Matemática discreta Ejemplos

$4 x^{3} - 4 x^{2} - 16 x + 16$

Paso 1

Si una función polinomial tiene coeficientes enteros, entonces todo cero racional tendrá la forma $\frac{p}{q}$ , donde $p$ es un factor de la constante y $q$ es un factor del coeficiente principal.

$p = \pm 1, \pm 2, \pm 4, \pm 8, \pm 16$

$q = \pm 1, \pm 2, \pm 4$

Paso 2

Obtén todas las combinaciones de $\pm \frac{p}{q}$ . Estas son las posibles raíces de la función polinomial.

$\pm 1, \pm \frac{1}{2}, \pm \frac{1}{4}, \pm 2, \pm 4, \pm 8, \pm 16$

Paso 3

Sustituye las posibles raíces una por una en el polinomio para obtener las raíces reales. Simplifica para comprobar si el valor es $0$ , lo que significa que es una raíz.

$4 {(1)}^{3} - 4 {(1)}^{2} - 16 \cdot 1 + 16$

Paso 4

Simplifica la expresión. En este caso, la expresión es igual a $0$ , por lo que $x = 1$ es una raíz del polinomio.

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Paso 4.1

Simplifica cada término.

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Paso 4.1.1

Uno elevado a cualquier potencia es uno.

$4 \cdot 1 - 4 {(1)}^{2} - 16 \cdot 1 + 16$

Paso 4.1.2

Multiplica $4$ por $1$ .

$4 - 4 {(1)}^{2} - 16 \cdot 1 + 16$

Paso 4.1.3

Uno elevado a cualquier potencia es uno.

$4 - 4 \cdot 1 - 16 \cdot 1 + 16$

Paso 4.1.4

Multiplica $- 4$ por $1$ .

$4 - 4 - 16 \cdot 1 + 16$

Paso 4.1.5

Multiplica $- 16$ por $1$ .

$4 - 4 - 16 + 16$

Paso 4.2

Simplifica mediante suma y resta.

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Paso 4.2.1

Resta $4$ de $4$ .

$0 - 16 + 16$

Paso 4.2.2

Resta $16$ de $0$ .

$- 16 + 16$

Paso 4.2.3

Suma $- 16$ y $16$ .

$0$

Paso 5

Como $1$ es una raíz conocida, divide el polinomio por $x - 1$ para obtener el polinomio del cociente. Este polinomio luego se puede usar para obtener las raíces restantes.

$\frac{4 x^{3} - 4 x^{2} - 16 x + 16}{x - 1}$

Paso 6

Luego, obtén las raíces del polinomio restante. El orden del polinomio se ha reducido por $1$ .

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Paso 6.1

Coloca los números que representan el divisor y el dividendo en una configuración tipo división.

$1$	$4$	$- 4$	$- 16$	$16$

Paso 6.2

El primer número en el dividendo $(4)$ se pone en la primera posición del área del resultado (debajo de la recta horizontal).

$1$	$4$	$- 4$	$- 16$	$16$

	$4$

Paso 6.3

Multiplica la entrada más reciente en el resultado $(4)$ por el divisor $(1)$ y coloca el resultado de $(4)$ debajo del siguiente término en el dividendo $(- 4)$ .

$1$	$4$	$- 4$	$- 16$	$16$
		$4$
	$4$

Paso 6.4

Suma el producto de la multiplicación y el número del dividendo y coloca el resultado en la siguiente posición en la línea del resultado.

$1$	$4$	$- 4$	$- 16$	$16$
		$4$
	$4$	$0$

Paso 6.5

Multiplica la entrada más reciente en el resultado $(0)$ por el divisor $(1)$ y coloca el resultado de $(0)$ debajo del siguiente término en el dividendo $(- 16)$ .

$1$	$4$	$- 4$	$- 16$	$16$
		$4$	$0$
	$4$	$0$

Paso 6.6

Suma el producto de la multiplicación y el número del dividendo y coloca el resultado en la siguiente posición en la línea del resultado.

$1$	$4$	$- 4$	$- 16$	$16$
		$4$	$0$
	$4$	$0$	$- 16$

Paso 6.7

Multiplica la entrada más reciente en el resultado $(- 16)$ por el divisor $(1)$ y coloca el resultado de $(- 16)$ debajo del siguiente término en el dividendo $(16)$ .

$1$	$4$	$- 4$	$- 16$	$16$
		$4$	$0$	$- 16$
	$4$	$0$	$- 16$

Paso 6.8

Suma el producto de la multiplicación y el número del dividendo y coloca el resultado en la siguiente posición en la línea del resultado.

$1$	$4$	$- 4$	$- 16$	$16$
		$4$	$0$	$- 16$
	$4$	$0$	$- 16$	$0$

Paso 6.9

Todos los números excepto el último se convierten en coeficientes del polinomio del cociente. El último valor de la línea del resultado es el resto.

$4 x^{2} + 0 x - 16$

Paso 6.10

Simplifica el polinomio del cociente.

$4 x^{2} - 16$

Paso 7

Factoriza $4$ de $4 x^{2} - 16$ .

