Matemática discreta Ejemplos

$2 x + 9 y - 5 z = 0$ , $7 x - y + 6 z = 1$ , $9 x + 8 y + z = 1$

Paso 1

Mueve todos los términos que no contengan $z$ al lado derecho de la ecuación.

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Paso 1.1

Resta $9 x$ de ambos lados de la ecuación.

$8 y + z = 1 - 9 x$

$2 x + 9 y - 5 z = 0$

$7 x - y + 6 z = 1$

Paso 1.2

Resta $8 y$ de ambos lados de la ecuación.

$z = 1 - 9 x - 8 y$

$2 x + 9 y - 5 z = 0$

$7 x - y + 6 z = 1$

$z = 1 - 9 x - 8 y$

$2 x + 9 y - 5 z = 0$

$7 x - y + 6 z = 1$

Paso 2

Reemplaza todos los casos de $z$ por $1 - 9 x - 8 y$ en cada ecuación.

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Paso 2.1

Reemplaza todos los casos de $z$ en $2 x + 9 y - 5 z = 0$ por $1 - 9 x - 8 y$ .

$2 x + 9 y - 5 (1 - 9 x - 8 y) = 0$

$z = 1 - 9 x - 8 y$

$7 x - y + 6 z = 1$

Paso 2.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 2.2.1

Simplifica $2 x + 9 y - 5 (1 - 9 x - 8 y)$ .

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Paso 2.2.1.1

Simplifica cada término.

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Paso 2.2.1.1.1

Aplica la propiedad distributiva.

$2 x + 9 y - 5 \cdot 1 - 5 (- 9 x) - 5 (- 8 y) = 0$

$z = 1 - 9 x - 8 y$

$7 x - y + 6 z = 1$

Paso 2.2.1.1.2

Simplifica.

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Paso 2.2.1.1.2.1

Multiplica $- 5$ por $1$ .

$2 x + 9 y - 5 - 5 (- 9 x) - 5 (- 8 y) = 0$

$z = 1 - 9 x - 8 y$

$7 x - y + 6 z = 1$

Paso 2.2.1.1.2.2

Multiplica $- 9$ por $- 5$ .

$2 x + 9 y - 5 + 45 x - 5 (- 8 y) = 0$

$z = 1 - 9 x - 8 y$

$7 x - y + 6 z = 1$

Paso 2.2.1.1.2.3

Multiplica $- 8$ por $- 5$ .

$2 x + 9 y - 5 + 45 x + 40 y = 0$

$z = 1 - 9 x - 8 y$

$7 x - y + 6 z = 1$

$2 x + 9 y - 5 + 45 x + 40 y = 0$

$z = 1 - 9 x - 8 y$

$7 x - y + 6 z = 1$

$2 x + 9 y - 5 + 45 x + 40 y = 0$

$z = 1 - 9 x - 8 y$

$7 x - y + 6 z = 1$

Paso 2.2.1.2

Simplifica mediante la adición de términos.

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Paso 2.2.1.2.1

Suma $2 x$ y $45 x$ .

$47 x + 9 y - 5 + 40 y = 0$

$z = 1 - 9 x - 8 y$

$7 x - y + 6 z = 1$

Paso 2.2.1.2.2

Suma $9 y$ y $40 y$ .

$47 x + 49 y - 5 = 0$

$z = 1 - 9 x - 8 y$

$7 x - y + 6 z = 1$

$47 x + 49 y - 5 = 0$

$z = 1 - 9 x - 8 y$

$7 x - y + 6 z = 1$

$47 x + 49 y - 5 = 0$

$z = 1 - 9 x - 8 y$

$7 x - y + 6 z = 1$

$47 x + 49 y - 5 = 0$

$z = 1 - 9 x - 8 y$

$7 x - y + 6 z = 1$

Paso 2.3

Reemplaza todos los casos de $z$ en $7 x - y + 6 z = 1$ por $1 - 9 x - 8 y$ .

$7 x - y + 6 (1 - 9 x - 8 y) = 1$

$47 x + 49 y - 5 = 0$

$z = 1 - 9 x - 8 y$

Paso 2.4

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 2.4.1

Simplifica $7 x - y + 6 (1 - 9 x - 8 y)$ .

