Matemática discreta Ejemplos

$2 n^{- 2} + 15 n^{- 1} + 28 = 0$ , $u = n^{- 1}$

Paso 1

Resuelve $n$ en $2 n^{- 2} + 15 n^{- 1} + 28 = 0$ .

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Paso 1.1

Simplifica cada término.

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Paso 1.1.1

Reescribe la expresión mediante la regla del exponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$2 (\frac{1}{n^{2}}) + 15 n^{- 1} + 28 = 0$

$u = n^{- 1}$

Paso 1.1.2

Combina $2$ y $\frac{1}{n^{2}}$ .

$\frac{2}{n^{2}} + 15 n^{- 1} + 28 = 0$

$u = n^{- 1}$

Paso 1.1.3

Reescribe la expresión mediante la regla del exponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{2}{n^{2}} + 15 (\frac{1}{n}) + 28 = 0$

$u = n^{- 1}$

Paso 1.1.4

Combina $15$ y $\frac{1}{n}$ .

$\frac{2}{n^{2}} + \frac{15}{n} + 28 = 0$

$u = n^{- 1}$

$\frac{2}{n^{2}} + \frac{15}{n} + 28 = 0$

$u = n^{- 1}$

Paso 1.2

Obtén el mcd de los términos en la ecuación.

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Paso 1.2.1

La obtención del mcd de una lista de valores es lo mismo que obtener el MCM de los denominadores de esos valores.

$n^{2}, n, 1, 1$

$u = n^{- 1}$

Paso 1.2.2

Since $n^{2}, n, 1, 1$ contains both numbers and variables, there are two steps to find the LCM. Find LCM for the numeric part $1, 1, 1, 1$ then find LCM for the variable part $n^{2}, n^{1}$ .

Since $n^{2}, n, 1, 1$ contains both numbers and variables, there are two steps to find the LCM. Find LCM for the numeric part $1, 1, 1, 1$ then find LCM for the variable part $n^{2}, n$ .

$u = n^{- 1}$

Paso 1.2.3

El MCM es el número positivo más pequeño en el que se dividen uniformemente todos los números.

$1$ Enumera los factores primos de cada número.

$2$ Multiplica cada factor la mayor cantidad de veces que aparece en cualquier número.

$u = n^{- 1}$

Paso 1.2.4

El número $1$ no es un número primo porque solo tiene un factor positivo, que es sí mismo.

No es primo

Paso 1.2.5

El MCM de $1, 1, 1, 1$ es el resultado de la multiplicación de todos los factores primos la mayor cantidad de veces que ocurran en cualquiera de los números.

$1$

$u = n^{- 1}$

Paso 1.2.6

Los factores para $n^{2}$ son $n \cdot n$ , que es $n$ multiplicada una por la otra $2$ veces.

$n^{2} = n \cdot n$

n occurs $2$ times.

$u = n^{- 1}$

Paso 1.2.7

El factor para $n^{1}$ es $n$ en sí mismo.

$n = n$

n occurs $1$ time.

$u = n^{- 1}$

Paso 1.2.8

El MCM de $n^{2}, n^{1}$ es el resultado de la multiplicación de todos los factores primos la mayor cantidad de veces que ocurran en cualquiera de los términos.

$n \cdot n$

$u = n^{- 1}$

Paso 1.2.9

Multiplica $n$ por $n$ .

$n^{2}$

$u = n^{- 1}$

$n^{2}$

$u = n^{- 1}$

Paso 1.3

Multiplica cada término en $\frac{2}{n^{2}} + \frac{15}{n} + 28 = 0$ por $n^{2}$ para eliminar las fracciones.

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Paso 1.3.1

Multiplica cada término en $\frac{2}{n^{2}} + \frac{15}{n} + 28 = 0$ por $n^{2}$ .

$\frac{2}{n^{2}} \cdot n^{2} + \frac{15}{n} \cdot n^{2} + 28 n^{2} = 0 n^{2}$

$u = n^{- 1}$

Paso 1.3.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 1.3.2.1

Simplifica cada término.

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Paso 1.3.2.1.1

Cancela el factor común de $n^{2}$ .

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Paso 1.3.2.1.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{2}{n^{2}} \cdot n^{2} + \frac{15}{n} \cdot n^{2} + 28 n^{2} = 0 n^{2}$

$u = n^{- 1}$

Paso 1.3.2.1.1.2

Reescribe la expresión.

$2 + \frac{15}{n} \cdot n^{2} + 28 n^{2} = 0 n^{2}$

$u = n^{- 1}$

$2 + \frac{15}{n} \cdot n^{2} + 28 n^{2} = 0 n^{2}$

$u = n^{- 1}$

Paso 1.3.2.1.2

Cancela el factor común de $n$ .