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Paso 7.1

Factoriza $4$ de $4 x^{2}$ .

$(x - 1) (4 (x^{2}) - 16)$

Paso 7.2

Factoriza $4$ de $- 16$ .

$(x - 1) (4 x^{2} + 4 \cdot - 4)$

Paso 7.3

Factoriza $4$ de $4 x^{2} + 4 \cdot - 4$ .

$(x - 1) (4 (x^{2} - 4))$

Paso 8

Reescribe $4$ como $2^{2}$ .

$(x - 1) (4 (x^{2} - 2^{2}))$

Paso 9

Factoriza.

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Paso 9.1

Dado que ambos términos son cuadrados perfectos, factoriza con la fórmula de la diferencia de cuadrados, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , donde $a = x$ y $b = 2$ .

$(x - 1) (4 ((x + 2) (x - 2)))$

Paso 9.2

Elimina los paréntesis innecesarios.

$(x - 1) (4 (x + 2) (x - 2))$

Paso 10

Factoriza el lado izquierdo de la ecuación.

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Paso 10.1

Factoriza $4$ de $4 x^{3} - 4 x^{2} - 16 x + 16$ .

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Paso 10.1.1

Factoriza $4$ de $4 x^{3}$ .

$4 (x^{3}) - 4 x^{2} - 16 x + 16 = 0$

Paso 10.1.2

Factoriza $4$ de $- 4 x^{2}$ .

$4 (x^{3}) + 4 (- x^{2}) - 16 x + 16 = 0$

Paso 10.1.3

Factoriza $4$ de $- 16 x$ .

$4 (x^{3}) + 4 (- x^{2}) + 4 (- 4 x) + 16 = 0$

Paso 10.1.4

Factoriza $4$ de $16$ .

$4 (x^{3}) + 4 (- x^{2}) + 4 (- 4 x) + 4 (4) = 0$

Paso 10.1.5

Factoriza $4$ de $4 (x^{3}) + 4 (- x^{2})$ .

$4 (x^{3} - x^{2}) + 4 (- 4 x) + 4 (4) = 0$

Paso 10.1.6

Factoriza $4$ de $4 (x^{3} - x^{2}) + 4 (- 4 x)$ .

$4 (x^{3} - x^{2} - 4 x) + 4 (4) = 0$

Paso 10.1.7

Factoriza $4$ de $4 (x^{3} - x^{2} - 4 x) + 4 (4)$ .

$4 (x^{3} - x^{2} - 4 x + 4) = 0$

Paso 10.2

Factoriza el máximo común divisor de cada grupo.

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Paso 10.2.1

Agrupa los dos primeros términos y los dos últimos términos.

$4 ((x^{3} - x^{2}) - 4 x + 4) = 0$

Paso 10.2.2

Factoriza el máximo común divisor (MCD) de cada grupo.

$4 (x^{2} (x - 1) - 4 (x - 1)) = 0$

Paso 10.3

Factoriza el polinomio mediante la factorización del máximo común divisor, $x - 1$ .

$4 ((x - 1) (x^{2} - 4)) = 0$

Paso 10.4

Reescribe $4$ como $2^{2}$ .

$4 ((x - 1) (x^{2} - 2^{2})) = 0$

Paso 10.5

Factoriza.

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Paso 10.5.1

Factoriza.

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Paso 10.5.1.1

Dado que ambos términos son cuadrados perfectos, factoriza con la fórmula de la diferencia de cuadrados, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , donde $a = x$ y $b = 2$ .

$4 ((x - 1) ((x + 2) (x - 2))) = 0$

Paso 10.5.1.2

Elimina los paréntesis innecesarios.

$4 ((x - 1) (x + 2) (x - 2)) = 0$

Paso 10.5.2

Elimina los paréntesis innecesarios.

$4 (x - 1) (x + 2) (x - 2) = 0$

Paso 11

Si cualquier factor individual en el lado izquierdo de la ecuación es igual a $0$ , la expresión completa será igual a $0$ .

$x - 1 = 0$

$x + 2 = 0$

$x - 2 = 0$

Paso 12

Establece $x - 1$ igual a $0$ y resuelve $x$ .

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Paso 12.1

Establece $x - 1$ igual a $0$ .

$x - 1 = 0$

Paso 12.2

Suma $1$ a ambos lados de la ecuación.

$x = 1$

Paso 13

Establece $x + 2$ igual a $0$ y resuelve $x$ .

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Paso 13.1

Establece $x + 2$ igual a $0$ .

$x + 2 = 0$

Paso 13.2

Resta $2$ de ambos lados de la ecuación.

$x = - 2$

Paso 14

Establece $x - 2$ igual a $0$ y resuelve $x$ .

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Paso 14.1

Establece $x - 2$ igual a $0$ .

$x - 2 = 0$

Paso 14.2

Suma $2$ a ambos lados de la ecuación.

$x = 2$

Paso 15

La solución final comprende todos los valores que hacen $4 (x - 1) (x + 2) (x - 2) = 0$ verdadera.

$x = 1, - 2, 2$

Paso 16