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Paso 2.4.1.1

Simplifica cada término.

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Paso 2.4.1.1.1

Aplica la propiedad distributiva.

$7 x - y + 6 \cdot 1 + 6 (- 9 x) + 6 (- 8 y) = 1$

$47 x + 49 y - 5 = 0$

$z = 1 - 9 x - 8 y$

Paso 2.4.1.1.2

Simplifica.

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Paso 2.4.1.1.2.1

Multiplica $6$ por $1$ .

$7 x - y + 6 + 6 (- 9 x) + 6 (- 8 y) = 1$

$47 x + 49 y - 5 = 0$

$z = 1 - 9 x - 8 y$

Paso 2.4.1.1.2.2

Multiplica $- 9$ por $6$ .

$7 x - y + 6 - 54 x + 6 (- 8 y) = 1$

$47 x + 49 y - 5 = 0$

$z = 1 - 9 x - 8 y$

Paso 2.4.1.1.2.3

Multiplica $- 8$ por $6$ .

$7 x - y + 6 - 54 x - 48 y = 1$

$47 x + 49 y - 5 = 0$

$z = 1 - 9 x - 8 y$

$7 x - y + 6 - 54 x - 48 y = 1$

$47 x + 49 y - 5 = 0$

$z = 1 - 9 x - 8 y$

$7 x - y + 6 - 54 x - 48 y = 1$

$47 x + 49 y - 5 = 0$

$z = 1 - 9 x - 8 y$

Paso 2.4.1.2

Simplifica mediante la adición de términos.

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Paso 2.4.1.2.1

Resta $54 x$ de $7 x$ .

$- 47 x - y + 6 - 48 y = 1$

$47 x + 49 y - 5 = 0$

$z = 1 - 9 x - 8 y$

Paso 2.4.1.2.2

Resta $48 y$ de $- y$ .

$- 47 x - 49 y + 6 = 1$

$47 x + 49 y - 5 = 0$

$z = 1 - 9 x - 8 y$

$- 47 x - 49 y + 6 = 1$

$47 x + 49 y - 5 = 0$

$z = 1 - 9 x - 8 y$

$- 47 x - 49 y + 6 = 1$

$47 x + 49 y - 5 = 0$

$z = 1 - 9 x - 8 y$

$- 47 x - 49 y + 6 = 1$

$47 x + 49 y - 5 = 0$

$z = 1 - 9 x - 8 y$

$- 47 x - 49 y + 6 = 1$

$47 x + 49 y - 5 = 0$

$z = 1 - 9 x - 8 y$

Paso 3

Resuelve $x$ en $- 47 x - 49 y + 6 = 1$ .

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Paso 3.1

Mueve todos los términos que no contengan $x$ al lado derecho de la ecuación.

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Paso 3.1.1

Suma $49 y$ a ambos lados de la ecuación.

$- 47 x + 6 = 1 + 49 y$

$47 x + 49 y - 5 = 0$

$z = 1 - 9 x - 8 y$

Paso 3.1.2

Resta $6$ de ambos lados de la ecuación.

$- 47 x = 1 + 49 y - 6$

$47 x + 49 y - 5 = 0$

$z = 1 - 9 x - 8 y$

Paso 3.1.3

Resta $6$ de $1$ .

$- 47 x = 49 y - 5$

$47 x + 49 y - 5 = 0$

$z = 1 - 9 x - 8 y$

$- 47 x = 49 y - 5$

$47 x + 49 y - 5 = 0$

$z = 1 - 9 x - 8 y$

Paso 3.2

Divide cada término en $- 47 x = 49 y - 5$ por $- 47$ y simplifica.

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Paso 3.2.1

Divide cada término en $- 47 x = 49 y - 5$ por $- 47$ .

$\frac{- 47 x}{- 47} = \frac{49 y}{- 47} + \frac{- 5}{- 47}$

$47 x + 49 y - 5 = 0$

$z = 1 - 9 x - 8 y$

Paso 3.2.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 3.2.2.1

Cancela el factor común de $- 47$ .

