Matemática discreta Ejemplos

$- \frac{4 (2 x - 2)}{3 x} > 6$

Paso 1

Resta $6$ de ambos lados de la desigualdad.

$- \frac{4 (2 x - 2)}{3 x} - 6 > 0$

Paso 2

Simplifica $- \frac{4 (2 x - 2)}{3 x} - 6$ .

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Paso 2.1

Simplifica el numerador.

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Paso 2.1.1

Factoriza $2$ de $2 x - 2$ .

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Paso 2.1.1.1

Factoriza $2$ de $2 x$ .

$- \frac{4 (2 (x) - 2)}{3 x} - 6 > 0$

Paso 2.1.1.2

Factoriza $2$ de $- 2$ .

$- \frac{4 (2 (x) + 2 (- 1))}{3 x} - 6 > 0$

Paso 2.1.1.3

Factoriza $2$ de $2 (x) + 2 (- 1)$ .

$- \frac{4 (2 (x - 1))}{3 x} - 6 > 0$

$- \frac{4 \cdot 2 (x - 1)}{3 x} - 6 > 0$

Paso 2.1.2

Multiplica $4$ por $2$ .

$- \frac{8 (x - 1)}{3 x} - 6 > 0$

Paso 2.2

Para escribir $- 6$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{3 x}{3 x}$ .

$- \frac{8 (x - 1)}{3 x} - 6 \cdot \frac{3 x}{3 x} > 0$

Paso 2.3

Combina $- 6$ y $\frac{3 x}{3 x}$ .

$- \frac{8 (x - 1)}{3 x} + \frac{- 6 (3 x)}{3 x} > 0$

Paso 2.4

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{- 8 (x - 1) - 6 (3 x)}{3 x} > 0$

Paso 2.5

Simplifica el numerador.

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Paso 2.5.1

Factoriza $2$ de $- 8 (x - 1) - 6 \cdot 3 x$ .

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Paso 2.5.1.1

Factoriza $2$ de $- 8 (x - 1)$ .

$\frac{2 (- 4 (x - 1)) - 6 \cdot 3 x}{3 x} > 0$

Paso 2.5.1.2

Factoriza $2$ de $- 6 \cdot 3 x$ .

$\frac{2 (- 4 (x - 1)) + 2 (- 3 \cdot 3 x)}{3 x} > 0$

Paso 2.5.1.3

Factoriza $2$ de $2 (- 4 (x - 1)) + 2 (- 3 \cdot 3 x)$ .

$\frac{2 (- 4 (x - 1) - 3 \cdot 3 x)}{3 x} > 0$

Paso 2.5.2

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{2 (- 4 x - 4 \cdot - 1 - 3 \cdot 3 x)}{3 x} > 0$

Paso 2.5.3

Multiplica $- 4$ por $- 1$ .

$\frac{2 (- 4 x + 4 - 3 \cdot 3 x)}{3 x} > 0$

Paso 2.5.4

Multiplica $- 3$ por $3$ .

$\frac{2 (- 4 x + 4 - 9 x)}{3 x} > 0$

Paso 2.5.5

Resta $9 x$ de $- 4 x$ .

$\frac{2 (- 13 x + 4)}{3 x} > 0$

Paso 2.6

Factoriza $- 1$ de $- 13 x$ .

$\frac{2 (- (13 x) + 4)}{3 x} > 0$

Paso 2.7

Reescribe $4$ como $- 1 (- 4)$ .

$\frac{2 (- (13 x) - 1 (- 4))}{3 x} > 0$

Paso 2.8

Factoriza $- 1$ de $- (13 x) - 1 (- 4)$ .

$\frac{2 (- (13 x - 4))}{3 x} > 0$

Paso 2.9

Reescribe $- (13 x - 4)$ como $- 1 (13 x - 4)$ .

$\frac{2 (- 1 (13 x - 4))}{3 x} > 0$

Paso 2.10

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$- \frac{2 (13 x - 4)}{3 x} > 0$

Paso 3

Obtén todos los valores donde la expresión cambia de negativa a positiva mediante la definición de cada factor igual a $0$ y la resolución.

$3 x = 0$

$13 x - 4 = 0$

Paso 4

Divide cada término en $3 x = 0$ por $3$ y simplifica.

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Paso 4.1

Divide cada término en $3 x = 0$ por $3$ .

$\frac{3 x}{3} = \frac{0}{3}$

Paso 4.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 4.2.1

Cancela el factor común de $3$ .

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Paso 4.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{3 x}{3} = \frac{0}{3}$

Paso 4.2.1.2

Divide $x$ por $1$ .

$x = \frac{0}{3}$

Paso 4.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 4.3.1

Divide $0$ por $3$ .

