Matemática discreta Ejemplos

${(x + 7)}^{2} > 50 x - 27$

Paso 1

Mueve todos los términos que contengan $x$ al lado izquierdo de la desigualdad.

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Paso 1.1

Resta $50 x$ de ambos lados de la desigualdad.

${(x + 7)}^{2} - 50 x > - 27$

Paso 1.2

Simplifica cada término.

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Paso 1.2.1

Reescribe ${(x + 7)}^{2}$ como $(x + 7) (x + 7)$ .

$(x + 7) (x + 7) - 50 x > - 27$

Paso 1.2.2

Expande $(x + 7) (x + 7)$ con el método PEIU (primero, exterior, interior, ultimo).

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Paso 1.2.2.1

Aplica la propiedad distributiva.

$x (x + 7) + 7 (x + 7) - 50 x > - 27$

Paso 1.2.2.2

Aplica la propiedad distributiva.

$x \cdot x + x \cdot 7 + 7 (x + 7) - 50 x > - 27$

Paso 1.2.2.3

Aplica la propiedad distributiva.

$x \cdot x + x \cdot 7 + 7 x + 7 \cdot 7 - 50 x > - 27$

Paso 1.2.3

Simplifica y combina los términos similares.

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Paso 1.2.3.1

Simplifica cada término.

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Paso 1.2.3.1.1

Multiplica $x$ por $x$ .

$x^{2} + x \cdot 7 + 7 x + 7 \cdot 7 - 50 x > - 27$

Paso 1.2.3.1.2

Mueve $7$ a la izquierda de $x$ .

$x^{2} + 7 \cdot x + 7 x + 7 \cdot 7 - 50 x > - 27$

Paso 1.2.3.1.3

Multiplica $7$ por $7$ .

$x^{2} + 7 x + 7 x + 49 - 50 x > - 27$

Paso 1.2.3.2

Suma $7 x$ y $7 x$ .

$x^{2} + 14 x + 49 - 50 x > - 27$

Paso 1.3

Resta $50 x$ de $14 x$ .

$x^{2} - 36 x + 49 > - 27$

Paso 2

Mueve todos los términos al lado izquierdo de la ecuación y simplifica.

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Paso 2.1

Suma $27$ a ambos lados de la desigualdad.

$x^{2} - 36 x + 49 + 27 > 0$

Paso 2.2

Suma $49$ y $27$ .

$x^{2} - 36 x + 76 > 0$

Paso 3

Convierte la desigualdad en una ecuación.

$x^{2} - 36 x + 76 = 0$

Paso 4

Usa la fórmula cuadrática para obtener las soluciones.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Paso 5

Sustituye los valores $a = 1$ , $b = - 36$ y $c = 76$ en la fórmula cuadrática y resuelve $x$ .

$\frac{36 \pm \sqrt{{(- 36)}^{2} - 4 \cdot (1 \cdot 76)}}{2 \cdot 1}$

Paso 6

Simplifica.

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Paso 6.1

Simplifica el numerador.

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Paso 6.1.1

Eleva $- 36$ a la potencia de $2$ .

$x = \frac{36 \pm \sqrt{1296 - 4 \cdot 1 \cdot 76}}{2 \cdot 1}$

Paso 6.1.2

Multiplica $- 4 \cdot 1 \cdot 76$ .

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Paso 6.1.2.1

Multiplica $- 4$ por $1$ .

$x = \frac{36 \pm \sqrt{1296 - 4 \cdot 76}}{2 \cdot 1}$

Paso 6.1.2.2

Multiplica $- 4$ por $76$ .

$x = \frac{36 \pm \sqrt{1296 - 304}}{2 \cdot 1}$

Paso 6.1.3

Resta $304$ de $1296$ .

$x = \frac{36 \pm \sqrt{992}}{2 \cdot 1}$

Paso 6.1.4

Reescribe $992$ como $4^{2} \cdot 62$ .

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Paso 6.1.4.1

Factoriza $16$ de $992$ .

