Matemática discreta Ejemplos

$x^{2} + y^{2} = 193$ , $x - y = 5$

Paso 1

Suma $y$ a ambos lados de la ecuación.

$x = 5 + y$

$x^{2} + y^{2} = 193$

Paso 2

Reemplaza todos los casos de $x$ por $5 + y$ en cada ecuación.

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Paso 2.1

Reemplaza todos los casos de $x$ en $x^{2} + y^{2} = 193$ por $5 + y$ .

${(5 + y)}^{2} + y^{2} = 193$

$x = 5 + y$

Paso 2.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 2.2.1

Simplifica ${(5 + y)}^{2} + y^{2}$ .

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Paso 2.2.1.1

Simplifica cada término.

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Paso 2.2.1.1.1

Reescribe ${(5 + y)}^{2}$ como $(5 + y) (5 + y)$ .

$(5 + y) (5 + y) + y^{2} = 193$

$x = 5 + y$

Paso 2.2.1.1.2

Expande $(5 + y) (5 + y)$ con el método PEIU (primero, exterior, interior, ultimo).

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Paso 2.2.1.1.2.1

Aplica la propiedad distributiva.

$5 (5 + y) + y (5 + y) + y^{2} = 193$

$x = 5 + y$

Paso 2.2.1.1.2.2

Aplica la propiedad distributiva.

$5 \cdot 5 + 5 y + y (5 + y) + y^{2} = 193$

$x = 5 + y$

Paso 2.2.1.1.2.3

Aplica la propiedad distributiva.

$5 \cdot 5 + 5 y + y \cdot 5 + y \cdot y + y^{2} = 193$

$x = 5 + y$

$5 \cdot 5 + 5 y + y \cdot 5 + y \cdot y + y^{2} = 193$

$x = 5 + y$

Paso 2.2.1.1.3

Simplifica y combina los términos similares.

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Paso 2.2.1.1.3.1

Simplifica cada término.

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Paso 2.2.1.1.3.1.1

Multiplica $5$ por $5$ .

$25 + 5 y + y \cdot 5 + y \cdot y + y^{2} = 193$

$x = 5 + y$

Paso 2.2.1.1.3.1.2

Mueve $5$ a la izquierda de $y$ .

$25 + 5 y + 5 \cdot y + y \cdot y + y^{2} = 193$

$x = 5 + y$

Paso 2.2.1.1.3.1.3

Multiplica $y$ por $y$ .

$25 + 5 y + 5 y + y^{2} + y^{2} = 193$

$x = 5 + y$

$25 + 5 y + 5 y + y^{2} + y^{2} = 193$

$x = 5 + y$

Paso 2.2.1.1.3.2

Suma $5 y$ y $5 y$ .

$25 + 10 y + y^{2} + y^{2} = 193$

$x = 5 + y$

$25 + 10 y + y^{2} + y^{2} = 193$

$x = 5 + y$

$25 + 10 y + y^{2} + y^{2} = 193$

$x = 5 + y$

Paso 2.2.1.2

Suma $y^{2}$ y $y^{2}$ .

$25 + 10 y + 2 y^{2} = 193$

$x = 5 + y$

$25 + 10 y + 2 y^{2} = 193$

$x = 5 + y$

$25 + 10 y + 2 y^{2} = 193$

$x = 5 + y$

$25 + 10 y + 2 y^{2} = 193$

$x = 5 + y$

Paso 3

Resuelve $y$ en $25 + 10 y + 2 y^{2} = 193$ .

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Paso 3.1

Resta $193$ de ambos lados de la ecuación.

$25 + 10 y + 2 y^{2} - 193 = 0$

$x = 5 + y$

Paso 3.2

Resta $193$ de $25$ .

$10 y + 2 y^{2} - 168 = 0$

$x = 5 + y$

Paso 3.3

Factoriza el lado izquierdo de la ecuación.

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Paso 3.3.1

Factoriza $2$ de $10 y + 2 y^{2} - 168$ .

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Paso 3.3.1.1

Factoriza $2$ de $10 y$ .

$2 (5 y) + 2 y^{2} - 168 = 0$

$x = 5 + y$

Paso 3.3.1.2

Factoriza $2$ de $2 y^{2}$ .

$2 (5 y) + 2 (y^{2}) - 168 = 0$

$x = 5 + y$

Paso 3.3.1.3

Factoriza $2$ de $- 168$ .

$2 (5 y) + 2 y^{2} + 2 \cdot - 84 = 0$

$x = 5 + y$

Paso 3.3.1.4

Factoriza $2$ de $2 (5 y) + 2 y^{2}$ .

$2 (5 y + y^{2}) + 2 \cdot - 84 = 0$

$x = 5 + y$

Paso 3.3.1.5

Factoriza $2$ de $2 (5 y + y^{2}) + 2 \cdot - 84$ .

