Matemática discreta Ejemplos

$3 b^{3} - 5 b^{2} + 2 b$

Paso 1

Si una función polinomial tiene coeficientes enteros, entonces todo cero racional tendrá la forma $\frac{p}{q}$ , donde $p$ es un factor de la constante y $q$ es un factor del coeficiente principal.

$p = \pm 0$

$q = \pm 1, \pm 3$

Paso 2

Obtén todas las combinaciones de $\pm \frac{p}{q}$ . Estas son las posibles raíces de la función polinomial.

$0$

Paso 3

Sustituye las posibles raíces una por una en el polinomio para obtener las raíces reales. Simplifica para comprobar si el valor es $0$ , lo que significa que es una raíz.

$3 {(0)}^{3} - 5 {(0)}^{2} + 2 (0)$

Paso 4

Simplifica la expresión. En este caso, la expresión es igual a $0$ , por lo que $b = 0$ es una raíz del polinomio.

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Paso 4.1

Simplifica cada término.

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Paso 4.1.1

Elevar $0$ a cualquier potencia positiva da como resultado $0$ .

$3 \cdot 0 - 5 {(0)}^{2} + 2 (0)$

Paso 4.1.2

Multiplica $3$ por $0$ .

$0 - 5 {(0)}^{2} + 2 (0)$

Paso 4.1.3

Elevar $0$ a cualquier potencia positiva da como resultado $0$ .

$0 - 5 \cdot 0 + 2 (0)$

Paso 4.1.4

Multiplica $- 5$ por $0$ .

$0 + 0 + 2 (0)$

Paso 4.1.5

Multiplica $2$ por $0$ .

$0 + 0 + 0$

Paso 4.2

Simplifica mediante la adición de números.

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Paso 4.2.1

Suma $0$ y $0$ .

$0 + 0$

Paso 4.2.2

Suma $0$ y $0$ .

$0$

Paso 5

Como $0$ es una raíz conocida, divide el polinomio por $b + 0$ para obtener el polinomio del cociente. Este polinomio luego se puede usar para obtener las raíces restantes.

$\frac{3 b^{3} - 5 b^{2} + 2 b}{b + 0}$

Paso 6

Luego, obtén las raíces del polinomio restante. El orden del polinomio se ha reducido por $1$ .

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Paso 6.1

Coloca los números que representan el divisor y el dividendo en una configuración tipo división.

$0$	$3$	$- 5$	$2$	$0$

Paso 6.2

El primer número en el dividendo $(3)$ se pone en la primera posición del área del resultado (debajo de la recta horizontal).

$0$	$3$	$- 5$	$2$	$0$

	$3$

Paso 6.3

Multiplica la entrada más reciente en el resultado $(3)$ por el divisor $(0)$ y coloca el resultado de $(0)$ debajo del siguiente término en el dividendo $(- 5)$ .

$0$	$3$	$- 5$	$2$	$0$
		$0$
	$3$

Paso 6.4

Suma el producto de la multiplicación y el número del dividendo y coloca el resultado en la siguiente posición en la línea del resultado.

$0$	$3$	$- 5$	$2$	$0$
		$0$
	$3$	$- 5$

Paso 6.5

Multiplica la entrada más reciente en el resultado $(- 5)$ por el divisor $(0)$ y coloca el resultado de $(0)$ debajo del siguiente término en el dividendo $(2)$ .

$0$	$3$	$- 5$	$2$	$0$
		$0$	$0$
	$3$	$- 5$

Paso 6.6

Suma el producto de la multiplicación y el número del dividendo y coloca el resultado en la siguiente posición en la línea del resultado.

$0$	$3$	$- 5$	$2$	$0$
		$0$	$0$
	$3$	$- 5$	$2$

Paso 6.7

Multiplica la entrada más reciente en el resultado $(2)$ por el divisor $(0)$ y coloca el resultado de $(0)$ debajo del siguiente término en el dividendo $(0)$ .

$0$	$3$	$- 5$	$2$	$0$
		$0$	$0$	$0$
	$3$	$- 5$	$2$

Paso 6.8

Suma el producto de la multiplicación y el número del dividendo y coloca el resultado en la siguiente posición en la línea del resultado.

$0$	$3$	$- 5$	$2$	$0$
		$0$	$0$	$0$
	$3$	$- 5$	$2$	$0$

Paso 6.9

Todos los números excepto el último se convierten en coeficientes del polinomio del cociente. El último valor de la línea del resultado es el resto.

$3 b^{2} + - 5 b + 2$

Paso 6.10

Simplifica el polinomio del cociente.

$3 b^{2} - 5 b + 2$

Paso 7

Factoriza por agrupación.

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Paso 7.1

Para un polinomio de la forma $a x^{2} + b x + c$ , reescribe el término medio como una suma de dos términos cuyo producto es $a \cdot c = 3 \cdot 2 = 6$ y cuya suma es $b = - 5$ .

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Paso 7.1.1

Factoriza $- 5$ de $- 5 b$ .

