Matemática discreta Ejemplos

$42 x^{4} + 335 x^{3} + 663 x^{2} - 24 x - 16$

Paso 1

Si una función polinomial tiene coeficientes enteros, entonces todo cero racional tendrá la forma $\frac{p}{q}$ , donde $p$ es un factor de la constante y $q$ es un factor del coeficiente principal.

$p = \pm 1, \pm 2, \pm 4, \pm 8, \pm 16$

$q = \pm 1, \pm 2, \pm 3, \pm 6, \pm 7, \pm 14, \pm 21, \pm 42$

Paso 2

Obtén todas las combinaciones de $\pm \frac{p}{q}$ . Estas son las posibles raíces de la función polinomial.

$\pm 1, \pm \frac{1}{2}, \pm \frac{1}{3}, \pm \frac{1}{6}, \pm \frac{1}{7}, \pm \frac{1}{14}, \pm \frac{1}{21}, \pm \frac{1}{42}, \pm 2, \pm \frac{2}{3}, \pm \frac{2}{7}, \pm \frac{2}{21}, \pm 4, \pm \frac{4}{3}, \pm \frac{4}{7}, \pm \frac{4}{21}, \pm 8, \pm \frac{8}{3}, \pm \frac{8}{7}, \pm \frac{8}{21}, \pm 16, \pm \frac{16}{3}, \pm \frac{16}{7}, \pm \frac{16}{21}$

Paso 3

Sustituye las posibles raíces una por una en el polinomio para obtener las raíces reales. Simplifica para comprobar si el valor es $0$ , lo que significa que es una raíz.

$42 {(- 4)}^{4} + 335 {(- 4)}^{3} + 663 {(- 4)}^{2} - 24 \cdot - 4 - 16$

Paso 4

Simplifica la expresión. En este caso, la expresión es igual a $0$ , por lo que $x = - 4$ es una raíz del polinomio.

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Paso 4.1

Simplifica cada término.

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Paso 4.1.1

Eleva $- 4$ a la potencia de $4$ .

$42 \cdot 256 + 335 {(- 4)}^{3} + 663 {(- 4)}^{2} - 24 \cdot - 4 - 16$

Paso 4.1.2

Multiplica $42$ por $256$ .

$10752 + 335 {(- 4)}^{3} + 663 {(- 4)}^{2} - 24 \cdot - 4 - 16$

Paso 4.1.3

Eleva $- 4$ a la potencia de $3$ .

$10752 + 335 \cdot - 64 + 663 {(- 4)}^{2} - 24 \cdot - 4 - 16$

Paso 4.1.4

Multiplica $335$ por $- 64$ .

$10752 - 21440 + 663 {(- 4)}^{2} - 24 \cdot - 4 - 16$

Paso 4.1.5

Eleva $- 4$ a la potencia de $2$ .

$10752 - 21440 + 663 \cdot 16 - 24 \cdot - 4 - 16$

Paso 4.1.6

Multiplica $663$ por $16$ .

$10752 - 21440 + 10608 - 24 \cdot - 4 - 16$

Paso 4.1.7

Multiplica $- 24$ por $- 4$ .

$10752 - 21440 + 10608 + 96 - 16$

Paso 4.2

Simplifica mediante suma y resta.

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Paso 4.2.1

Resta $21440$ de $10752$ .

$- 10688 + 10608 + 96 - 16$

Paso 4.2.2

Suma $- 10688$ y $10608$ .

$- 80 + 96 - 16$

Paso 4.2.3

Suma $- 80$ y $96$ .

$16 - 16$

Paso 4.2.4

Resta $16$ de $16$ .

$0$

Paso 5

Como $- 4$ es una raíz conocida, divide el polinomio por $x + 4$ para obtener el polinomio del cociente. Este polinomio luego se puede usar para obtener las raíces restantes.

$\frac{42 x^{4} + 335 x^{3} + 663 x^{2} - 24 x - 16}{x + 4}$

Paso 6

Luego, obtén las raíces del polinomio restante. El orden del polinomio se ha reducido por $1$ .

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Paso 6.1

Coloca los números que representan el divisor y el dividendo en una configuración tipo división.

$- 4$	$42$	$335$	$663$	$- 24$	$- 16$

Paso 6.2

El primer número en el dividendo $(42)$ se pone en la primera posición del área del resultado (debajo de la recta horizontal).

$- 4$	$42$	$335$	$663$	$- 24$	$- 16$

	$42$

Paso 6.3

Multiplica la entrada más reciente en el resultado $(42)$ por el divisor $(- 4)$ y coloca el resultado de $(- 168)$ debajo del siguiente término en el dividendo $(335)$ .

