Matemática discreta Ejemplos

$2 x^{10} - 6 x^{9} + 10 x^{9} - 126 x^{8}$

Paso 1

Suma $- 6 x^{9}$ y $10 x^{9}$ .

$y = 2 x^{10} + 4 x^{9} - 126 x^{8}$

Paso 2

Si una función polinomial tiene coeficientes enteros, entonces todo cero racional tendrá la forma $\frac{p}{q}$ , donde $p$ es un factor de la constante y $q$ es un factor del coeficiente principal.

$p = \pm 0$

$q = \pm 1, \pm 2$

Paso 3

Obtén todas las combinaciones de $\pm \frac{p}{q}$ . Estas son las posibles raíces de la función polinomial.

$0$

Paso 4

Sustituye las posibles raíces una por una en el polinomio para obtener las raíces reales. Simplifica para comprobar si el valor es $0$ , lo que significa que es una raíz.

$2 {(0)}^{10} + 4 {(0)}^{9} - 126 {(0)}^{8}$

Paso 5

Simplifica la expresión. En este caso, la expresión es igual a $0$ , por lo que $x = 0$ es una raíz del polinomio.

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Paso 5.1

Simplifica cada término.

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Paso 5.1.1

Elevar $0$ a cualquier potencia positiva da como resultado $0$ .

$2 \cdot 0 + 4 {(0)}^{9} - 126 {(0)}^{8}$

Paso 5.1.2

Multiplica $2$ por $0$ .

$0 + 4 {(0)}^{9} - 126 {(0)}^{8}$

Paso 5.1.3

Elevar $0$ a cualquier potencia positiva da como resultado $0$ .

$0 + 4 \cdot 0 - 126 {(0)}^{8}$

Paso 5.1.4

Multiplica $4$ por $0$ .

$0 + 0 - 126 {(0)}^{8}$

Paso 5.1.5

Elevar $0$ a cualquier potencia positiva da como resultado $0$ .

$0 + 0 - 126 \cdot 0$

Paso 5.1.6

Multiplica $- 126$ por $0$ .

$0 + 0 + 0$

$0 + 0 + 0$

Paso 5.2

Simplifica mediante la adición de números.

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Paso 5.2.1

Suma $0$ y $0$ .

$0 + 0$

Paso 5.2.2

Suma $0$ y $0$ .

$0$

$0$

$0$

Paso 6

Como $0$ es una raíz conocida, divide el polinomio por $x + 0$ para obtener el polinomio del cociente. Este polinomio luego se puede usar para obtener las raíces restantes.

$\frac{2 x^{10} + 4 x^{9} - 126 x^{8}}{x + 0}$

Paso 7

Luego, obtén las raíces del polinomio restante. El orden del polinomio se ha reducido por $1$ .

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Paso 7.1

Coloca los números que representan el divisor y el dividendo en una configuración tipo división.

$0$	$2$	$4$	$- 126$	$0$	$0$	$0$	$0$	$0$	$0$	$0$	$0$

Paso 7.2

El primer número en el dividendo $(2)$ se pone en la primera posición del área del resultado (debajo de la recta horizontal).

$0$	$2$	$4$	$- 126$	$0$	$0$	$0$	$0$	$0$	$0$	$0$	$0$

	$2$

Paso 7.3

Multiplica la entrada más reciente en el resultado $(2)$ por el divisor $(0)$ y coloca el resultado de $(0)$ debajo del siguiente término en el dividendo $(4)$ .

$0$	$2$	$4$	$- 126$	$0$	$0$	$0$	$0$	$0$	$0$	$0$	$0$
		$0$
	$2$

Paso 7.4

Suma el producto de la multiplicación y el número del dividendo y coloca el resultado en la siguiente posición en la línea del resultado.

$0$	$2$	$4$	$- 126$	$0$	$0$	$0$	$0$	$0$	$0$	$0$	$0$
		$0$
	$2$	$4$

Paso 7.5

Multiplica la entrada más reciente en el resultado $(4)$ por el divisor $(0)$ y coloca el resultado de $(0)$ debajo del siguiente término en el dividendo $(- 126)$ .

$0$	$2$	$4$	$- 126$	$0$	$0$	$0$	$0$	$0$	$0$	$0$	$0$
		$0$	$0$
	$2$	$4$

Paso 7.6

Suma el producto de la multiplicación y el número del dividendo y coloca el resultado en la siguiente posición en la línea del resultado.

$0$	$2$	$4$	$- 126$	$0$	$0$	$0$	$0$	$0$	$0$	$0$	$0$
		$0$	$0$
	$2$	$4$	$- 126$

Paso 7.7

Multiplica la entrada más reciente en el resultado $(- 126)$ por el divisor $(0)$ y coloca el resultado de $(0)$ debajo del siguiente término en el dividendo $(0)$ .