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Paso 1.3.2.1.2.1

Factoriza $n$ de $n^{2}$ .

$2 + \frac{15}{n} \cdot (n \cdot n) + 28 n^{2} = 0 n^{2}$

$u = n^{- 1}$

Paso 1.3.2.1.2.2

Cancela el factor común.

$2 + \frac{15}{n} \cdot (n \cdot n) + 28 n^{2} = 0 n^{2}$

$u = n^{- 1}$

Paso 1.3.2.1.2.3

Reescribe la expresión.

$2 + 15 n + 28 n^{2} = 0 n^{2}$

$u = n^{- 1}$

$2 + 15 n + 28 n^{2} = 0 n^{2}$

$u = n^{- 1}$

$2 + 15 n + 28 n^{2} = 0 n^{2}$

$u = n^{- 1}$

$2 + 15 n + 28 n^{2} = 0 n^{2}$

$u = n^{- 1}$

Paso 1.3.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 1.3.3.1

Multiplica $0$ por $n^{2}$ .

$2 + 15 n + 28 n^{2} = 0$

$u = n^{- 1}$

$2 + 15 n + 28 n^{2} = 0$

$u = n^{- 1}$

$2 + 15 n + 28 n^{2} = 0$

$u = n^{- 1}$

Paso 1.4

Resuelve la ecuación.

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Paso 1.4.1

Factoriza por agrupación.

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Paso 1.4.1.1

Reordena los términos.

$28 n^{2} + 15 n + 2 = 0$

$u = n^{- 1}$

Paso 1.4.1.2

Para un polinomio de la forma $a x^{2} + b x + c$ , reescribe el término medio como una suma de dos términos cuyo producto es $a \cdot c = 28 \cdot 2 = 56$ y cuya suma es $b = 15$ .

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Paso 1.4.1.2.1

Factoriza $15$ de $15 n$ .

$28 n^{2} + 15 (n) + 2 = 0$

$u = n^{- 1}$

Paso 1.4.1.2.2

Reescribe $15$ como $7$ más $8$

$28 n^{2} + (7 + 8) n + 2 = 0$

$u = n^{- 1}$

Paso 1.4.1.2.3

Aplica la propiedad distributiva.

$28 n^{2} + 7 n + 8 n + 2 = 0$

$u = n^{- 1}$

$28 n^{2} + 7 n + 8 n + 2 = 0$

$u = n^{- 1}$

Paso 1.4.1.3

Factoriza el máximo común divisor de cada grupo.

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Paso 1.4.1.3.1

Agrupa los dos primeros términos y los dos últimos términos.

$(28 n^{2} + 7 n) + 8 n + 2 = 0$

$u = n^{- 1}$

Paso 1.4.1.3.2

Factoriza el máximo común divisor (MCD) de cada grupo.

$7 n (4 n + 1) + 2 (4 n + 1) = 0$

$u = n^{- 1}$

$7 n (4 n + 1) + 2 (4 n + 1) = 0$

$u = n^{- 1}$

Paso 1.4.1.4

Factoriza el polinomio mediante la factorización del máximo común divisor, $4 n + 1$ .

$(4 n + 1) (7 n + 2) = 0$

$u = n^{- 1}$

$(4 n + 1) (7 n + 2) = 0$

$u = n^{- 1}$

Paso 1.4.2

Si cualquier factor individual en el lado izquierdo de la ecuación es igual a $0$ , la expresión completa será igual a $0$ .

$4 n + 1 = 0$

$7 n + 2 = 0$

$u = n^{- 1}$

Paso 1.4.3

Establece $4 n + 1$ igual a $0$ y resuelve $n$ .

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Paso 1.4.3.1

Establece $4 n + 1$ igual a $0$ .

$4 n + 1 = 0$

$u = n^{- 1}$

Paso 1.4.3.2

Resuelve $4 n + 1 = 0$ en $n$ .

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Paso 1.4.3.2.1

Resta $1$ de ambos lados de la ecuación.

$4 n = - 1$

$u = n^{- 1}$

Paso 1.4.3.2.2

Divide cada término en $4 n = - 1$ por $4$ y simplifica.

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Paso 1.4.3.2.2.1

Divide cada término en $4 n = - 1$ por $4$ .

$\frac{4 n}{4} = \frac{- 1}{4}$

$u = n^{- 1}$

Paso 1.4.3.2.2.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 1.4.3.2.2.2.1

Cancela el factor común de $4$ .