$- 4$	$42$	$335$	$663$	$- 24$	$- 16$
		$- 168$
	$42$

Paso 6.4

Suma el producto de la multiplicación y el número del dividendo y coloca el resultado en la siguiente posición en la línea del resultado.

$- 4$	$42$	$335$	$663$	$- 24$	$- 16$
		$- 168$
	$42$	$167$

Paso 6.5

Multiplica la entrada más reciente en el resultado $(167)$ por el divisor $(- 4)$ y coloca el resultado de $(- 668)$ debajo del siguiente término en el dividendo $(663)$ .

$- 4$	$42$	$335$	$663$	$- 24$	$- 16$
		$- 168$	$- 668$
	$42$	$167$

Paso 6.6

Suma el producto de la multiplicación y el número del dividendo y coloca el resultado en la siguiente posición en la línea del resultado.

$- 4$	$42$	$335$	$663$	$- 24$	$- 16$
		$- 168$	$- 668$
	$42$	$167$	$- 5$

Paso 6.7

Multiplica la entrada más reciente en el resultado $(- 5)$ por el divisor $(- 4)$ y coloca el resultado de $(20)$ debajo del siguiente término en el dividendo $(- 24)$ .

$- 4$	$42$	$335$	$663$	$- 24$	$- 16$
		$- 168$	$- 668$	$20$
	$42$	$167$	$- 5$

Paso 6.8

Suma el producto de la multiplicación y el número del dividendo y coloca el resultado en la siguiente posición en la línea del resultado.

$- 4$	$42$	$335$	$663$	$- 24$	$- 16$
		$- 168$	$- 668$	$20$
	$42$	$167$	$- 5$	$- 4$

Paso 6.9

Multiplica la entrada más reciente en el resultado $(- 4)$ por el divisor $(- 4)$ y coloca el resultado de $(16)$ debajo del siguiente término en el dividendo $(- 16)$ .

$- 4$	$42$	$335$	$663$	$- 24$	$- 16$
		$- 168$	$- 668$	$20$	$16$
	$42$	$167$	$- 5$	$- 4$

Paso 6.10

Suma el producto de la multiplicación y el número del dividendo y coloca el resultado en la siguiente posición en la línea del resultado.

$- 4$	$42$	$335$	$663$	$- 24$	$- 16$
		$- 168$	$- 668$	$20$	$16$
	$42$	$167$	$- 5$	$- 4$	$0$

Paso 6.11

Todos los números excepto el último se convierten en coeficientes del polinomio del cociente. El último valor de la línea del resultado es el resto.

$42 x^{3} + 167 x^{2} + (- 5) x - 4$

Paso 6.12

Simplifica el polinomio del cociente.

$42 x^{3} + 167 x^{2} - 5 x - 4$

Paso 7

Resuelve la ecuación para obtener las raíces restantes.

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Paso 7.1

Factoriza el lado izquierdo de la ecuación.

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Paso 7.1.1

Factoriza $42 x^{3} + 167 x^{2} - 5 x - 4$ mediante la prueba de raíces racionales.

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Paso 7.1.1.1

$p = \pm 1, \pm 4, \pm 2$

$q = \pm 1, \pm 42, \pm 2, \pm 21, \pm 3, \pm 14, \pm 6, \pm 7$

Paso 7.1.1.2

Obtén todas las combinaciones de $\pm \frac{p}{q}$ . Estas son las posibles raíces de la función polinomial.

$\pm 1, \pm 0.0\overline{238095}, \pm 0.5, \pm 0.\overline{047619}, \pm 0.\overline{3}, \pm 0.0\overline{714285}, \pm 0.1\overline{6}, \pm 0.\overline{142857}, \pm 4, \pm 0.\overline{095238}, \pm 2, \pm 0.\overline{190476}, \pm 1.\overline{3}, \pm 0.\overline{285714}, \pm 0.\overline{6}, \pm 0.\overline{571428}$

Paso 7.1.1.3

Sustituye $- 0.\overline{142857}$ y simplifica la expresión. En este caso, la expresión es igual a $0$ , por lo que $- 0.\overline{142857}$ es una raíz del polinomio.

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Paso 7.1.1.3.1

Sustituye $- 0.\overline{142857}$ en el polinomio.

$42 {(- 0.\overline{142857})}^{3} + 167 {(- 0.\overline{142857})}^{2} - 5 \cdot - 0.\overline{142857} - 4$

Paso 7.1.1.3.2

Eleva $- 0.\overline{142857}$ a la potencia de $3$ .