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Paso 3.2.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{- 47 x}{- 47} = \frac{49 y}{- 47} + \frac{- 5}{- 47}$

$47 x + 49 y - 5 = 0$

$z = 1 - 9 x - 8 y$

Paso 3.2.2.1.2

Divide $x$ por $1$ .

$x = \frac{49 y}{- 47} + \frac{- 5}{- 47}$

$47 x + 49 y - 5 = 0$

$z = 1 - 9 x - 8 y$

$x = \frac{49 y}{- 47} + \frac{- 5}{- 47}$

$47 x + 49 y - 5 = 0$

$z = 1 - 9 x - 8 y$

$x = \frac{49 y}{- 47} + \frac{- 5}{- 47}$

$47 x + 49 y - 5 = 0$

$z = 1 - 9 x - 8 y$

Paso 3.2.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 3.2.3.1

Simplifica cada término.

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Paso 3.2.3.1.1

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$x = - \frac{49 y}{47} + \frac{- 5}{- 47}$

$47 x + 49 y - 5 = 0$

$z = 1 - 9 x - 8 y$

Paso 3.2.3.1.2

La división de dos valores negativos da como resultado un valor positivo.

$x = - \frac{49 y}{47} + \frac{5}{47}$

$47 x + 49 y - 5 = 0$

$z = 1 - 9 x - 8 y$

$x = - \frac{49 y}{47} + \frac{5}{47}$

$47 x + 49 y - 5 = 0$

$z = 1 - 9 x - 8 y$

$x = - \frac{49 y}{47} + \frac{5}{47}$

$47 x + 49 y - 5 = 0$

$z = 1 - 9 x - 8 y$

$x = - \frac{49 y}{47} + \frac{5}{47}$

$47 x + 49 y - 5 = 0$

$z = 1 - 9 x - 8 y$

$x = - \frac{49 y}{47} + \frac{5}{47}$

$47 x + 49 y - 5 = 0$

$z = 1 - 9 x - 8 y$

Paso 4

Reemplaza todos los casos de $x$ por $- \frac{49 y}{47} + \frac{5}{47}$ en cada ecuación.

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Paso 4.1

Reemplaza todos los casos de $x$ en $47 x + 49 y - 5 = 0$ por $- \frac{49 y}{47} + \frac{5}{47}$ .

$47 (- \frac{49 y}{47} + \frac{5}{47}) + 49 y - 5 = 0$

$x = - \frac{49 y}{47} + \frac{5}{47}$

$z = 1 - 9 x - 8 y$

Paso 4.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 4.2.1

Simplifica $47 (- \frac{49 y}{47} + \frac{5}{47}) + 49 y - 5$ .

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Paso 4.2.1.1

Simplifica cada término.

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Paso 4.2.1.1.1

Aplica la propiedad distributiva.

$47 (- \frac{49 y}{47}) + 47 (\frac{5}{47}) + 49 y - 5 = 0$

$x = - \frac{49 y}{47} + \frac{5}{47}$

$z = 1 - 9 x - 8 y$

Paso 4.2.1.1.2

Cancela el factor común de $47$ .

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Paso 4.2.1.1.2.1

Mueve el signo menos inicial en $- \frac{49 y}{47}$ al numerador.

$47 (\frac{- 49 y}{47}) + 47 (\frac{5}{47}) + 49 y - 5 = 0$

$x = - \frac{49 y}{47} + \frac{5}{47}$

$z = 1 - 9 x - 8 y$

Paso 4.2.1.1.2.2

Cancela el factor común.

$47 (\frac{- 49 y}{47}) + 47 (\frac{5}{47}) + 49 y - 5 = 0$

$x = - \frac{49 y}{47} + \frac{5}{47}$

$z = 1 - 9 x - 8 y$

Paso 4.2.1.1.2.3

Reescribe la expresión.

$- 49 y + 47 (\frac{5}{47}) + 49 y - 5 = 0$

$x = - \frac{49 y}{47} + \frac{5}{47}$

$z = 1 - 9 x - 8 y$

$- 49 y + 47 (\frac{5}{47}) + 49 y - 5 = 0$

$x = - \frac{49 y}{47} + \frac{5}{47}$

$z = 1 - 9 x - 8 y$

Paso 4.2.1.1.3

Cancela el factor común de $47$ .