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Paso 1.4.3.2.2.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{4 n}{4} = \frac{- 1}{4}$

$u = n^{- 1}$

Paso 1.4.3.2.2.2.1.2

Divide $n$ por $1$ .

$n = \frac{- 1}{4}$

$u = n^{- 1}$

$n = \frac{- 1}{4}$

$u = n^{- 1}$

$n = \frac{- 1}{4}$

$u = n^{- 1}$

Paso 1.4.3.2.2.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 1.4.3.2.2.3.1

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$n = - \frac{1}{4}$

$u = n^{- 1}$

$n = - \frac{1}{4}$

$u = n^{- 1}$

$n = - \frac{1}{4}$

$u = n^{- 1}$

$n = - \frac{1}{4}$

$u = n^{- 1}$

$n = - \frac{1}{4}$

$u = n^{- 1}$

Paso 1.4.4

Establece $7 n + 2$ igual a $0$ y resuelve $n$ .

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Paso 1.4.4.1

Establece $7 n + 2$ igual a $0$ .

$7 n + 2 = 0$

$u = n^{- 1}$

Paso 1.4.4.2

Resuelve $7 n + 2 = 0$ en $n$ .

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Paso 1.4.4.2.1

Resta $2$ de ambos lados de la ecuación.

$7 n = - 2$

$u = n^{- 1}$

Paso 1.4.4.2.2

Divide cada término en $7 n = - 2$ por $7$ y simplifica.

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Paso 1.4.4.2.2.1

Divide cada término en $7 n = - 2$ por $7$ .

$\frac{7 n}{7} = \frac{- 2}{7}$

$u = n^{- 1}$

Paso 1.4.4.2.2.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 1.4.4.2.2.2.1

Cancela el factor común de $7$ .

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Paso 1.4.4.2.2.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{7 n}{7} = \frac{- 2}{7}$

$u = n^{- 1}$

Paso 1.4.4.2.2.2.1.2

Divide $n$ por $1$ .

$n = \frac{- 2}{7}$

$u = n^{- 1}$

$n = \frac{- 2}{7}$

$u = n^{- 1}$

$n = \frac{- 2}{7}$

$u = n^{- 1}$

Paso 1.4.4.2.2.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 1.4.4.2.2.3.1

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$n = - \frac{2}{7}$

$u = n^{- 1}$

$n = - \frac{2}{7}$

$u = n^{- 1}$

$n = - \frac{2}{7}$

$u = n^{- 1}$

$n = - \frac{2}{7}$

$u = n^{- 1}$

$n = - \frac{2}{7}$

$u = n^{- 1}$

Paso 1.4.5

La solución final comprende todos los valores que hacen $(4 n + 1) (7 n + 2) = 0$ verdadera.

$n = - \frac{1}{4}, - \frac{2}{7}$

$u = n^{- 1}$

$n = - \frac{1}{4}, - \frac{2}{7}$

$u = n^{- 1}$

$n = - \frac{1}{4}, - \frac{2}{7}$

$u = n^{- 1}$

Paso 2

Reemplaza todos los casos de $n$ por $- \frac{1}{4}$ en cada ecuación.

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Paso 2.1

Reemplaza todos los casos de $n$ en $u = n^{- 1}$ por $- \frac{1}{4}$ .

$u = {(- \frac{1}{4})}^{- 1}$

$n = - \frac{1}{4}$

Paso 2.2

Simplifica el lado derecho.

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Paso 2.2.1

Cambia el signo del exponente; para ello, reescribe la base como su recíproca.

$u = - 4$

$n = - \frac{1}{4}$

$u = - 4$

$n = - \frac{1}{4}$

$u = - 4$

$n = - \frac{1}{4}$

Paso 3

Reemplaza todos los casos de $n$ por $- \frac{2}{7}$ en cada ecuación.

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Paso 3.1

Reemplaza todos los casos de $n$ en $u = n^{- 1}$ por $- \frac{2}{7}$ .

$u = {(- \frac{2}{7})}^{- 1}$

$n = - \frac{2}{7}$

Paso 3.2

Simplifica el lado derecho.

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Paso 3.2.1

Cambia el signo del exponente; para ello, reescribe la base como su recíproca.

$u = - \frac{7}{2}$

$n = - \frac{2}{7}$

$u = - \frac{7}{2}$

$n = - \frac{2}{7}$

$u = - \frac{7}{2}$

$n = - \frac{2}{7}$

Paso 4

Enumera todas las soluciones.

$u = - 4, n = - \frac{1}{4}$

$u = - \frac{7}{2}, n = - \frac{2}{7}$