$42 \cdot - 0.00291545 + 167 {(- 0.\overline{142857})}^{2} - 5 \cdot - 0.\overline{142857} - 4$

Paso 7.1.1.3.3

Multiplica $42$ por $- 0.00291545$ .

$- 0.12244897 + 167 {(- 0.\overline{142857})}^{2} - 5 \cdot - 0.\overline{142857} - 4$

Paso 7.1.1.3.4

Eleva $- 0.\overline{142857}$ a la potencia de $2$ .

$- 0.12244897 + 167 \cdot 0.02040816 - 5 \cdot - 0.\overline{142857} - 4$

Paso 7.1.1.3.5

Multiplica $167$ por $0.02040816$ .

$- 0.12244897 + 3.40816326 - 5 \cdot - 0.\overline{142857} - 4$

Paso 7.1.1.3.6

Suma $- 0.12244897$ y $3.40816326$ .

$3.28571428 - 5 \cdot - 0.\overline{142857} - 4$

Paso 7.1.1.3.7

Multiplica $- 5$ por $- 0.\overline{142857}$ .

$3.28571428 + 0.\overline{714285} - 4$

Paso 7.1.1.3.8

Suma $3.28571428$ y $0.\overline{714285}$ .

$4 - 4$

Paso 7.1.1.3.9

Resta $4$ de $4$ .

$0$

Paso 7.1.1.4

Como $- 0.\overline{142857}$ es una raíz conocida, divide el polinomio por $7 x + 1$ para obtener el polinomio del cociente. Este polinomio luego se puede usar para obtener las raíces restantes.

$\frac{42 x^{3} + 167 x^{2} - 5 x - 4}{7 x + 1}$

Paso 7.1.1.5

Divide $42 x^{3} + 167 x^{2} - 5 x - 4$ por $7 x + 1$ .

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Paso 7.1.1.5.1

Establece los polinomios que se dividirán. Si no hay un término para cada exponente, inserta uno con un valor de $0$ .

$7 x$

$1$

$42 x^{3}$

$167 x^{2}$

$5 x$

$4$

Paso 7.1.1.5.2

Divide el término de mayor orden en el dividendo $42 x^{3}$ por el término de mayor orden en el divisor $7 x$ .

					$6 x^{2}$
	$7 x$	+	$1$		$42 x^{3}$	+	$167 x^{2}$	-	$5 x$	-	$4$

Paso 7.1.1.5.3

Multiplica el nuevo término del cociente por el divisor.

				$6 x^{2}$
$7 x$	+	$1$		$42 x^{3}$	+	$167 x^{2}$	-	$5 x$	-	$4$
			+	$42 x^{3}$	+	$6 x^{2}$

Paso 7.1.1.5.4

La expresión debe restarse del dividendo, así es que cambia todos los signos en $42 x^{3} + 6 x^{2}$ .

				$6 x^{2}$
$7 x$	+	$1$		$42 x^{3}$	+	$167 x^{2}$	-	$5 x$	-	$4$
			-	$42 x^{3}$	-	$6 x^{2}$

Paso 7.1.1.5.5

Después de cambiar los signos, agrega el último dividendo del polinomio multiplicado para buscar el nuevo dividendo.

				$6 x^{2}$
$7 x$	+	$1$		$42 x^{3}$	+	$167 x^{2}$	-	$5 x$	-	$4$
			-	$42 x^{3}$	-	$6 x^{2}$
					+	$161 x^{2}$

Paso 7.1.1.5.6

Retira los próximos términos del dividendo original hacia el dividendo actual.

				$6 x^{2}$
$7 x$	+	$1$		$42 x^{3}$	+	$167 x^{2}$	-	$5 x$	-	$4$
			-	$42 x^{3}$	-	$6 x^{2}$
					+	$161 x^{2}$	-	$5 x$

Paso 7.1.1.5.7

Divide el término de mayor orden en el dividendo $161 x^{2}$ por el término de mayor orden en el divisor $7 x$ .

				$6 x^{2}$	+	$23 x$
$7 x$	+	$1$		$42 x^{3}$	+	$167 x^{2}$	-	$5 x$	-	$4$
			-	$42 x^{3}$	-	$6 x^{2}$
					+	$161 x^{2}$	-	$5 x$

Paso 7.1.1.5.8

Multiplica el nuevo término del cociente por el divisor.

