Matemática discreta Ejemplos

$x^{5} - 25 x^{3} < 0$

Paso 1

Convierte la desigualdad en una ecuación.

$x^{5} - 25 x^{3} = 0$

Paso 2

Factoriza el lado izquierdo de la ecuación.

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Paso 2.1

Factoriza $x^{3}$ de $x^{5} - 25 x^{3}$ .

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Paso 2.1.1

Factoriza $x^{3}$ de $x^{5}$ .

$x^{3} x^{2} - 25 x^{3} = 0$

Paso 2.1.2

Factoriza $x^{3}$ de $- 25 x^{3}$ .

$x^{3} x^{2} + x^{3} \cdot - 25 = 0$

Paso 2.1.3

Factoriza $x^{3}$ de $x^{3} x^{2} + x^{3} \cdot - 25$ .

$x^{3} (x^{2} - 25) = 0$

Paso 2.2

Reescribe $25$ como $5^{2}$ .

$x^{3} (x^{2} - 5^{2}) = 0$

Paso 2.3

Factoriza.

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Paso 2.3.1

Dado que ambos términos son cuadrados perfectos, factoriza con la fórmula de la diferencia de cuadrados, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , donde $a = x$ y $b = 5$ .

$x^{3} ((x + 5) (x - 5)) = 0$

Paso 2.3.2

Elimina los paréntesis innecesarios.

$x^{3} (x + 5) (x - 5) = 0$

Paso 3

Si cualquier factor individual en el lado izquierdo de la ecuación es igual a $0$ , la expresión completa será igual a $0$ .

$x^{3} = 0$

$x + 5 = 0$

$x - 5 = 0$

Paso 4

Establece $x^{3}$ igual a $0$ y resuelve $x$ .

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Paso 4.1

Establece $x^{3}$ igual a $0$ .

$x^{3} = 0$

Paso 4.2

Resuelve $x^{3} = 0$ en $x$ .

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Paso 4.2.1

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \sqrt[3]{0}$

Paso 4.2.2

Simplifica $\sqrt[3]{0}$ .

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Paso 4.2.2.1

Reescribe $0$ como $0^{3}$ .

$x = \sqrt[3]{0^{3}}$

Paso 4.2.2.2

Extrae los términos de abajo del radical, bajo el supuesto de que tienes números reales.

$x = 0$

Paso 5

Establece $x + 5$ igual a $0$ y resuelve $x$ .

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Paso 5.1

Establece $x + 5$ igual a $0$ .

$x + 5 = 0$

Paso 5.2

Resta $5$ de ambos lados de la ecuación.

$x = - 5$

Paso 6

Establece $x - 5$ igual a $0$ y resuelve $x$ .

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Paso 6.1

Establece $x - 5$ igual a $0$ .

$x - 5 = 0$

Paso 6.2

Suma $5$ a ambos lados de la ecuación.

$x = 5$

Paso 7

La solución final comprende todos los valores que hacen $x^{3} (x + 5) (x - 5) = 0$ verdadera.

$x = 0, - 5, 5$

Paso 8

Usa cada raíz para crear intervalos de prueba.

$x < - 5$

$- 5 < x < 0$

$0 < x < 5$

$x > 5$

Paso 9

Elije un valor de prueba de cada intervalo y conecta este valor a la desigualdad original para determinar qué intervalos satisfacen la desigualdad.

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Paso 9.1

Prueba un valor en el intervalo $x < - 5$ para ver si este hace que la desigualdad sea verdadera.

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Paso 9.1.1

Elije un valor en el intervalo $x < - 5$ y ve si este valor hace que la desigualdad original sea verdadera.

$x = - 8$

Paso 9.1.2

Reemplaza $x$ con $- 8$ en la desigualdad original.

${(- 8)}^{5} - 25 {(- 8)}^{3} < 0$

Paso 9.1.3

$- 19968$ del lado izquierdo es menor que $0$ del lado derecho, lo que significa que el enunciado dado es siempre verdadero.

True

Paso 9.2

Prueba un valor en el intervalo $- 5 < x < 0$ para ver si este hace que la desigualdad sea verdadera.

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Paso 9.2.1

Elije un valor en el intervalo $- 5 < x < 0$ y ve si este valor hace que la desigualdad original sea verdadera.

$x = - 2$

Paso 9.2.2

Reemplaza $x$ con $- 2$ en la desigualdad original.

${(- 2)}^{5} - 25 {(- 2)}^{3} < 0$

Paso 9.2.3

$168$ del lado izquierdo no es menor que $0$ del lado derecho, lo que significa que el enunciado dado es falso.

False

Paso 9.3

Prueba un valor en el intervalo $0 < x < 5$ para ver si este hace que la desigualdad sea verdadera.

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Paso 9.3.1

Elije un valor en el intervalo $0 < x < 5$ y ve si este valor hace que la desigualdad original sea verdadera.

$x = 2$

Paso 9.3.2

Reemplaza $x$ con $2$ en la desigualdad original.

${(2)}^{5} - 25 {(2)}^{3} < 0$

Paso 9.3.3

$- 168$ del lado izquierdo es menor que $0$ del lado derecho, lo que significa que el enunciado dado es siempre verdadero.

True

Paso 9.4

Prueba un valor en el intervalo $x > 5$ para ver si este hace que la desigualdad sea verdadera.

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Paso 9.4.1

Elije un valor en el intervalo $x > 5$ y ve si este valor hace que la desigualdad original sea verdadera.

$x = 8$

Paso 9.4.2

Reemplaza $x$ con $8$ en la desigualdad original.

${(8)}^{5} - 25 {(8)}^{3} < 0$

Paso 9.4.3

$19968$ del lado izquierdo no es menor que $0$ del lado derecho, lo que significa que el enunciado dado es falso.

False

Paso 9.5

Compara los intervalos para determinar cuáles satisfacen la desigualdad original.

$x < - 5$ Verdadero

$- 5 < x < 0$ Falso

$0 < x < 5$ Verdadero

$x > 5$ Falso

$x < - 5$ Verdadero

$- 5 < x < 0$ Falso

$0 < x < 5$ Verdadero

$x > 5$ Falso

Paso 10

La solución consiste en todos los intervalos verdaderos.

$x < - 5$ o $0 < x < 5$

Paso 11

Convierte la desigualdad a notación de intervalo.

$(- \infty, - 5) \cup (0, 5)$

Paso 12