Matemática discreta Ejemplos

$5 x^{2} - 3 x - 2$

Paso 1

Si una función polinomial tiene coeficientes enteros, entonces todo cero racional tendrá la forma $\frac{p}{q}$ , donde $p$ es un factor de la constante y $q$ es un factor del coeficiente principal.

$p = \pm 1, \pm 2$

$q = \pm 1, \pm 5$

Paso 2

Obtén todas las combinaciones de $\pm \frac{p}{q}$ . Estas son las posibles raíces de la función polinomial.

$\pm 1, \pm \frac{1}{5}, \pm 2, \pm \frac{2}{5}$

Paso 3

Sustituye las posibles raíces una por una en el polinomio para obtener las raíces reales. Simplifica para comprobar si el valor es $0$ , lo que significa que es una raíz.

$5 {(1)}^{2} - 3 \cdot 1 - 2$

Paso 4

Simplifica la expresión. En este caso, la expresión es igual a $0$ , por lo que $x = 1$ es una raíz del polinomio.

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Paso 4.1

Simplifica cada término.

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Paso 4.1.1

Uno elevado a cualquier potencia es uno.

$5 \cdot 1 - 3 \cdot 1 - 2$

Paso 4.1.2

Multiplica $5$ por $1$ .

$5 - 3 \cdot 1 - 2$

Paso 4.1.3

Multiplica $- 3$ por $1$ .

$5 - 3 - 2$

Paso 4.2

Simplifica mediante la resta de números.

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Paso 4.2.1

Resta $3$ de $5$ .

$2 - 2$

Paso 4.2.2

Resta $2$ de $2$ .

$0$

Paso 5

Como $1$ es una raíz conocida, divide el polinomio por $x - 1$ para obtener el polinomio del cociente. Este polinomio luego se puede usar para obtener las raíces restantes.

$\frac{5 x^{2} - 3 x - 2}{x - 1}$

Paso 6

Luego, obtén las raíces del polinomio restante. El orden del polinomio se ha reducido por $1$ .

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Paso 6.1

Coloca los números que representan el divisor y el dividendo en una configuración tipo división.

$1$	$5$	$- 3$	$- 2$

Paso 6.2

El primer número en el dividendo $(5)$ se pone en la primera posición del área del resultado (debajo de la recta horizontal).

$1$	$5$	$- 3$	$- 2$

	$5$

Paso 6.3

Multiplica la entrada más reciente en el resultado $(5)$ por el divisor $(1)$ y coloca el resultado de $(5)$ debajo del siguiente término en el dividendo $(- 3)$ .

$1$	$5$	$- 3$	$- 2$
		$5$
	$5$

Paso 6.4

Suma el producto de la multiplicación y el número del dividendo y coloca el resultado en la siguiente posición en la línea del resultado.

$1$	$5$	$- 3$	$- 2$
		$5$
	$5$	$2$

Paso 6.5

Multiplica la entrada más reciente en el resultado $(2)$ por el divisor $(1)$ y coloca el resultado de $(2)$ debajo del siguiente término en el dividendo $(- 2)$ .

$1$	$5$	$- 3$	$- 2$
		$5$	$2$
	$5$	$2$

Paso 6.6

Suma el producto de la multiplicación y el número del dividendo y coloca el resultado en la siguiente posición en la línea del resultado.

$1$	$5$	$- 3$	$- 2$
		$5$	$2$
	$5$	$2$	$0$

Paso 6.7

Todos los números excepto el último se convierten en coeficientes del polinomio del cociente. El último valor de la línea del resultado es el resto.

$(5) x + 2$

Paso 6.8

Simplifica el polinomio del cociente.

$5 x + 2$

Paso 7

Resuelve la ecuación para obtener las raíces restantes.

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Paso 7.1

Resta $2$ de ambos lados de la ecuación.

$5 x = - 2$

Paso 7.2

Divide cada término en $5 x = - 2$ por $5$ y simplifica.

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Paso 7.2.1

Divide cada término en $5 x = - 2$ por $5$ .

$\frac{5 x}{5} = \frac{- 2}{5}$

Paso 7.2.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 7.2.2.1

Cancela el factor común de $5$ .

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Paso 7.2.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{5 x}{5} = \frac{- 2}{5}$

Paso 7.2.2.1.2

Divide $x$ por $1$ .

$x = \frac{- 2}{5}$

Paso 7.2.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 7.2.3.1

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$x = - \frac{2}{5}$

Paso 8

El polinomio puede escribirse como un conjunto de factores lineales.

$(x - 1) (x + \frac{2}{5})$

Paso 9

Estas son las raíces (ceros) del polinomio $5 x^{2} - 3 x - 2$ .

$x = 1, - \frac{2}{5}$

Paso 10