				$6 x^{2}$	+	$23 x$
$7 x$	+	$1$		$42 x^{3}$	+	$167 x^{2}$	-	$5 x$	-	$4$
			-	$42 x^{3}$	-	$6 x^{2}$
					+	$161 x^{2}$	-	$5 x$
					+	$161 x^{2}$	+	$23 x$

Paso 7.1.1.5.9

La expresión debe restarse del dividendo, así es que cambia todos los signos en $161 x^{2} + 23 x$ .

				$6 x^{2}$	+	$23 x$
$7 x$	+	$1$		$42 x^{3}$	+	$167 x^{2}$	-	$5 x$	-	$4$
			-	$42 x^{3}$	-	$6 x^{2}$
					+	$161 x^{2}$	-	$5 x$
					-	$161 x^{2}$	-	$23 x$

Paso 7.1.1.5.10

Después de cambiar los signos, agrega el último dividendo del polinomio multiplicado para buscar el nuevo dividendo.

				$6 x^{2}$	+	$23 x$
$7 x$	+	$1$		$42 x^{3}$	+	$167 x^{2}$	-	$5 x$	-	$4$
			-	$42 x^{3}$	-	$6 x^{2}$
					+	$161 x^{2}$	-	$5 x$
					-	$161 x^{2}$	-	$23 x$
							-	$28 x$

Paso 7.1.1.5.11

Retira los próximos términos del dividendo original hacia el dividendo actual.

				$6 x^{2}$	+	$23 x$
$7 x$	+	$1$		$42 x^{3}$	+	$167 x^{2}$	-	$5 x$	-	$4$
			-	$42 x^{3}$	-	$6 x^{2}$
					+	$161 x^{2}$	-	$5 x$
					-	$161 x^{2}$	-	$23 x$
							-	$28 x$	-	$4$

Paso 7.1.1.5.12

Divide el término de mayor orden en el dividendo $- 28 x$ por el término de mayor orden en el divisor $7 x$ .

				$6 x^{2}$	+	$23 x$	-	$4$
$7 x$	+	$1$		$42 x^{3}$	+	$167 x^{2}$	-	$5 x$	-	$4$
			-	$42 x^{3}$	-	$6 x^{2}$
					+	$161 x^{2}$	-	$5 x$
					-	$161 x^{2}$	-	$23 x$
							-	$28 x$	-	$4$

Paso 7.1.1.5.13

Multiplica el nuevo término del cociente por el divisor.

				$6 x^{2}$	+	$23 x$	-	$4$
$7 x$	+	$1$		$42 x^{3}$	+	$167 x^{2}$	-	$5 x$	-	$4$
			-	$42 x^{3}$	-	$6 x^{2}$
					+	$161 x^{2}$	-	$5 x$
					-	$161 x^{2}$	-	$23 x$
							-	$28 x$	-	$4$
							-	$28 x$	-	$4$

Paso 7.1.1.5.14

La expresión debe restarse del dividendo, así es que cambia todos los signos en $- 28 x - 4$ .

				$6 x^{2}$	+	$23 x$	-	$4$
$7 x$	+	$1$		$42 x^{3}$	+	$167 x^{2}$	-	$5 x$	-	$4$
			-	$42 x^{3}$	-	$6 x^{2}$
					+	$161 x^{2}$	-	$5 x$
					-	$161 x^{2}$	-	$23 x$
							-	$28 x$	-	$4$
							+	$28 x$	+	$4$

Paso 7.1.1.5.15

Después de cambiar los signos, agrega el último dividendo del polinomio multiplicado para buscar el nuevo dividendo.

				$6 x^{2}$	+	$23 x$	-	$4$
$7 x$	+	$1$		$42 x^{3}$	+	$167 x^{2}$	-	$5 x$	-	$4$
			-	$42 x^{3}$	-	$6 x^{2}$
					+	$161 x^{2}$	-	$5 x$
					-	$161 x^{2}$	-	$23 x$
							-	$28 x$	-	$4$
							+	$28 x$	+	$4$
										$0$

Paso 7.1.1.5.16

Como el resto es $0$ , la respuesta final es el cociente.

$6 x^{2} + 23 x - 4$

Paso 7.1.1.6

Escribe $42 x^{3} + 167 x^{2} - 5 x - 4$ como un conjunto de factores.

$(7 x + 1) (6 x^{2} + 23 x - 4) = 0$

Paso 7.1.2

Factoriza por agrupación.

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Paso 7.1.2.1

Factoriza por agrupación.

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Paso 7.1.2.1.1

Para un polinomio de la forma $a x^{2} + b x + c$ , reescribe el término medio como una suma de dos términos cuyo producto es $a \cdot c = 6 \cdot - 4 = - 24$ y cuya suma es $b = 23$ .

