Matemática discreta Ejemplos

$2 x^{2} + 4 x - y = 6$ , $2 x - y = - 6$

Paso 1

Resuelve $y$ en $2 x^{2} + 4 x - y = 6$ .

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Paso 1.1

Mueve todos los términos que no contengan $y$ al lado derecho de la ecuación.

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Paso 1.1.1

Resta $2 x^{2}$ de ambos lados de la ecuación.

$4 x - y = 6 - 2 x^{2}$

$2 x - y = - 6$

Paso 1.1.2

Resta $4 x$ de ambos lados de la ecuación.

$- y = 6 - 2 x^{2} - 4 x$

$2 x - y = - 6$

$- y = 6 - 2 x^{2} - 4 x$

$2 x - y = - 6$

Paso 1.2

Divide cada término en $- y = 6 - 2 x^{2} - 4 x$ por $- 1$ y simplifica.

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Paso 1.2.1

Divide cada término en $- y = 6 - 2 x^{2} - 4 x$ por $- 1$ .

$\frac{- y}{- 1} = \frac{6}{- 1} + \frac{- 2 x^{2}}{- 1} + \frac{- 4 x}{- 1}$

$2 x - y = - 6$

Paso 1.2.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 1.2.2.1

La división de dos valores negativos da como resultado un valor positivo.

$\frac{y}{1} = \frac{6}{- 1} + \frac{- 2 x^{2}}{- 1} + \frac{- 4 x}{- 1}$

$2 x - y = - 6$

Paso 1.2.2.2

Divide $y$ por $1$ .

$y = \frac{6}{- 1} + \frac{- 2 x^{2}}{- 1} + \frac{- 4 x}{- 1}$

$2 x - y = - 6$

$y = \frac{6}{- 1} + \frac{- 2 x^{2}}{- 1} + \frac{- 4 x}{- 1}$

$2 x - y = - 6$

Paso 1.2.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 1.2.3.1

Simplifica cada término.

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Paso 1.2.3.1.1

Divide $6$ por $- 1$ .

$y = - 6 + \frac{- 2 x^{2}}{- 1} + \frac{- 4 x}{- 1}$

$2 x - y = - 6$

Paso 1.2.3.1.2

Mueve el negativo del denominador de $\frac{- 2 x^{2}}{- 1}$ .

$y = - 6 - 1 \cdot (- 2 x^{2}) + \frac{- 4 x}{- 1}$

$2 x - y = - 6$

Paso 1.2.3.1.3

Reescribe $- 1 \cdot (- 2 x^{2})$ como $- (- 2 x^{2})$ .

$y = - 6 - (- 2 x^{2}) + \frac{- 4 x}{- 1}$

$2 x - y = - 6$

Paso 1.2.3.1.4

Multiplica $- 2$ por $- 1$ .

$y = - 6 + 2 x^{2} + \frac{- 4 x}{- 1}$

$2 x - y = - 6$

Paso 1.2.3.1.5

Mueve el negativo del denominador de $\frac{- 4 x}{- 1}$ .

$y = - 6 + 2 x^{2} - 1 \cdot (- 4 x)$

$2 x - y = - 6$

Paso 1.2.3.1.6

Reescribe $- 1 \cdot (- 4 x)$ como $- (- 4 x)$ .

$y = - 6 + 2 x^{2} - (- 4 x)$

$2 x - y = - 6$

Paso 1.2.3.1.7

Multiplica $- 4$ por $- 1$ .

$y = - 6 + 2 x^{2} + 4 x$

$2 x - y = - 6$

$y = - 6 + 2 x^{2} + 4 x$

$2 x - y = - 6$

$y = - 6 + 2 x^{2} + 4 x$

$2 x - y = - 6$

$y = - 6 + 2 x^{2} + 4 x$

$2 x - y = - 6$

$y = - 6 + 2 x^{2} + 4 x$

$2 x - y = - 6$

Paso 2

Reemplaza todos los casos de $y$ por $- 6 + 2 x^{2} + 4 x$ en cada ecuación.

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Paso 2.1

Reemplaza todos los casos de $y$ en $2 x - y = - 6$ por $- 6 + 2 x^{2} + 4 x$ .

$2 x - (- 6 + 2 x^{2} + 4 x) = - 6$

$y = - 6 + 2 x^{2} + 4 x$

Paso 2.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 2.2.1

Simplifica $2 x - (- 6 + 2 x^{2} + 4 x)$ .

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Paso 2.2.1.1

Simplifica cada término.

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Paso 2.2.1.1.1

Aplica la propiedad distributiva.

$2 x + 6 - (2 x^{2}) - (4 x) = - 6$

$y = - 6 + 2 x^{2} + 4 x$

Paso 2.2.1.1.2

Simplifica.

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Paso 2.2.1.1.2.1

Multiplica $- 1$ por $- 6$ .

$2 x + 6 - (2 x^{2}) - (4 x) = - 6$

$y = - 6 + 2 x^{2} + 4 x$

Paso 2.2.1.1.2.2

Multiplica $2$ por $- 1$ .

