Matemática discreta Ejemplos

$- 16 t^{2} + 48 t + 5440$

Paso 1

Si una función polinomial tiene coeficientes enteros, entonces todo cero racional tendrá la forma $\frac{p}{q}$ , donde $p$ es un factor de la constante y $q$ es un factor del coeficiente principal.

$p = \pm 1, \pm 2, \pm 4, \pm 5, \pm 8, \pm 10, \pm 16, \pm 17, \pm 20, \pm 32, \pm 34, \pm 40, \pm 64, \pm 68, \pm 80, \pm 85, \pm 136, \pm 160, \pm 170, \pm 272, \pm 320, \pm 340, \pm 544, \pm 680, \pm 1088, \pm 1360, \pm 2720, \pm 5440$

$q = \pm 1, \pm 2, \pm 4, \pm 8, \pm 16$

Paso 2

Obtén todas las combinaciones de $\pm \frac{p}{q}$ . Estas son las posibles raíces de la función polinomial.

$\pm 1, \pm \frac{1}{2}, \pm \frac{1}{4}, \pm \frac{1}{8}, \pm \frac{1}{16}, \pm 2, \pm 4, \pm 5, \pm \frac{5}{2}, \pm \frac{5}{4}, \pm \frac{5}{8}, \pm \frac{5}{16}, \pm 8, \pm 10, \pm 16, \pm 17, \pm \frac{17}{2}, \pm \frac{17}{4}, \pm \frac{17}{8}, \pm \frac{17}{16}, \pm 20, \pm 32, \pm 34, \pm 40, \pm 64, \pm 68, \pm 80, \pm 85, \pm \frac{85}{2}, \pm \frac{85}{4}, \pm \frac{85}{8}, \pm \frac{85}{16}, \pm 136, \pm 160, \pm 170, \pm 272, \pm 320, \pm 340, \pm 544, \pm 680, \pm 1088, \pm 1360, \pm 2720, \pm 5440$

Paso 3

Sustituye las posibles raíces una por una en el polinomio para obtener las raíces reales. Simplifica para comprobar si el valor es $0$ , lo que significa que es una raíz.

$- 16 {(- 17)}^{2} + 48 (- 17) + 5440$

Paso 4

Simplifica la expresión. En este caso, la expresión es igual a $0$ , por lo que $t = - 17$ es una raíz del polinomio.

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Paso 4.1

Simplifica cada término.

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Paso 4.1.1

Eleva $- 17$ a la potencia de $2$ .

$- 16 \cdot 289 + 48 (- 17) + 5440$

Paso 4.1.2

Multiplica $- 16$ por $289$ .

$- 4624 + 48 (- 17) + 5440$

Paso 4.1.3

Multiplica $48$ por $- 17$ .

$- 4624 - 816 + 5440$

Paso 4.2

Simplifica mediante suma y resta.

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Paso 4.2.1

Resta $816$ de $- 4624$ .

$- 5440 + 5440$

Paso 4.2.2

Suma $- 5440$ y $5440$ .

$0$

Paso 5

Como $- 17$ es una raíz conocida, divide el polinomio por $t + 17$ para obtener el polinomio del cociente. Este polinomio luego se puede usar para obtener las raíces restantes.

$\frac{- 16 t^{2} + 48 t + 5440}{t + 17}$

Paso 6

Luego, obtén las raíces del polinomio restante. El orden del polinomio se ha reducido por $1$ .

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Paso 6.1

Coloca los números que representan el divisor y el dividendo en una configuración tipo división.

$- 17$	$- 16$	$48$	$5440$

Paso 6.2

El primer número en el dividendo $(- 16)$ se pone en la primera posición del área del resultado (debajo de la recta horizontal).

$- 17$	$- 16$	$48$	$5440$

	$- 16$

Paso 6.3

Multiplica la entrada más reciente en el resultado $(- 16)$ por el divisor $(- 17)$ y coloca el resultado de $(272)$ debajo del siguiente término en el dividendo $(48)$ .

$- 17$	$- 16$	$48$	$5440$
		$272$
	$- 16$

Paso 6.4

Suma el producto de la multiplicación y el número del dividendo y coloca el resultado en la siguiente posición en la línea del resultado.