$0$	$2$	$4$	$- 126$	$0$	$0$	$0$	$0$	$0$	$0$	$0$	$0$
		$0$	$0$	$0$
	$2$	$4$	$- 126$

Paso 7.8

Suma el producto de la multiplicación y el número del dividendo y coloca el resultado en la siguiente posición en la línea del resultado.

$0$	$2$	$4$	$- 126$	$0$	$0$	$0$	$0$	$0$	$0$	$0$	$0$
		$0$	$0$	$0$
	$2$	$4$	$- 126$	$0$

Paso 7.9

Multiplica la entrada más reciente en el resultado $(0)$ por el divisor $(0)$ y coloca el resultado de $(0)$ debajo del siguiente término en el dividendo $(0)$ .

$0$	$2$	$4$	$- 126$	$0$	$0$	$0$	$0$	$0$	$0$	$0$	$0$
		$0$	$0$	$0$	$0$
	$2$	$4$	$- 126$	$0$

Paso 7.10

Suma el producto de la multiplicación y el número del dividendo y coloca el resultado en la siguiente posición en la línea del resultado.

$0$	$2$	$4$	$- 126$	$0$	$0$	$0$	$0$	$0$	$0$	$0$	$0$
		$0$	$0$	$0$	$0$
	$2$	$4$	$- 126$	$0$	$0$

Paso 7.11

Multiplica la entrada más reciente en el resultado $(0)$ por el divisor $(0)$ y coloca el resultado de $(0)$ debajo del siguiente término en el dividendo $(0)$ .

$0$	$2$	$4$	$- 126$	$0$	$0$	$0$	$0$	$0$	$0$	$0$	$0$
		$0$	$0$	$0$	$0$	$0$
	$2$	$4$	$- 126$	$0$	$0$

Paso 7.12

Suma el producto de la multiplicación y el número del dividendo y coloca el resultado en la siguiente posición en la línea del resultado.

$0$	$2$	$4$	$- 126$	$0$	$0$	$0$	$0$	$0$	$0$	$0$	$0$
		$0$	$0$	$0$	$0$	$0$
	$2$	$4$	$- 126$	$0$	$0$	$0$

Paso 7.13

Multiplica la entrada más reciente en el resultado $(0)$ por el divisor $(0)$ y coloca el resultado de $(0)$ debajo del siguiente término en el dividendo $(0)$ .

$0$	$2$	$4$	$- 126$	$0$	$0$	$0$	$0$	$0$	$0$	$0$	$0$
		$0$	$0$	$0$	$0$	$0$	$0$
	$2$	$4$	$- 126$	$0$	$0$	$0$

Paso 7.14

Suma el producto de la multiplicación y el número del dividendo y coloca el resultado en la siguiente posición en la línea del resultado.

$0$	$2$	$4$	$- 126$	$0$	$0$	$0$	$0$	$0$	$0$	$0$	$0$
		$0$	$0$	$0$	$0$	$0$	$0$
	$2$	$4$	$- 126$	$0$	$0$	$0$	$0$

Paso 7.15

Multiplica la entrada más reciente en el resultado $(0)$ por el divisor $(0)$ y coloca el resultado de $(0)$ debajo del siguiente término en el dividendo $(0)$ .

$0$	$2$	$4$	$- 126$	$0$	$0$	$0$	$0$	$0$	$0$	$0$	$0$
		$0$	$0$	$0$	$0$	$0$	$0$	$0$
	$2$	$4$	$- 126$	$0$	$0$	$0$	$0$

Paso 7.16

Suma el producto de la multiplicación y el número del dividendo y coloca el resultado en la siguiente posición en la línea del resultado.

$0$	$2$	$4$	$- 126$	$0$	$0$	$0$	$0$	$0$	$0$	$0$	$0$
		$0$	$0$	$0$	$0$	$0$	$0$	$0$
	$2$	$4$	$- 126$	$0$	$0$	$0$	$0$	$0$

Paso 7.17

Multiplica la entrada más reciente en el resultado $(0)$ por el divisor $(0)$ y coloca el resultado de $(0)$ debajo del siguiente término en el dividendo $(0)$ .

$0$	$2$	$4$	$- 126$	$0$	$0$	$0$	$0$	$0$	$0$	$0$	$0$
		$0$	$0$	$0$	$0$	$0$	$0$	$0$	$0$
	$2$	$4$	$- 126$	$0$	$0$	$0$	$0$	$0$

Paso 7.18

Suma el producto de la multiplicación y el número del dividendo y coloca el resultado en la siguiente posición en la línea del resultado.