$x = 0$

Paso 5

Suma $4$ a ambos lados de la ecuación.

$13 x = 4$

Paso 6

Divide cada término en $13 x = 4$ por $13$ y simplifica.

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Paso 6.1

Divide cada término en $13 x = 4$ por $13$ .

$\frac{13 x}{13} = \frac{4}{13}$

Paso 6.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 6.2.1

Cancela el factor común de $13$ .

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Paso 6.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{13 x}{13} = \frac{4}{13}$

Paso 6.2.1.2

Divide $x$ por $1$ .

$x = \frac{4}{13}$

Paso 7

Resuelve cada factor para obtener los valores donde la expresión de valor absoluto va de positiva a negativa.

$x = 0$

$x = \frac{4}{13}$

Paso 8

Consolida las soluciones.

$x = 0, \frac{4}{13}$

Paso 9

Obtén el dominio de $- \frac{2 (13 x - 4)}{3 x}$ .

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Paso 9.1

Establece el denominador en $\frac{2 (13 x - 4)}{3 x}$ igual que $0$ para obtener el lugar donde no está definida la expresión.

$3 x = 0$

Paso 9.2

Divide cada término en $3 x = 0$ por $3$ y simplifica.

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Paso 9.2.1

Divide cada término en $3 x = 0$ por $3$ .

$\frac{3 x}{3} = \frac{0}{3}$

Paso 9.2.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 9.2.2.1

Cancela el factor común de $3$ .

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Paso 9.2.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{3 x}{3} = \frac{0}{3}$

Paso 9.2.2.1.2

Divide $x$ por $1$ .

$x = \frac{0}{3}$

Paso 9.2.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 9.2.3.1

Divide $0$ por $3$ .

$x = 0$

Paso 9.3

El dominio son todos los valores de $x$ que hacen que la expresión sea definida.

$(- \infty, 0) \cup (0, \infty)$

Paso 10

Usa cada raíz para crear intervalos de prueba.

$x < 0$

$0 < x < \frac{4}{13}$

$x > \frac{4}{13}$

Paso 11

Elije un valor de prueba de cada intervalo y conecta este valor a la desigualdad original para determinar qué intervalos satisfacen la desigualdad.

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Paso 11.1

Prueba un valor en el intervalo $x < 0$ para ver si este hace que la desigualdad sea verdadera.

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Paso 11.1.1

Elije un valor en el intervalo $x < 0$ y ve si este valor hace que la desigualdad original sea verdadera.

$x = - 2$

Paso 11.1.2

Reemplaza $x$ con $- 2$ en la desigualdad original.

$- \frac{4 (2 (- 2) - 2)}{3 (- 2)} > 6$

Paso 11.1.3

$- 4$ del lado izquierdo no es mayor que $6$ del lado derecho, lo que significa que el enunciado dado es falso.

False

Paso 11.2

Prueba un valor en el intervalo $0 < x < \frac{4}{13}$ para ver si este hace que la desigualdad sea verdadera.

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Paso 11.2.1

Elije un valor en el intervalo $0 < x < \frac{4}{13}$ y ve si este valor hace que la desigualdad original sea verdadera.

$x = 0.15$

Paso 11.2.2

Reemplaza $x$ con $0.15$ en la desigualdad original.

$- \frac{4 (2 (0.15) - 2)}{3 (0.15)} > 6$

Paso 11.2.3

$15.\overline{1}$ del lado izquierdo es mayor que $6$ del lado derecho, lo que significa que el enunciado dado es siempre verdadero.

True

Paso 11.3

Prueba un valor en el intervalo $x > \frac{4}{13}$ para ver si este hace que la desigualdad sea verdadera.

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Paso 11.3.1

Elije un valor en el intervalo $x > \frac{4}{13}$ y ve si este valor hace que la desigualdad original sea verdadera.

$x = 3$

Paso 11.3.2

Reemplaza $x$ con $3$ en la desigualdad original.

$- \frac{4 (2 (3) - 2)}{3 (3)} > 6$

Paso 11.3.3

$- 1.\overline{7}$ del lado izquierdo no es mayor que $6$ del lado derecho, lo que significa que el enunciado dado es falso.

False

Paso 11.4

Compara los intervalos para determinar cuáles satisfacen la desigualdad original.

$x < 0$ Falso

$0 < x < \frac{4}{13}$ Verdadero

$x > \frac{4}{13}$ Falso

$x < 0$ Falso

$0 < x < \frac{4}{13}$ Verdadero

$x > \frac{4}{13}$ Falso

Paso 12

La solución consiste en todos los intervalos verdaderos.

$0 < x < \frac{4}{13}$

Paso 13

Convierte la desigualdad a notación de intervalo.

$(0, \frac{4}{13})$

Paso 14