Matemática discreta Ejemplos

$10 x - 25 - x^{2} < 0$

Paso 1

Convierte la desigualdad en una ecuación.

$10 x - 25 - x^{2} = 0$

Paso 2

Factoriza el lado izquierdo de la ecuación.

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Paso 2.1

Factoriza $- 1$ de $10 x - 25 - x^{2}$ .

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Paso 2.1.1

Reordena la expresión.

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Paso 2.1.1.1

Mueve $- 25$ .

$10 x - x^{2} - 25 = 0$

Paso 2.1.1.2

Reordena $10 x$ y $- x^{2}$ .

$- x^{2} + 10 x - 25 = 0$

Paso 2.1.2

Factoriza $- 1$ de $- x^{2}$ .

$- (x^{2}) + 10 x - 25 = 0$

Paso 2.1.3

Factoriza $- 1$ de $10 x$ .

$- (x^{2}) - (- 10 x) - 25 = 0$

Paso 2.1.4

Reescribe $- 25$ como $- 1 (25)$ .

$- (x^{2}) - (- 10 x) - 1 \cdot 25 = 0$

Paso 2.1.5

Factoriza $- 1$ de $- (x^{2}) - (- 10 x)$ .

$- (x^{2} - 10 x) - 1 \cdot 25 = 0$

Paso 2.1.6

Factoriza $- 1$ de $- (x^{2} - 10 x) - 1 (25)$ .

$- (x^{2} - 10 x + 25) = 0$

Paso 2.2

Factoriza con la regla del cuadrado perfecto.

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Paso 2.2.1

Reescribe $25$ como $5^{2}$ .

$- (x^{2} - 10 x + 5^{2}) = 0$

Paso 2.2.2

Comprueba que el término medio sea dos veces el producto de los números que se elevan al cuadrado en el primer término y el tercer término.

$10 x = 2 \cdot x \cdot 5$

Paso 2.2.3

Reescribe el polinomio.

$- (x^{2} - 2 \cdot x \cdot 5 + 5^{2}) = 0$

Paso 2.2.4

Factoriza con la regla del trinomio cuadrado perfecto $a^{2} - 2 a b + b^{2} = {(a - b)}^{2}$ , donde $a = x$ y $b = 5$ .

$- {(x - 5)}^{2} = 0$

Paso 3

Divide cada término en $- {(x - 5)}^{2} = 0$ por $- 1$ y simplifica.

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Paso 3.1

Divide cada término en $- {(x - 5)}^{2} = 0$ por $- 1$ .

$\frac{- {(x - 5)}^{2}}{- 1} = \frac{0}{- 1}$

Paso 3.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 3.2.1

La división de dos valores negativos da como resultado un valor positivo.

$\frac{{(x - 5)}^{2}}{1} = \frac{0}{- 1}$

Paso 3.2.2

Divide ${(x - 5)}^{2}$ por $1$ .

${(x - 5)}^{2} = \frac{0}{- 1}$

Paso 3.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 3.3.1

Divide $0$ por $- 1$ .

${(x - 5)}^{2} = 0$

Paso 4

Establece $x - 5$ igual a $0$ .

$x - 5 = 0$

Paso 5

Suma $5$ a ambos lados de la ecuación.

$x = 5$

Paso 6

Usa cada raíz para crear intervalos de prueba.

$x < 5$

$x > 5$

Paso 7

Elije un valor de prueba de cada intervalo y conecta este valor a la desigualdad original para determinar qué intervalos satisfacen la desigualdad.

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Paso 7.1

Prueba un valor en el intervalo $x < 5$ para ver si este hace que la desigualdad sea verdadera.

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Paso 7.1.1

Elije un valor en el intervalo $x < 5$ y ve si este valor hace que la desigualdad original sea verdadera.

$x = 0$

Paso 7.1.2

Reemplaza $x$ con $0$ en la desigualdad original.

$10 (0) - 25 - {(0)}^{2} < 0$

Paso 7.1.3

$- 25$ del lado izquierdo es menor que $0$ del lado derecho, lo que significa que el enunciado dado es siempre verdadero.

True

Paso 7.2

Prueba un valor en el intervalo $x > 5$ para ver si este hace que la desigualdad sea verdadera.

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Paso 7.2.1

Elije un valor en el intervalo $x > 5$ y ve si este valor hace que la desigualdad original sea verdadera.

$x = 8$

Paso 7.2.2

Reemplaza $x$ con $8$ en la desigualdad original.

$10 (8) - 25 - {(8)}^{2} < 0$

Paso 7.2.3

$- 9$ del lado izquierdo es menor que $0$ del lado derecho, lo que significa que el enunciado dado es siempre verdadero.

True

Paso 7.3

Compara los intervalos para determinar cuáles satisfacen la desigualdad original.

$x < 5$ Verdadero

$x > 5$ Verdadero

$x < 5$ Verdadero

$x > 5$ Verdadero

Paso 8

La solución consiste en todos los intervalos verdaderos.

$x < 5$ o $x > 5$

Paso 9

Convierte la desigualdad a notación de intervalo.

$(- \infty, 5) \cup (5, \infty)$

Paso 10