$0$	$2$	$4$	$- 126$	$0$	$0$	$0$	$0$	$0$	$0$	$0$	$0$
		$0$	$0$	$0$	$0$	$0$	$0$	$0$	$0$
	$2$	$4$	$- 126$	$0$	$0$	$0$	$0$	$0$	$0$

Paso 7.19

Multiplica la entrada más reciente en el resultado $(0)$ por el divisor $(0)$ y coloca el resultado de $(0)$ debajo del siguiente término en el dividendo $(0)$ .

$0$	$2$	$4$	$- 126$	$0$	$0$	$0$	$0$	$0$	$0$	$0$	$0$
		$0$	$0$	$0$	$0$	$0$	$0$	$0$	$0$	$0$
	$2$	$4$	$- 126$	$0$	$0$	$0$	$0$	$0$	$0$

Paso 7.20

Suma el producto de la multiplicación y el número del dividendo y coloca el resultado en la siguiente posición en la línea del resultado.

$0$	$2$	$4$	$- 126$	$0$	$0$	$0$	$0$	$0$	$0$	$0$	$0$
		$0$	$0$	$0$	$0$	$0$	$0$	$0$	$0$	$0$
	$2$	$4$	$- 126$	$0$	$0$	$0$	$0$	$0$	$0$	$0$

Paso 7.21

Multiplica la entrada más reciente en el resultado $(0)$ por el divisor $(0)$ y coloca el resultado de $(0)$ debajo del siguiente término en el dividendo $(0)$ .

$0$	$2$	$4$	$- 126$	$0$	$0$	$0$	$0$	$0$	$0$	$0$	$0$
		$0$	$0$	$0$	$0$	$0$	$0$	$0$	$0$	$0$	$0$
	$2$	$4$	$- 126$	$0$	$0$	$0$	$0$	$0$	$0$	$0$

Paso 7.22

Suma el producto de la multiplicación y el número del dividendo y coloca el resultado en la siguiente posición en la línea del resultado.

$0$	$2$	$4$	$- 126$	$0$	$0$	$0$	$0$	$0$	$0$	$0$	$0$
		$0$	$0$	$0$	$0$	$0$	$0$	$0$	$0$	$0$	$0$
	$2$	$4$	$- 126$	$0$	$0$	$0$	$0$	$0$	$0$	$0$	$0$

Paso 7.23

Todos los números excepto el último se convierten en coeficientes del polinomio del cociente. El último valor de la línea del resultado es el resto.

$2 x^{9} + 4 x^{8} - 126 x^{7} + 0 x^{6} + 0 x^{5} + 0 x^{4} + 0 x^{3} + 0 x^{2} + (0) x + 0$

Paso 7.24

Simplifica el polinomio del cociente.

$2 x^{9} + 4 x^{8} - 126 x^{7}$

$2 x^{9} + 4 x^{8} - 126 x^{7}$

Paso 8

Factoriza $2 x^{7}$ de $2 x^{9} + 4 x^{8} - 126 x^{7}$ .

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Paso 8.1

Factoriza $2 x^{7}$ de $2 x^{9}$ .

$(x + 0) (2 x^{7} (x^{2}) + 4 x^{8} - 126 x^{7})$

Paso 8.2

Factoriza $2 x^{7}$ de $4 x^{8}$ .

$(x + 0) (2 x^{7} (x^{2}) + 2 x^{7} (2 x) - 126 x^{7})$

Paso 8.3

Factoriza $2 x^{7}$ de $- 126 x^{7}$ .

$(x + 0) (2 x^{7} (x^{2}) + 2 x^{7} (2 x) + 2 x^{7} (- 63))$

Paso 8.4

Factoriza $2 x^{7}$ de $2 x^{7} (x^{2}) + 2 x^{7} (2 x)$ .

$(x + 0) (2 x^{7} (x^{2} + 2 x) + 2 x^{7} (- 63))$

Paso 8.5

Factoriza $2 x^{7}$ de $2 x^{7} (x^{2} + 2 x) + 2 x^{7} (- 63)$ .

$(x + 0) (2 x^{7} (x^{2} + 2 x - 63))$

$(x + 0) (2 x^{7} (x^{2} + 2 x - 63))$

Paso 9

Factoriza.

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Paso 9.1

Factoriza $x^{2} + 2 x - 63$ con el método AC.

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Paso 9.1.1

Considera la forma $x^{2} + b x + c$ . Encuentra un par de números enteros cuyo producto sea $c$ y cuya suma sea $b$ . En este caso, cuyo producto es $- 63$ y cuya suma es $2$ .

$- 7, 9$

Paso 9.1.2

Escribe la forma factorizada mediante estos números enteros.