$2 (5 y + y^{2} - 84) = 0$

$x = 5 + y$

$2 (5 y + y^{2} - 84) = 0$

$x = 5 + y$

Paso 3.3.2

Sea $u = y$ . Sustituye $u$ por todos los casos de $y$ .

$2 (5 u + u^{2} - 84) = 0$

$x = 5 + y$

Paso 3.3.3

Factoriza $5 u + u^{2} - 84$ con el método AC.

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Paso 3.3.3.1

Considera la forma $x^{2} + b x + c$ . Encuentra un par de números enteros cuyo producto sea $c$ y cuya suma sea $b$ . En este caso, cuyo producto es $- 84$ y cuya suma es $5$ .

$- 7, 12$

$x = 5 + y$

Paso 3.3.3.2

Escribe la forma factorizada mediante estos números enteros.

$2 ((u - 7) (u + 12)) = 0$

$x = 5 + y$

$2 ((u - 7) (u + 12)) = 0$

$x = 5 + y$

Paso 3.3.4

Factoriza.

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Paso 3.3.4.1

Reemplaza todos los casos de $u$ con $y$ .

$2 ((y - 7) (y + 12)) = 0$

$x = 5 + y$

Paso 3.3.4.2

Elimina los paréntesis innecesarios.

$2 (y - 7) (y + 12) = 0$

$x = 5 + y$

$2 (y - 7) (y + 12) = 0$

$x = 5 + y$

$2 (y - 7) (y + 12) = 0$

$x = 5 + y$

Paso 3.4

Si cualquier factor individual en el lado izquierdo de la ecuación es igual a $0$ , la expresión completa será igual a $0$ .

$y - 7 = 0$

$y + 12 = 0$

$x = 5 + y$

Paso 3.5

Establece $y - 7$ igual a $0$ y resuelve $y$ .

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Paso 3.5.1

Establece $y - 7$ igual a $0$ .

$y - 7 = 0$

$x = 5 + y$

Paso 3.5.2

Suma $7$ a ambos lados de la ecuación.

$y = 7$

$x = 5 + y$

$y = 7$

$x = 5 + y$

Paso 3.6

Establece $y + 12$ igual a $0$ y resuelve $y$ .

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Paso 3.6.1

Establece $y + 12$ igual a $0$ .

$y + 12 = 0$

$x = 5 + y$

Paso 3.6.2

Resta $12$ de ambos lados de la ecuación.

$y = - 12$

$x = 5 + y$

$y = - 12$

$x = 5 + y$

Paso 3.7

La solución final comprende todos los valores que hacen $2 (y - 7) (y + 12) = 0$ verdadera.

$y = 7, - 12$

$x = 5 + y$

$y = 7, - 12$

$x = 5 + y$

Paso 4

Reemplaza todos los casos de $y$ por $7$ en cada ecuación.

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Paso 4.1

Reemplaza todos los casos de $y$ en $x = 5 + y$ por $7$ .

$x = 5 + 7$

$y = 7$

Paso 4.2

Simplifica $x = 5 + 7$ .

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Paso 4.2.1

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 4.2.1.1

Elimina los paréntesis.

$x = 5 + 7$

$y = 7$

$x = 5 + 7$

$y = 7$

Paso 4.2.2

Simplifica el lado derecho.

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Paso 4.2.2.1

Suma $5$ y $7$ .

$x = 12$

$y = 7$

$x = 12$

$y = 7$

$x = 12$

$y = 7$

$x = 12$

$y = 7$

Paso 5

Reemplaza todos los casos de $y$ por $- 12$ en cada ecuación.

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Paso 5.1

Reemplaza todos los casos de $y$ en $x = 5 + y$ por $- 12$ .

$x = 5 - 12$

$y = - 12$

Paso 5.2

Simplifica $x = 5 - 12$ .

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Paso 5.2.1

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 5.2.1.1

Elimina los paréntesis.

$x = 5 - 12$

$y = - 12$

$x = 5 - 12$

$y = - 12$

Paso 5.2.2

Simplifica el lado derecho.

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Paso 5.2.2.1

Resta $12$ de $5$ .

$x = - 7$

$y = - 12$

$x = - 7$

$y = - 12$

$x = - 7$

$y = - 12$

$x = - 7$

$y = - 12$

Paso 6

La solución del sistema es el conjunto completo de pares ordenados que son soluciones válidas.

$(12, 7)$

$(- 7, - 12)$

Paso 7

El resultado puede mostrarse de distintas formas.

Forma de punto:

$(12, 7), (- 7, - 12)$

Forma de la ecuación:

$x = 12, y = 7$

$x = - 7, y = - 12$

Paso 8