$- 17$	$- 16$	$48$	$5440$
		$272$
	$- 16$	$320$

Paso 6.5

Multiplica la entrada más reciente en el resultado $(320)$ por el divisor $(- 17)$ y coloca el resultado de $(- 5440)$ debajo del siguiente término en el dividendo $(5440)$ .

$- 17$	$- 16$	$48$	$5440$
		$272$	$- 5440$
	$- 16$	$320$

Paso 6.6

Suma el producto de la multiplicación y el número del dividendo y coloca el resultado en la siguiente posición en la línea del resultado.

$- 17$	$- 16$	$48$	$5440$
		$272$	$- 5440$
	$- 16$	$320$	$0$

Paso 6.7

Todos los números excepto el último se convierten en coeficientes del polinomio del cociente. El último valor de la línea del resultado es el resto.

$(- 16) t + 320$

Paso 6.8

Simplifica el polinomio del cociente.

$- 16 t + 320$

Paso 7

Factoriza $16$ de $- 16 t + 320$ .

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Paso 7.1

Factoriza $16$ de $- 16 t$ .

$(t + 17) (16 (- t) + 320)$

Paso 7.2

Factoriza $16$ de $320$ .

$(t + 17) (16 (- t) + 16 (20))$

Paso 7.3

Factoriza $16$ de $16 (- t) + 16 (20)$ .

$(t + 17) (16 (- t + 20))$

Paso 8

Factoriza el lado izquierdo de la ecuación.

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Paso 8.1

Factoriza $- 16$ de $- 16 t^{2} + 48 t + 5440$ .

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Paso 8.1.1

Factoriza $- 16$ de $- 16 t^{2}$ .

$- 16 t^{2} + 48 t + 5440 = 0$

Paso 8.1.2

Factoriza $- 16$ de $48 t$ .

$- 16 t^{2} - 16 (- 3 t) + 5440 = 0$

Paso 8.1.3

Factoriza $- 16$ de $5440$ .

$- 16 t^{2} - 16 (- 3 t) - 16 \cdot - 340 = 0$

Paso 8.1.4

Factoriza $- 16$ de $- 16 (t^{2}) - 16 (- 3 t)$ .

$- 16 (t^{2} - 3 t) - 16 \cdot - 340 = 0$

Paso 8.1.5

Factoriza $- 16$ de $- 16 (t^{2} - 3 t) - 16 (- 340)$ .

$- 16 (t^{2} - 3 t - 340) = 0$

Paso 8.2

Factoriza.

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Paso 8.2.1

Factoriza $t^{2} - 3 t - 340$ con el método AC.

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Paso 8.2.1.1

Considera la forma $x^{2} + b x + c$ . Encuentra un par de números enteros cuyo producto sea $c$ y cuya suma sea $b$ . En este caso, cuyo producto es $- 340$ y cuya suma es $- 3$ .

$- 20, 17$

Paso 8.2.1.2

Escribe la forma factorizada mediante estos números enteros.

$- 16 ((t - 20) (t + 17)) = 0$

Paso 8.2.2

Elimina los paréntesis innecesarios.

$- 16 (t - 20) (t + 17) = 0$

Paso 9

Si cualquier factor individual en el lado izquierdo de la ecuación es igual a $0$ , la expresión completa será igual a $0$ .

$t - 20 = 0$

$t + 17 = 0$

Paso 10

Establece $t - 20$ igual a $0$ y resuelve $t$ .

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Paso 10.1

Establece $t - 20$ igual a $0$ .

$t - 20 = 0$

Paso 10.2

Suma $20$ a ambos lados de la ecuación.

$t = 20$

Paso 11

Establece $t + 17$ igual a $0$ y resuelve $t$ .

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Paso 11.1

Establece $t + 17$ igual a $0$ .

$t + 17 = 0$

Paso 11.2

Resta $17$ de ambos lados de la ecuación.

$t = - 17$

Paso 12

La solución final comprende todos los valores que hacen $- 16 (t - 20) (t + 17) = 0$ verdadera.

$t = 20, - 17$

Paso 13