$2 x + 6 - 2 x^{2} - (4 x) = - 6$

$y = - 6 + 2 x^{2} + 4 x$

Paso 2.2.1.1.2.3

Multiplica $4$ por $- 1$ .

$2 x + 6 - 2 x^{2} - 4 x = - 6$

$y = - 6 + 2 x^{2} + 4 x$

$2 x + 6 - 2 x^{2} - 4 x = - 6$

$y = - 6 + 2 x^{2} + 4 x$

$2 x + 6 - 2 x^{2} - 4 x = - 6$

$y = - 6 + 2 x^{2} + 4 x$

Paso 2.2.1.2

Resta $4 x$ de $2 x$ .

$- 2 x + 6 - 2 x^{2} = - 6$

$y = - 6 + 2 x^{2} + 4 x$

$- 2 x + 6 - 2 x^{2} = - 6$

$y = - 6 + 2 x^{2} + 4 x$

$- 2 x + 6 - 2 x^{2} = - 6$

$y = - 6 + 2 x^{2} + 4 x$

$- 2 x + 6 - 2 x^{2} = - 6$

$y = - 6 + 2 x^{2} + 4 x$

Paso 3

Resuelve $x$ en $- 2 x + 6 - 2 x^{2} = - 6$ .

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Paso 3.1

Suma $6$ a ambos lados de la ecuación.

$- 2 x + 6 - 2 x^{2} + 6 = 0$

$y = - 6 + 2 x^{2} + 4 x$

Paso 3.2

Suma $6$ y $6$ .

$- 2 x - 2 x^{2} + 12 = 0$

$y = - 6 + 2 x^{2} + 4 x$

Paso 3.3

Factoriza el lado izquierdo de la ecuación.

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Paso 3.3.1

Factoriza $- 2$ de $- 2 x - 2 x^{2} + 12$ .

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Paso 3.3.1.1

Reordena $- 2 x$ y $- 2 x^{2}$ .

$- 2 x^{2} - 2 x + 12 = 0$

$y = - 6 + 2 x^{2} + 4 x$

Paso 3.3.1.2

Factoriza $- 2$ de $- 2 x^{2}$ .

$- 2 x^{2} - 2 x + 12 = 0$

$y = - 6 + 2 x^{2} + 4 x$

Paso 3.3.1.3

Factoriza $- 2$ de $- 2 x$ .

$- 2 x^{2} - 2 x + 12 = 0$

$y = - 6 + 2 x^{2} + 4 x$

Paso 3.3.1.4

Factoriza $- 2$ de $12$ .

$- 2 x^{2} - 2 x - 2 \cdot - 6 = 0$

$y = - 6 + 2 x^{2} + 4 x$

Paso 3.3.1.5

Factoriza $- 2$ de $- 2 (x^{2}) - 2 (x)$ .

$- 2 (x^{2} + x) - 2 \cdot - 6 = 0$

$y = - 6 + 2 x^{2} + 4 x$

Paso 3.3.1.6

Factoriza $- 2$ de $- 2 (x^{2} + x) - 2 (- 6)$ .

$- 2 (x^{2} + x - 6) = 0$

$y = - 6 + 2 x^{2} + 4 x$

$- 2 (x^{2} + x - 6) = 0$

$y = - 6 + 2 x^{2} + 4 x$

Paso 3.3.2

Factoriza.

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Paso 3.3.2.1

Factoriza $x^{2} + x - 6$ con el método AC.

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Paso 3.3.2.1.1

Considera la forma $x^{2} + b x + c$ . Encuentra un par de números enteros cuyo producto sea $c$ y cuya suma sea $b$ . En este caso, cuyo producto es $- 6$ y cuya suma es $1$ .

$- 2, 3$

$y = - 6 + 2 x^{2} + 4 x$

Paso 3.3.2.1.2

Escribe la forma factorizada mediante estos números enteros.

$- 2 ((x - 2) (x + 3)) = 0$

$y = - 6 + 2 x^{2} + 4 x$

$- 2 ((x - 2) (x + 3)) = 0$

$y = - 6 + 2 x^{2} + 4 x$

Paso 3.3.2.2

Elimina los paréntesis innecesarios.

$- 2 (x - 2) (x + 3) = 0$

$y = - 6 + 2 x^{2} + 4 x$

$- 2 (x - 2) (x + 3) = 0$

$y = - 6 + 2 x^{2} + 4 x$

$- 2 (x - 2) (x + 3) = 0$

$y = - 6 + 2 x^{2} + 4 x$

Paso 3.4

Si cualquier factor individual en el lado izquierdo de la ecuación es igual a $0$ , la expresión completa será igual a $0$ .

$x - 2 = 0$

$x + 3 = 0$

$y = - 6 + 2 x^{2} + 4 x$

Paso 3.5

Establece $x - 2$ igual a $0$ y resuelve $x$ .

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Paso 3.5.1

Establece $x - 2$ igual a $0$ .

$x - 2 = 0$

$y = - 6 + 2 x^{2} + 4 x$

Paso 3.5.2

Suma $2$ a ambos lados de la ecuación.