$(b + 0) + 3 b^{2} - 5 b + 2$

Paso 7.1.2

Reescribe $- 5$ como $- 2$ más $- 3$

$(b + 0) + 3 b^{2} + (- 2 - 3) b + 2$

Paso 7.1.3

Aplica la propiedad distributiva.

$(b + 0) + 3 b^{2} - 2 b - 3 b + 2$

Paso 7.2

Factoriza el máximo común divisor de cada grupo.

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Paso 7.2.1

Agrupa los dos primeros términos y los dos últimos términos.

$(b + 0) (3 b^{2} - 2 b) - 3 b + 2$

Paso 7.2.2

Factoriza el máximo común divisor (MCD) de cada grupo.

$(b + 0) + b (3 b - 2) - (3 b - 2)$

Paso 7.3

Factoriza el polinomio mediante la factorización del máximo común divisor, $3 b - 2$ .

$(b + 0) + (3 b - 2) (b - 1)$

$(b + 0) (3 b - 2) (b - 1)$

Paso 8

Factoriza el lado izquierdo de la ecuación.

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Paso 8.1

Factoriza $b$ de $3 b^{3} - 5 b^{2} + 2 b$ .

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Paso 8.1.1

Factoriza $b$ de $3 b^{3}$ .

$b (3 b^{2}) - 5 b^{2} + 2 b = 0$

Paso 8.1.2

Factoriza $b$ de $- 5 b^{2}$ .

$b (3 b^{2}) + b (- 5 b) + 2 b = 0$

Paso 8.1.3

Factoriza $b$ de $2 b$ .

$b (3 b^{2}) + b (- 5 b) + b \cdot 2 = 0$

Paso 8.1.4

Factoriza $b$ de $b (3 b^{2}) + b (- 5 b)$ .

$b (3 b^{2} - 5 b) + b \cdot 2 = 0$

Paso 8.1.5

Factoriza $b$ de $b (3 b^{2} - 5 b) + b \cdot 2$ .

$b (3 b^{2} - 5 b + 2) = 0$

Paso 8.2

Factoriza.

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Paso 8.2.1

Factoriza por agrupación.

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Paso 8.2.1.1

Para un polinomio de la forma $a x^{2} + b x + c$ , reescribe el término medio como una suma de dos términos cuyo producto es $a \cdot c = 3 \cdot 2 = 6$ y cuya suma es $b = - 5$ .

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Paso 8.2.1.1.1

Factoriza $- 5$ de $- 5 b$ .

$b (3 b^{2} - 5 b + 2) = 0$

Paso 8.2.1.1.2

Reescribe $- 5$ como $- 2$ más $- 3$

$b (3 b^{2} + (- 2 - 3) b + 2) = 0$

Paso 8.2.1.1.3

Aplica la propiedad distributiva.

$b (3 b^{2} - 2 b - 3 b + 2) = 0$

Paso 8.2.1.2

Factoriza el máximo común divisor de cada grupo.

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Paso 8.2.1.2.1

Agrupa los dos primeros términos y los dos últimos términos.

$b ((3 b^{2} - 2 b) - 3 b + 2) = 0$

Paso 8.2.1.2.2

Factoriza el máximo común divisor (MCD) de cada grupo.

$b (b (3 b - 2) - (3 b - 2)) = 0$

Paso 8.2.1.3

Factoriza el polinomio mediante la factorización del máximo común divisor, $3 b - 2$ .

$b ((3 b - 2) (b - 1)) = 0$

Paso 8.2.2

Elimina los paréntesis innecesarios.

$b (3 b - 2) (b - 1) = 0$

Paso 9

Si cualquier factor individual en el lado izquierdo de la ecuación es igual a $0$ , la expresión completa será igual a $0$ .

$b = 0$

$3 b - 2 = 0$

$b - 1 = 0$

Paso 10

Establece $b$ igual a $0$ .

$b = 0$

Paso 11

Establece $3 b - 2$ igual a $0$ y resuelve $b$ .

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Paso 11.1

Establece $3 b - 2$ igual a $0$ .

$3 b - 2 = 0$

Paso 11.2

Resuelve $3 b - 2 = 0$ en $b$ .

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Paso 11.2.1

Suma $2$ a ambos lados de la ecuación.

$3 b = 2$

Paso 11.2.2

Divide cada término en $3 b = 2$ por $3$ y simplifica.

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Paso 11.2.2.1

Divide cada término en $3 b = 2$ por $3$ .

$\frac{3 b}{3} = \frac{2}{3}$

Paso 11.2.2.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 11.2.2.2.1

Cancela el factor común de $3$ .

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Paso 11.2.2.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{3 b}{3} = \frac{2}{3}$

Paso 11.2.2.2.1.2

Divide $b$ por $1$ .

$b = \frac{2}{3}$

Paso 12

Establece $b - 1$ igual a $0$ y resuelve $b$ .

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Paso 12.1

Establece $b - 1$ igual a $0$ .

$b - 1 = 0$

Paso 12.2

Suma $1$ a ambos lados de la ecuación.

$b = 1$

Paso 13

La solución final comprende todos los valores que hacen $b (3 b - 2) (b - 1) = 0$ verdadera.

$b = 0, \frac{2}{3}, 1$

Paso 14