$(x + 0) (2 x^{7} ((x - 7) (x + 9)))$

$(x + 0) (2 x^{7} ((x - 7) (x + 9)))$

Paso 9.2

Elimina los paréntesis innecesarios.

$(x + 0) (2 x^{7} (x - 7) (x + 9))$

$(x + 0) (2 x^{7} (x - 7) (x + 9))$

Paso 10

Suma $- 6 x^{9}$ y $10 x^{9}$ .

$2 x^{10} + 4 x^{9} - 126 x^{8} = 0$

Paso 11

Factoriza el lado izquierdo de la ecuación.

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Paso 11.1

Factoriza $2 x^{8}$ de $2 x^{10} + 4 x^{9} - 126 x^{8}$ .

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Paso 11.1.1

Factoriza $2 x^{8}$ de $2 x^{10}$ .

$2 x^{8} (x^{2}) + 4 x^{9} - 126 x^{8} = 0$

Paso 11.1.2

Factoriza $2 x^{8}$ de $4 x^{9}$ .

$2 x^{8} (x^{2}) + 2 x^{8} (2 x) - 126 x^{8} = 0$

Paso 11.1.3

Factoriza $2 x^{8}$ de $- 126 x^{8}$ .

$2 x^{8} (x^{2}) + 2 x^{8} (2 x) + 2 x^{8} (- 63) = 0$

Paso 11.1.4

Factoriza $2 x^{8}$ de $2 x^{8} (x^{2}) + 2 x^{8} (2 x)$ .

$2 x^{8} (x^{2} + 2 x) + 2 x^{8} (- 63) = 0$

Paso 11.1.5

Factoriza $2 x^{8}$ de $2 x^{8} (x^{2} + 2 x) + 2 x^{8} (- 63)$ .

$2 x^{8} (x^{2} + 2 x - 63) = 0$

$2 x^{8} (x^{2} + 2 x - 63) = 0$

Paso 11.2

Factoriza.

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Paso 11.2.1

Factoriza $x^{2} + 2 x - 63$ con el método AC.

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Paso 11.2.1.1

Considera la forma $x^{2} + b x + c$ . Encuentra un par de números enteros cuyo producto sea $c$ y cuya suma sea $b$ . En este caso, cuyo producto es $- 63$ y cuya suma es $2$ .

$- 7, 9$

Paso 11.2.1.2

Escribe la forma factorizada mediante estos números enteros.

$2 x^{8} ((x - 7) (x + 9)) = 0$

$2 x^{8} ((x - 7) (x + 9)) = 0$

Paso 11.2.2

Elimina los paréntesis innecesarios.

$2 x^{8} (x - 7) (x + 9) = 0$

$2 x^{8} (x - 7) (x + 9) = 0$

$2 x^{8} (x - 7) (x + 9) = 0$

Paso 12

Si cualquier factor individual en el lado izquierdo de la ecuación es igual a $0$ , la expresión completa será igual a $0$ .

$x^{8} = 0$

$x - 7 = 0$

$x + 9 = 0$

Paso 13

Establece $x^{8}$ igual a $0$ y resuelve $x$ .

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Paso 13.1

Establece $x^{8}$ igual a $0$ .

$x^{8} = 0$

Paso 13.2

Resuelve $x^{8} = 0$ en $x$ .

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Paso 13.2.1

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt[8]{0}$

Paso 13.2.2

Simplifica $\pm \sqrt[8]{0}$ .

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Paso 13.2.2.1

Reescribe $0$ como $0^{8}$ .

$x = \pm \sqrt[8]{0^{8}}$

Paso 13.2.2.2

Extrae los términos de abajo del radical, bajo el supuesto de que tienes números reales positivos.

$x = \pm 0$

Paso 13.2.2.3

Más o menos $0$ es $0$ .

$x = 0$

$x = 0$

$x = 0$

$x = 0$

Paso 14

Establece $x - 7$ igual a $0$ y resuelve $x$ .

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Paso 14.1

Establece $x - 7$ igual a $0$ .

$x - 7 = 0$

Paso 14.2

Suma $7$ a ambos lados de la ecuación.

$x = 7$

$x = 7$

Paso 15

Establece $x + 9$ igual a $0$ y resuelve $x$ .

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Paso 15.1

Establece $x + 9$ igual a $0$ .

$x + 9 = 0$

Paso 15.2

Resta $9$ de ambos lados de la ecuación.

$x = - 9$

$x = - 9$

Paso 16

La solución final comprende todos los valores que hacen $2 x^{8} (x - 7) (x + 9) = 0$ verdadera.

$x = 0, 7, - 9$

Paso 17

$[\begin{array}{c} x^{2} & \frac{1}{2} \\ \sqrt{π} & \int x d x \end{array}]$