Matemática discreta Ejemplos

$x^{4} + 3 x^{3} + 3 x^{2} - 9 x - 18$

Paso 1

Factoriza el lado izquierdo de la ecuación.

Toca para ver más pasos...

Paso 1.1

Reagrupa los términos.

$3 x^{3} - 9 x + x^{4} + 3 x^{2} - 18 = 0$

Paso 1.2

Factoriza $3 x$ de $3 x^{3} - 9 x$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 1.2.1

Factoriza $3 x$ de $3 x^{3}$ .

$3 x (x^{2}) - 9 x + x^{4} + 3 x^{2} - 18 = 0$

Paso 1.2.2

Factoriza $3 x$ de $- 9 x$ .

$3 x (x^{2}) + 3 x (- 3) + x^{4} + 3 x^{2} - 18 = 0$

Paso 1.2.3

Factoriza $3 x$ de $3 x (x^{2}) + 3 x (- 3)$ .

$3 x (x^{2} - 3) + x^{4} + 3 x^{2} - 18 = 0$

Paso 1.3

Reescribe $x^{4}$ como ${(x^{2})}^{2}$ .

$3 x (x^{2} - 3) + {(x^{2})}^{2} + 3 x^{2} - 18 = 0$

Paso 1.4

Sea $u = x^{2}$ . Sustituye $u$ por todos los casos de $x^{2}$ .

$3 x (x^{2} - 3) + u^{2} + 3 u - 18 = 0$

Paso 1.5

Factoriza $u^{2} + 3 u - 18$ con el método AC.

Toca para ver más pasos...

Paso 1.5.1

Considera la forma $x^{2} + b x + c$ . Encuentra un par de números enteros cuyo producto sea $c$ y cuya suma sea $b$ . En este caso, cuyo producto es $- 18$ y cuya suma es $3$ .

$- 3, 6$

Paso 1.5.2

Escribe la forma factorizada mediante estos números enteros.

$3 x (x^{2} - 3) + (u - 3) (u + 6) = 0$

Paso 1.6

Reemplaza todos los casos de $u$ con $x^{2}$ .

$3 x (x^{2} - 3) + (x^{2} - 3) (x^{2} + 6) = 0$

Paso 1.7

Factoriza $x^{2} - 3$ de $3 x (x^{2} - 3) + (x^{2} - 3) (x^{2} + 6)$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 1.7.1

Factoriza $x^{2} - 3$ de $3 x (x^{2} - 3)$ .

$(x^{2} - 3) (3 x) + (x^{2} - 3) (x^{2} + 6) = 0$

Paso 1.7.2

Factoriza $x^{2} - 3$ de $(x^{2} - 3) (3 x) + (x^{2} - 3) (x^{2} + 6)$ .

$(x^{2} - 3) (3 x + x^{2} + 6) = 0$

Paso 1.8

Reordena los términos.

$(x^{2} - 3) (x^{2} + 3 x + 6) = 0$

Paso 2

Si cualquier factor individual en el lado izquierdo de la ecuación es igual a $0$ , la expresión completa será igual a $0$ .

$x^{2} - 3 = 0$

$x^{2} + 3 x + 6 = 0$

Paso 3

Establece $x^{2} - 3$ igual a $0$ y resuelve $x$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 3.1

Establece $x^{2} - 3$ igual a $0$ .

$x^{2} - 3 = 0$

Paso 3.2

Resuelve $x^{2} - 3 = 0$ en $x$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 3.2.1

Suma $3$ a ambos lados de la ecuación.

$x^{2} = 3$

Paso 3.2.2

Calcula la raíz especificada de ambos lados de la ecuación para eliminar el exponente en el lado izquierdo.

$x = \pm \sqrt{3}$

Paso 3.2.3

La solución completa es el resultado de las partes positiva y negativa de la solución.

Toca para ver más pasos...

Paso 3.2.3.1

Primero, usa el valor positivo de $\pm$ para obtener la primera solución.

$x = \sqrt{3}$

Paso 3.2.3.2

Luego, usa el valor negativo de $\pm$ para obtener la segunda solución.

$x = - \sqrt{3}$

Paso 3.2.3.3

La solución completa es el resultado de las partes positiva y negativa de la solución.