$x = \frac{36 \pm \sqrt{16 (62)}}{2 \cdot 1}$

Paso 6.1.4.2

Reescribe $16$ como $4^{2}$ .

$x = \frac{36 \pm \sqrt{4^{2} \cdot 62}}{2 \cdot 1}$

Paso 6.1.5

Retira los términos de abajo del radical.

$x = \frac{36 \pm 4 \sqrt{62}}{2 \cdot 1}$

Paso 6.2

Multiplica $2$ por $1$ .

$x = \frac{36 \pm 4 \sqrt{62}}{2}$

Paso 6.3

Simplifica $\frac{36 \pm 4 \sqrt{62}}{2}$ .

$x = 18 \pm 2 \sqrt{62}$

Paso 7

Simplifica la expresión para obtener el valor de la parte $+$ de $\pm$ .

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Paso 7.1

Simplifica el numerador.

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Paso 7.1.1

Eleva $- 36$ a la potencia de $2$ .

$x = \frac{36 \pm \sqrt{1296 - 4 \cdot 1 \cdot 76}}{2 \cdot 1}$

Paso 7.1.2

Multiplica $- 4 \cdot 1 \cdot 76$ .

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Paso 7.1.2.1

Multiplica $- 4$ por $1$ .

$x = \frac{36 \pm \sqrt{1296 - 4 \cdot 76}}{2 \cdot 1}$

Paso 7.1.2.2

Multiplica $- 4$ por $76$ .

$x = \frac{36 \pm \sqrt{1296 - 304}}{2 \cdot 1}$

Paso 7.1.3

Resta $304$ de $1296$ .

$x = \frac{36 \pm \sqrt{992}}{2 \cdot 1}$

Paso 7.1.4

Reescribe $992$ como $4^{2} \cdot 62$ .

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Paso 7.1.4.1

Factoriza $16$ de $992$ .

$x = \frac{36 \pm \sqrt{16 (62)}}{2 \cdot 1}$

Paso 7.1.4.2

Reescribe $16$ como $4^{2}$ .

$x = \frac{36 \pm \sqrt{4^{2} \cdot 62}}{2 \cdot 1}$

Paso 7.1.5

Retira los términos de abajo del radical.

$x = \frac{36 \pm 4 \sqrt{62}}{2 \cdot 1}$

Paso 7.2

Multiplica $2$ por $1$ .

$x = \frac{36 \pm 4 \sqrt{62}}{2}$

Paso 7.3

Simplifica $\frac{36 \pm 4 \sqrt{62}}{2}$ .

$x = 18 \pm 2 \sqrt{62}$

Paso 7.4

Cambia $\pm$ a $+$ .

$x = 18 + 2 \sqrt{62}$

Paso 8

Simplifica la expresión para obtener el valor de la parte $-$ de $\pm$ .

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Paso 8.1

Simplifica el numerador.

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Paso 8.1.1

Eleva $- 36$ a la potencia de $2$ .

$x = \frac{36 \pm \sqrt{1296 - 4 \cdot 1 \cdot 76}}{2 \cdot 1}$

Paso 8.1.2

Multiplica $- 4 \cdot 1 \cdot 76$ .

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Paso 8.1.2.1

Multiplica $- 4$ por $1$ .

$x = \frac{36 \pm \sqrt{1296 - 4 \cdot 76}}{2 \cdot 1}$

Paso 8.1.2.2

Multiplica $- 4$ por $76$ .

$x = \frac{36 \pm \sqrt{1296 - 304}}{2 \cdot 1}$

Paso 8.1.3

Resta $304$ de $1296$ .

$x = \frac{36 \pm \sqrt{992}}{2 \cdot 1}$

Paso 8.1.4

Reescribe $992$ como $4^{2} \cdot 62$ .

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Paso 8.1.4.1

Factoriza $16$ de $992$ .

$x = \frac{36 \pm \sqrt{16 (62)}}{2 \cdot 1}$

Paso 8.1.4.2

Reescribe $16$ como $4^{2}$ .

$x = \frac{36 \pm \sqrt{4^{2} \cdot 62}}{2 \cdot 1}$

Paso 8.1.5

Retira los términos de abajo del radical.