$x = 2$

$y = - 6 + 2 x^{2} + 4 x$

$x = 2$

$y = - 6 + 2 x^{2} + 4 x$

Paso 3.6

Establece $x + 3$ igual a $0$ y resuelve $x$ .

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Paso 3.6.1

Establece $x + 3$ igual a $0$ .

$x + 3 = 0$

$y = - 6 + 2 x^{2} + 4 x$

Paso 3.6.2

Resta $3$ de ambos lados de la ecuación.

$x = - 3$

$y = - 6 + 2 x^{2} + 4 x$

$x = - 3$

$y = - 6 + 2 x^{2} + 4 x$

Paso 3.7

La solución final comprende todos los valores que hacen $- 2 (x - 2) (x + 3) = 0$ verdadera.

$x = 2, - 3$

$y = - 6 + 2 x^{2} + 4 x$

$x = 2, - 3$

$y = - 6 + 2 x^{2} + 4 x$

Paso 4

Reemplaza todos los casos de $x$ por $2$ en cada ecuación.

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Paso 4.1

Reemplaza todos los casos de $x$ en $y = - 6 + 2 x^{2} + 4 x$ por $2$ .

$y = - 6 + 2 {(2)}^{2} + 4 (2)$

$x = 2$

Paso 4.2

Simplifica el lado derecho.

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Paso 4.2.1

Simplifica $- 6 + 2 {(2)}^{2} + 4 (2)$ .

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Paso 4.2.1.1

Simplifica cada término.

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Paso 4.2.1.1.1

Multiplica $2$ por ${(2)}^{2}$ sumando los exponentes.

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Paso 4.2.1.1.1.1

Multiplica $2$ por ${(2)}^{2}$ .

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Paso 4.2.1.1.1.1.1

Eleva $2$ a la potencia de $1$ .

$y = - 6 + 2 {(2)}^{2} + 4 (2)$

$x = 2$

Paso 4.2.1.1.1.1.2

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$y = - 6 + 2^{1 + 2} + 4 (2)$

$x = 2$

$y = - 6 + 2^{1 + 2} + 4 (2)$

$x = 2$

Paso 4.2.1.1.1.2

Suma $1$ y $2$ .

$y = - 6 + 2^{3} + 4 (2)$

$x = 2$

$y = - 6 + 2^{3} + 4 (2)$

$x = 2$

Paso 4.2.1.1.2

Eleva $2$ a la potencia de $3$ .

$y = - 6 + 8 + 4 (2)$

$x = 2$

Paso 4.2.1.1.3

Multiplica $4$ por $2$ .

$y = - 6 + 8 + 8$

$x = 2$

$y = - 6 + 8 + 8$

$x = 2$

Paso 4.2.1.2

Simplifica mediante la adición de números.

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Paso 4.2.1.2.1

Suma $- 6$ y $8$ .

$y = 2 + 8$

$x = 2$

Paso 4.2.1.2.2

Suma $2$ y $8$ .

$y = 10$

$x = 2$

$y = 10$

$x = 2$

$y = 10$

$x = 2$

$y = 10$

$x = 2$

$y = 10$

$x = 2$

Paso 5

Reemplaza todos los casos de $x$ por $- 3$ en cada ecuación.

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Paso 5.1

Reemplaza todos los casos de $x$ en $y = - 6 + 2 x^{2} + 4 x$ por $- 3$ .

$y = - 6 + 2 {(- 3)}^{2} + 4 (- 3)$

$x = - 3$

Paso 5.2

Simplifica el lado derecho.

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Paso 5.2.1

Simplifica $- 6 + 2 {(- 3)}^{2} + 4 (- 3)$ .

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Paso 5.2.1.1

Simplifica cada término.

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Paso 5.2.1.1.1

Eleva $- 3$ a la potencia de $2$ .

$y = - 6 + 2 \cdot 9 + 4 (- 3)$

$x = - 3$

Paso 5.2.1.1.2

Multiplica $2$ por $9$ .

$y = - 6 + 18 + 4 (- 3)$

$x = - 3$

Paso 5.2.1.1.3

Multiplica $4$ por $- 3$ .

$y = - 6 + 18 - 12$

$x = - 3$

$y = - 6 + 18 - 12$

$x = - 3$

Paso 5.2.1.2

Simplifica mediante suma y resta.

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Paso 5.2.1.2.1

Suma $- 6$ y $18$ .

$y = 12 - 12$

$x = - 3$

Paso 5.2.1.2.2

Resta $12$ de $12$ .

$y = 0$

$x = - 3$

$y = 0$

$x = - 3$

$y = 0$

$x = - 3$

$y = 0$

$x = - 3$

$y = 0$

$x = - 3$

Paso 6

La solución del sistema es el conjunto completo de pares ordenados que son soluciones válidas.

$(2, 10)$

$(- 3, 0)$

Paso 7

El resultado puede mostrarse de distintas formas.

Forma de punto:

$(2, 10), (- 3, 0)$

Forma de la ecuación:

$x = 2, y = 10$

$x = - 3, y = 0$

Paso 8