\sqrt[7]{100^{7} \cdot 100000}}$

$x = \frac{100000000000}{y^{2}}$

$y = \frac{\sqrt[7]{100000000000^{3}}}{\sqrt[7]{100^{7} \cdot 100000}}$

$x = \frac{100000000000}{y^{2}}$

Paso 3.3.4.2.2

Retira los términos de abajo del radical.

$y = \frac{\sqrt[7]{100000000000^{3}}}{100 \sqrt[7]{100000}}$

$x = \frac{100000000000}{y^{2}}$

$y = \frac{\sqrt[7]{100000000000^{3}}}{100 \sqrt[7]{100000}}$

$x = \frac{100000000000}{y^{2}}$

Paso 3.3.4.3

Multiplica $\frac{\sqrt[7]{100000000000^{3}}}{100 \sqrt[7]{100000}}$ por $\frac{{\sqrt[7]{100000}}^{6}}{{\sqrt[7]{100000}}^{6}}$ .

$y = \frac{\sqrt[7]{100000000000^{3}}}{100 \sqrt[7]{100000}} \cdot \frac{{\sqrt[7]{100000}}^{6}}{{\sqrt[7]{100000}}^{6}}$

$x = \frac{100000000000}{y^{2}}$

Paso 3.3.4.4

Combina y simplifica el denominador.

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Paso 3.3.4.4.1

Multiplica $\frac{\sqrt[7]{100000000000^{3}}}{100 \sqrt[7]{100000}}$ por $\frac{{\sqrt[7]{100000}}^{6}}{{\sqrt[7]{100000}}^{6}}$ .

$y = \frac{\sqrt[7]{100000000000^{3}} {\sqrt[7]{100000}}^{6}}{100 \sqrt[7]{100000} {\sqrt[7]{100000}}^{6}}$

$x = \frac{100000000000}{y^{2}}$

Paso 3.3.4.4.2

Mueve $\sqrt[7]{100000}$ .

$y = \frac{\sqrt[7]{100000000000^{3}} {\sqrt[7]{100000}}^{6}}{100 (\sqrt[7]{100000} {\sqrt[7]{100000}}^{6})}$

$x = \frac{100000000000}{y^{2}}$

Paso 3.3.4.4.3

Eleva $\sqrt[7]{100000}$ a la potencia de $1$ .

$y = \frac{\sqrt[7]{100000000000^{3}} {\sqrt[7]{100000}}^{6}}{100 (\sqrt[7]{100000} {\sqrt[7]{100000}}^{6})}$

$x = \frac{100000000000}{y^{2}}$

Paso 3.3.4.4.4

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$y = \frac{\sqrt[7]{100000000000^{3}} {\sqrt[7]{100000}}^{6}}{100 {\sqrt[7]{100000}}^{1 + 6}}$

$x = \frac{100000000000}{y^{2}}$

Paso 3.3.4.4.5

Suma $1$ y $6$ .

$y = \frac{\sqrt[7]{100000000000^{3}} {\sqrt[7]{100000}}^{6}}{100 {\sqrt[7]{100000}}^{7}}$

$x = \frac{100000000000}{y^{2}}$

Paso 3.3.4.4.6

Reescribe ${\sqrt[7]{100000}}^{7}$ como $100000$ .

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Paso 3.3.4.4.6.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt[7]{100000}$ como $100000^{\frac{1}{7}}$ .

$y = \frac{\sqrt[7]{100000000000^{3}} {\sqrt[7]{100000}}^{6}}{100 {(100000^{\frac{1}{7}})}^{7}}$

$x = \frac{100000000000}{y^{2}}$

Paso 3.3.4.4.6.2

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$y = \frac{\sqrt[7]{100000000000^{3}} {\sqrt[7]{100000}}^{6}}{100 \cdot 100000^{\frac{1}{7} \cdot 7}}$

$x = \frac{100000000000}{y^{2}}$

Paso 3.3.4.4.6.3

Combina $\frac{1}{7}$ y $7$ .

$y = \frac{\sqrt[7]{100000000000^{3}} {\sqrt[7]{100000}}^{6}}{100 \cdot 100000^{\frac{7}{7}}}$

$x = \frac{100000000000}{y^{2}}$

Paso 3.3.4.4.6.4

Cancela el factor común de $7$ .

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Paso 3.3.4.4.6.4.1

Cancela el factor común.

$y = \frac{\sqrt[7]{100000000000^{3}} {\sqrt[7]{100000}}^{6}}{100 \cdot 100000^{\frac{7}{7}}}$

$x = \frac{100000000000}{y^{2}}$

Paso 3.3.4.4.6.4.2

Reescribe la expresión.

$y = \frac{\sqrt[7]{100000000000^{3}} {\sqrt[7]{100000}}^{6}}{100 \cdot 100000}$

$x = \frac{100000000000}{y^{2}}$

$y = \frac{\sqrt[7]{100000000000^{3}} {\sqrt[7]{100000}}^{6}}{100 \cdot 100000}$

$x = \frac{100000000000}{y^{2}}$

Paso 3.3.4.4.6.5

Evalúa el exponente.

$y = \frac{\sqrt[7]{100000000000^{3}} {\sqrt[7]{100000}}^{6}}{100 \cdot 100000}$

$x = \frac{100000000000}{y^{2}}$

$y = \frac{\sqrt[7]{100000000000^{3}} {\sqrt[7]{100000}}^{6}}{100 \cdot 100000}$

$x = \frac{100000000000}{y^{2}}$

$y = \frac{\sqrt[7]{100000000000^{3}} {\sqrt[7]{100000}}^{6}}{100 \cdot 100000}$

$x = \frac{100000000000}{y^{2}}$

Paso 3.3.4.5

Reescribe ${\sqrt[7]{100000}}^{6}$ como $\sqrt[7]{100000^{6}}$ .