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Paso 7.1.2.1.1.1

Factoriza $23$ de $23 x$ .

$(7 x + 1) (6 x^{2} + 23 (x) - 4) = 0$

Paso 7.1.2.1.1.2

Reescribe $23$ como $- 1$ más $24$

$(7 x + 1) (6 x^{2} + (- 1 + 24) x - 4) = 0$

Paso 7.1.2.1.1.3

Aplica la propiedad distributiva.

$(7 x + 1) (6 x^{2} - 1 x + 24 x - 4) = 0$

Paso 7.1.2.1.2

Factoriza el máximo común divisor de cada grupo.

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Paso 7.1.2.1.2.1

Agrupa los dos primeros términos y los dos últimos términos.

$(7 x + 1) ((6 x^{2} - 1 x) + 24 x - 4) = 0$

Paso 7.1.2.1.2.2

Factoriza el máximo común divisor (MCD) de cada grupo.

$(7 x + 1) (x (6 x - 1) + 4 (6 x - 1)) = 0$

Paso 7.1.2.1.3

Factoriza el polinomio mediante la factorización del máximo común divisor, $6 x - 1$ .

$(7 x + 1) ((6 x - 1) (x + 4)) = 0$

Paso 7.1.2.2

Elimina los paréntesis innecesarios.

$(7 x + 1) (6 x - 1) (x + 4) = 0$

Paso 7.2

Si cualquier factor individual en el lado izquierdo de la ecuación es igual a $0$ , la expresión completa será igual a $0$ .

$7 x + 1 = 0$

$6 x - 1 = 0$

$x + 4 = 0$

Paso 7.3

Establece $7 x + 1$ igual a $0$ y resuelve $x$ .

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Paso 7.3.1

Establece $7 x + 1$ igual a $0$ .

$7 x + 1 = 0$

Paso 7.3.2

Resuelve $7 x + 1 = 0$ en $x$ .

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Paso 7.3.2.1

Resta $1$ de ambos lados de la ecuación.

$7 x = - 1$

Paso 7.3.2.2

Divide cada término en $7 x = - 1$ por $7$ y simplifica.

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Paso 7.3.2.2.1

Divide cada término en $7 x = - 1$ por $7$ .

$\frac{7 x}{7} = \frac{- 1}{7}$

Paso 7.3.2.2.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 7.3.2.2.2.1

Cancela el factor común de $7$ .

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Paso 7.3.2.2.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{7 x}{7} = \frac{- 1}{7}$

Paso 7.3.2.2.2.1.2

Divide $x$ por $1$ .

$x = \frac{- 1}{7}$

Paso 7.3.2.2.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 7.3.2.2.3.1

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$x = - \frac{1}{7}$

Paso 7.4

Establece $6 x - 1$ igual a $0$ y resuelve $x$ .

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Paso 7.4.1

Establece $6 x - 1$ igual a $0$ .

$6 x - 1 = 0$

Paso 7.4.2

Resuelve $6 x - 1 = 0$ en $x$ .

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Paso 7.4.2.1

Suma $1$ a ambos lados de la ecuación.

$6 x = 1$

Paso 7.4.2.2

Divide cada término en $6 x = 1$ por $6$ y simplifica.

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Paso 7.4.2.2.1

Divide cada término en $6 x = 1$ por $6$ .

$\frac{6 x}{6} = \frac{1}{6}$

Paso 7.4.2.2.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 7.4.2.2.2.1

Cancela el factor común de $6$ .

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Paso 7.4.2.2.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{6 x}{6} = \frac{1}{6}$

Paso 7.4.2.2.2.1.2

Divide $x$ por $1$ .

$x = \frac{1}{6}$

Paso 7.5

Establece $x + 4$ igual a $0$ y resuelve $x$ .

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Paso 7.5.1

Establece $x + 4$ igual a $0$ .

$x + 4 = 0$

Paso 7.5.2

Resta $4$ de ambos lados de la ecuación.

$x = - 4$

Paso 7.6

La solución final comprende todos los valores que hacen $(7 x + 1) (6 x - 1) (x + 4) = 0$ verdadera.

$x = - \frac{1}{7}, \frac{1}{6}, - 4$

Paso 8

El polinomio puede escribirse como un conjunto de factores lineales.

$(x + 4) (x + \frac{1}{7}) (x - \frac{1}{6})$

Paso 9

Estas son las raíces (ceros) del polinomio $42 x^{4} + 335 x^{3} + 663 x^{2} - 24 x - 16$ .

$x = - 4, - \frac{1}{7}, \frac{1}{6}$

Paso 10