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Paso 4.2.1.1.3.1

Cancela el factor común.

$- 49 y + 47 (\frac{5}{47}) + 49 y - 5 = 0$

$x = - \frac{49 y}{47} + \frac{5}{47}$

$z = 1 - 9 x - 8 y$

Paso 4.2.1.1.3.2

Reescribe la expresión.

$- 49 y + 5 + 49 y - 5 = 0$

$x = - \frac{49 y}{47} + \frac{5}{47}$

$z = 1 - 9 x - 8 y$

$- 49 y + 5 + 49 y - 5 = 0$

$x = - \frac{49 y}{47} + \frac{5}{47}$

$z = 1 - 9 x - 8 y$

$- 49 y + 5 + 49 y - 5 = 0$

$x = - \frac{49 y}{47} + \frac{5}{47}$

$z = 1 - 9 x - 8 y$

Paso 4.2.1.2

Combina los términos opuestos en $- 49 y + 5 + 49 y - 5$ .

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Paso 4.2.1.2.1

Suma $- 49 y$ y $49 y$ .

$0 + 5 - 5 = 0$

$x = - \frac{49 y}{47} + \frac{5}{47}$

$z = 1 - 9 x - 8 y$

Paso 4.2.1.2.2

Suma $0$ y $5$ .

$5 - 5 = 0$

$x = - \frac{49 y}{47} + \frac{5}{47}$

$z = 1 - 9 x - 8 y$

Paso 4.2.1.2.3

Resta $5$ de $5$ .

$0 = 0$

$x = - \frac{49 y}{47} + \frac{5}{47}$

$z = 1 - 9 x - 8 y$

$0 = 0$

$x = - \frac{49 y}{47} + \frac{5}{47}$

$z = 1 - 9 x - 8 y$

$0 = 0$

$x = - \frac{49 y}{47} + \frac{5}{47}$

$z = 1 - 9 x - 8 y$

$0 = 0$

$x = - \frac{49 y}{47} + \frac{5}{47}$

$z = 1 - 9 x - 8 y$

Paso 4.3

Reemplaza todos los casos de $x$ en $z = 1 - 9 x - 8 y$ por $- \frac{49 y}{47} + \frac{5}{47}$ .

$z = 1 - 9 (- \frac{49 y}{47} + \frac{5}{47}) - 8 y$

$0 = 0$

$x = - \frac{49 y}{47} + \frac{5}{47}$

Paso 4.4

Simplifica el lado derecho.

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Paso 4.4.1

Simplifica $1 - 9 (- \frac{49 y}{47} + \frac{5}{47}) - 8 y$ .

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Paso 4.4.1.1

Simplifica cada término.

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Paso 4.4.1.1.1

Aplica la propiedad distributiva.

$z = 1 - 9 (- \frac{49 y}{47}) - 9 (\frac{5}{47}) - 8 y$

$0 = 0$

$x = - \frac{49 y}{47} + \frac{5}{47}$

Paso 4.4.1.1.2

Multiplica $- 9 (- \frac{49 y}{47})$ .

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Paso 4.4.1.1.2.1

Multiplica $- 1$ por $- 9$ .

$z = 1 + 9 (\frac{49 y}{47}) - 9 (\frac{5}{47}) - 8 y$

$0 = 0$

$x = - \frac{49 y}{47} + \frac{5}{47}$

Paso 4.4.1.1.2.2

Combina $9$ y $\frac{49 y}{47}$ .

$z = 1 + \frac{9 (49 y)}{47} - 9 (\frac{5}{47}) - 8 y$

$0 = 0$

$x = - \frac{49 y}{47} + \frac{5}{47}$

Paso 4.4.1.1.2.3

Multiplica $49$ por $9$ .

$z = 1 + \frac{441 y}{47} - 9 (\frac{5}{47}) - 8 y$

$0 = 0$

$x = - \frac{49 y}{47} + \frac{5}{47}$

$z = 1 + \frac{441 y}{47} - 9 (\frac{5}{47}) - 8 y$

$0 = 0$

$x = - \frac{49 y}{47} + \frac{5}{47}$

Paso 4.4.1.1.3

Multiplica $- 9 (\frac{5}{47})$ .