$y = \frac{\sqrt[7]{100000000000^{3}} \sqrt[7]{100000^{6}}}{100 \cdot 100000}$

$x = \frac{100000000000}{y^{2}}$

Paso 3.3.4.6

Multiplica $100$ por $100000$ .

$y = \frac{\sqrt[7]{100000000000^{3}} \sqrt[7]{100000^{6}}}{10000000}$

$x = \frac{100000000000}{y^{2}}$

Paso 3.3.4.7

Simplifica el numerador.

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Paso 3.3.4.7.1

Combina con la regla del producto para radicales.

$y = \frac{\sqrt[7]{100000000000^{3} \cdot 100000^{6}}}{10000000}$

$x = \frac{100000000000}{y^{2}}$

Paso 3.3.4.7.2

Reescribe $100000000000$ como $10^{11}$ .

$y = \frac{\sqrt[7]{{(10^{11})}^{3} \cdot 100000^{6}}}{10000000}$

$x = \frac{100000000000}{y^{2}}$

Paso 3.3.4.7.3

Multiplica los exponentes en ${(10^{11})}^{3}$ .

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Paso 3.3.4.7.3.1

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$y = \frac{\sqrt[7]{10^{11 \cdot 3} \cdot 100000^{6}}}{10000000}$

$x = \frac{100000000000}{y^{2}}$

Paso 3.3.4.7.3.2

Multiplica $11$ por $3$ .

$y = \frac{\sqrt[7]{10^{33} \cdot 100000^{6}}}{10000000}$

$x = \frac{100000000000}{y^{2}}$

$y = \frac{\sqrt[7]{10^{33} \cdot 100000^{6}}}{10000000}$

$x = \frac{100000000000}{y^{2}}$

Paso 3.3.4.7.4

Reescribe $100000$ como $10^{5}$ .

$y = \frac{\sqrt[7]{10^{33} \cdot {(10^{5})}^{6}}}{10000000}$

$x = \frac{100000000000}{y^{2}}$

Paso 3.3.4.7.5

Multiplica los exponentes en ${(10^{5})}^{6}$ .

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Paso 3.3.4.7.5.1

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$y = \frac{\sqrt[7]{10^{33} \cdot 10^{5 \cdot 6}}}{10000000}$

$x = \frac{100000000000}{y^{2}}$

Paso 3.3.4.7.5.2

Multiplica $5$ por $6$ .

$y = \frac{\sqrt[7]{10^{33} \cdot 10^{30}}}{10000000}$

$x = \frac{100000000000}{y^{2}}$

$y = \frac{\sqrt[7]{10^{33} \cdot 10^{30}}}{10000000}$

$x = \frac{100000000000}{y^{2}}$

Paso 3.3.4.7.6

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$y = \frac{\sqrt[7]{10^{33 + 30}}}{10000000}$

$x = \frac{100000000000}{y^{2}}$

Paso 3.3.4.7.7

Suma $33$ y $30$ .

$y = \frac{\sqrt[7]{10^{63}}}{10000000}$

$x = \frac{100000000000}{y^{2}}$

$y = \frac{\sqrt[7]{10^{63}}}{10000000}$

$x = \frac{100000000000}{y^{2}}$

Paso 3.3.4.8

Simplifica el numerador.

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Paso 3.3.4.8.1

Reescribe $10^{63}$ como ${(10^{9})}^{7}$ .

$y = \frac{\sqrt[7]{{(10^{9})}^{7}}}{10000000}$

$x = \frac{100000000000}{y^{2}}$

Paso 3.3.4.8.2

Extrae los términos de abajo del radical, bajo el supuesto de que tienes números reales.

$y = \frac{10^{9}}{10000000}$

$x = \frac{100000000000}{y^{2}}$

Paso 3.3.4.8.3

Eleva $10$ a la potencia de $9$ .

$y = \frac{1000000000}{10000000}$

$x = \frac{100000000000}{y^{2}}$

$y = \frac{1000000000}{10000000}$

$x = \frac{100000000000}{y^{2}}$

Paso 3.3.4.9

Divide $1000000000$ por $10000000$ .

$y = 100$

$x = \frac{100000000000}{y^{2}}$

$y = 100$

$x = \frac{100000000000}{y^{2}}$

$y = 100$

$x = \frac{100000000000}{y^{2}}$

$y = 100$

$x = \frac{100000000000}{y^{2}}$

Paso 4

Reemplaza todos los casos de $y$ por $100$ en cada ecuación.

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Paso 4.1

Reemplaza todos los casos de $y$ en $x = \frac{100000000000}{y^{2}}$ por $100$ .

$x = \frac{100000000000}{{(100)}^{2}}$

$y = 100$

Paso 4.2

Simplifica el lado derecho.

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Paso 4.2.1

Simplifica $\frac{100000000000}{{(100)}^{2}}$ .

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Paso 4.2.1.1

Eleva $100$ a la potencia de $2$ .

$x = \frac{100000000000}{10000}$

$y = 100$

Paso 4.2.1.2

Divide $100000000000$ por $10000$ .

$x = 10000000$

$y = 100$

$x = 10000000$

$y = 100$

$x = 10000000$

$y = 100$

$x = 10000000$

$y = 100$

Paso 5

La solución del sistema es el conjunto completo de pares ordenados que son soluciones válidas.

$(10000000, 100)$

Paso 6

El resultado puede mostrarse de distintas formas.

Forma de punto:

$(10000000, 100)$

Forma de la ecuación:

$x = 10000000, y = 100$

Paso 7