$x = \frac{36 \pm 4 \sqrt{62}}{2 \cdot 1}$

Paso 8.2

Multiplica $2$ por $1$ .

$x = \frac{36 \pm 4 \sqrt{62}}{2}$

Paso 8.3

Simplifica $\frac{36 \pm 4 \sqrt{62}}{2}$ .

$x = 18 \pm 2 \sqrt{62}$

Paso 8.4

Cambia $\pm$ a $-$ .

$x = 18 - 2 \sqrt{62}$

Paso 9

Consolida las soluciones.

$x = 18 + 2 \sqrt{62}, 18 - 2 \sqrt{62}$

Paso 10

Usa cada raíz para crear intervalos de prueba.

$x < 18 - 2 \sqrt{62}$

$18 - 2 \sqrt{62} < x < 18 + 2 \sqrt{62}$

$x > 18 + 2 \sqrt{62}$

Paso 11

Elije un valor de prueba de cada intervalo y conecta este valor a la desigualdad original para determinar qué intervalos satisfacen la desigualdad.

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Paso 11.1

Prueba un valor en el intervalo $x < 18 - 2 \sqrt{62}$ para ver si este hace que la desigualdad sea verdadera.

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Paso 11.1.1

Elije un valor en el intervalo $x < 18 - 2 \sqrt{62}$ y ve si este valor hace que la desigualdad original sea verdadera.

$x = 0$

Paso 11.1.2

Reemplaza $x$ con $0$ en la desigualdad original.

${((0) + 7)}^{2} > 50 (0) - 27$

Paso 11.1.3

$49$ del lado izquierdo es mayor que $- 27$ del lado derecho, lo que significa que el enunciado dado es siempre verdadero.

True

Paso 11.2

Prueba un valor en el intervalo $18 - 2 \sqrt{62} < x < 18 + 2 \sqrt{62}$ para ver si este hace que la desigualdad sea verdadera.

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Paso 11.2.1

Elije un valor en el intervalo $18 - 2 \sqrt{62} < x < 18 + 2 \sqrt{62}$ y ve si este valor hace que la desigualdad original sea verdadera.

$x = 5$

Paso 11.2.2

Reemplaza $x$ con $5$ en la desigualdad original.

${((5) + 7)}^{2} > 50 (5) - 27$

Paso 11.2.3

$144$ del lado izquierdo no es mayor que $223$ del lado derecho, lo que significa que el enunciado dado es falso.

False

Paso 11.3

Prueba un valor en el intervalo $x > 18 + 2 \sqrt{62}$ para ver si este hace que la desigualdad sea verdadera.

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Paso 11.3.1

Elije un valor en el intervalo $x > 18 + 2 \sqrt{62}$ y ve si este valor hace que la desigualdad original sea verdadera.

$x = 36$

Paso 11.3.2

Reemplaza $x$ con $36$ en la desigualdad original.

${((36) + 7)}^{2} > 50 (36) - 27$

Paso 11.3.3

$1849$ del lado izquierdo es mayor que $1773$ del lado derecho, lo que significa que el enunciado dado es siempre verdadero.

True

Paso 11.4

Compara los intervalos para determinar cuáles satisfacen la desigualdad original.

$x < 18 - 2 \sqrt{62}$ Verdadero

$18 - 2 \sqrt{62} < x < 18 + 2 \sqrt{62}$ Falso

$x > 18 + 2 \sqrt{62}$ Verdadero

$x < 18 - 2 \sqrt{62}$ Verdadero

$18 - 2 \sqrt{62} < x < 18 + 2 \sqrt{62}$ Falso

$x > 18 + 2 \sqrt{62}$ Verdadero

Paso 12

La solución consiste en todos los intervalos verdaderos.

$x < 18 - 2 \sqrt{62}$ o $x > 18 + 2 \sqrt{62}$

Paso 13

Convierte la desigualdad a notación de intervalo.

$(- \infty, 18 - 2 \sqrt{62}) \cup (18 + 2 \sqrt{62}, \infty)$

Paso 14