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Paso 4.4.1.1.3.1

Combina $- 9$ y $\frac{5}{47}$ .

$z = 1 + \frac{441 y}{47} + \frac{- 9 \cdot 5}{47} - 8 y$

$0 = 0$

$x = - \frac{49 y}{47} + \frac{5}{47}$

Paso 4.4.1.1.3.2

Multiplica $- 9$ por $5$ .

$z = 1 + \frac{441 y}{47} + \frac{- 45}{47} - 8 y$

$0 = 0$

$x = - \frac{49 y}{47} + \frac{5}{47}$

$z = 1 + \frac{441 y}{47} + \frac{- 45}{47} - 8 y$

$0 = 0$

$x = - \frac{49 y}{47} + \frac{5}{47}$

Paso 4.4.1.1.4

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$z = 1 + \frac{441 y}{47} - \frac{45}{47} - 8 y$

$0 = 0$

$x = - \frac{49 y}{47} + \frac{5}{47}$

$z = 1 + \frac{441 y}{47} - \frac{45}{47} - 8 y$

$0 = 0$

$x = - \frac{49 y}{47} + \frac{5}{47}$

Paso 4.4.1.2

Simplifica la expresión.

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Paso 4.4.1.2.1

Escribe $1$ como una fracción con un denominador común.

$z = \frac{441 y}{47} + \frac{47}{47} - \frac{45}{47} - 8 y$

$0 = 0$

$x = - \frac{49 y}{47} + \frac{5}{47}$

Paso 4.4.1.2.2

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$z = \frac{441 y}{47} + \frac{47 - 45}{47} - 8 y$

$0 = 0$

$x = - \frac{49 y}{47} + \frac{5}{47}$

Paso 4.4.1.2.3

Resta $45$ de $47$ .

$z = \frac{441 y}{47} + \frac{2}{47} - 8 y$

$0 = 0$

$x = - \frac{49 y}{47} + \frac{5}{47}$

$z = \frac{441 y}{47} + \frac{2}{47} - 8 y$

$0 = 0$

$x = - \frac{49 y}{47} + \frac{5}{47}$

Paso 4.4.1.3

Para escribir $- 8 y$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{47}{47}$ .

$z = \frac{441 y}{47} - 8 y \cdot \frac{47}{47} + \frac{2}{47}$

$0 = 0$

$x = - \frac{49 y}{47} + \frac{5}{47}$

Paso 4.4.1.4

Combina $- 8 y$ y $\frac{47}{47}$ .

$z = \frac{441 y}{47} + \frac{- 8 y \cdot 47}{47} + \frac{2}{47}$

$0 = 0$

$x = - \frac{49 y}{47} + \frac{5}{47}$

Paso 4.4.1.5

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$z = \frac{441 y - 8 y \cdot 47}{47} + \frac{2}{47}$

$0 = 0$

$x = - \frac{49 y}{47} + \frac{5}{47}$

Paso 4.4.1.6

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$z = \frac{441 y - 8 y \cdot 47 + 2}{47}$

$0 = 0$

$x = - \frac{49 y}{47} + \frac{5}{47}$

Paso 4.4.1.7

Multiplica $47$ por $- 8$ .

$z = \frac{441 y - 376 y + 2}{47}$

$0 = 0$

$x = - \frac{49 y}{47} + \frac{5}{47}$

Paso 4.4.1.8

Resta $376 y$ de $441 y$ .

$z = \frac{65 y + 2}{47}$

$0 = 0$

$x = - \frac{49 y}{47} + \frac{5}{47}$

$z = \frac{65 y + 2}{47}$

$0 = 0$

$x = - \frac{49 y}{47} + \frac{5}{47}$

$z = \frac{65 y + 2}{47}$

$0 = 0$

$x = - \frac{49 y}{47} + \frac{5}{47}$

$z = \frac{65 y + 2}{47}$

$0 = 0$

$x = - \frac{49 y}{47} + \frac{5}{47}$

Paso 5

Elimina del sistema las ecuaciones que siempre son verdaderas.

$z = \frac{65 y + 2}{47}$

$x = - \frac{49 y}{47} + \frac{5}{47}$