$x = \sqrt{3}, - \sqrt{3}$

Paso 4

Establece $x^{2} + 3 x + 6$ igual a $0$ y resuelve $x$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 4.1

Establece $x^{2} + 3 x + 6$ igual a $0$ .

$x^{2} + 3 x + 6 = 0$

Paso 4.2

Resuelve $x^{2} + 3 x + 6 = 0$ en $x$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 4.2.1

Usa la fórmula cuadrática para obtener las soluciones.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Paso 4.2.2

Sustituye los valores $a = 1$ , $b = 3$ y $c = 6$ en la fórmula cuadrática y resuelve $x$ .

$\frac{- 3 \pm \sqrt{3^{2} - 4 \cdot (1 \cdot 6)}}{2 \cdot 1}$

Paso 4.2.3

Simplifica.

Toca para ver más pasos...

Paso 4.2.3.1

Simplifica el numerador.

Toca para ver más pasos...

Paso 4.2.3.1.1

Eleva $3$ a la potencia de $2$ .

$x = \frac{- 3 \pm \sqrt{9 - 4 \cdot 1 \cdot 6}}{2 \cdot 1}$

Paso 4.2.3.1.2

Multiplica $- 4 \cdot 1 \cdot 6$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 4.2.3.1.2.1

Multiplica $- 4$ por $1$ .

$x = \frac{- 3 \pm \sqrt{9 - 4 \cdot 6}}{2 \cdot 1}$

Paso 4.2.3.1.2.2

Multiplica $- 4$ por $6$ .

$x = \frac{- 3 \pm \sqrt{9 - 24}}{2 \cdot 1}$

Paso 4.2.3.1.3

Resta $24$ de $9$ .

$x = \frac{- 3 \pm \sqrt{- 15}}{2 \cdot 1}$

Paso 4.2.3.1.4

Reescribe $- 15$ como $- 1 (15)$ .

$x = \frac{- 3 \pm \sqrt{- 1 \cdot 15}}{2 \cdot 1}$

Paso 4.2.3.1.5

Reescribe $\sqrt{- 1 (15)}$ como $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{15}$ .

$x = \frac{- 3 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{15}}{2 \cdot 1}$

Paso 4.2.3.1.6

Reescribe $\sqrt{- 1}$ como $i$ .

$x = \frac{- 3 \pm i \sqrt{15}}{2 \cdot 1}$

Paso 4.2.3.2

Multiplica $2$ por $1$ .

$x = \frac{- 3 \pm i \sqrt{15}}{2}$

Paso 4.2.4

Simplifica la expresión para obtener el valor de la parte $+$ de $\pm$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 4.2.4.1

Simplifica el numerador.

Toca para ver más pasos...

Paso 4.2.4.1.1

Eleva $3$ a la potencia de $2$ .

$x = \frac{- 3 \pm \sqrt{9 - 4 \cdot 1 \cdot 6}}{2 \cdot 1}$

Paso 4.2.4.1.2

Multiplica $- 4 \cdot 1 \cdot 6$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 4.2.4.1.2.1

Multiplica $- 4$ por $1$ .

$x = \frac{- 3 \pm \sqrt{9 - 4 \cdot 6}}{2 \cdot 1}$

Paso 4.2.4.1.2.2

Multiplica $- 4$ por $6$ .

$x = \frac{- 3 \pm \sqrt{9 - 24}}{2 \cdot 1}$

Paso 4.2.4.1.3

Resta $24$ de $9$ .

$x = \frac{- 3 \pm \sqrt{- 15}}{2 \cdot 1}$

Paso 4.2.4.1.4

Reescribe $- 15$ como $- 1 (15)$ .

$x = \frac{- 3 \pm \sqrt{- 1 \cdot 15}}{2 \cdot 1}$

Paso 4.2.4.1.5

Reescribe $\sqrt{- 1 (15)}$ como $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{15}$ .

$x = \frac{- 3 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{15}}{2 \cdot 1}$

Paso 4.2.4.1.6

Reescribe $\sqrt{- 1}$ como $i$ .

$x = \frac{- 3 \pm i \sqrt{15}}{2 \cdot 1}$

Paso 4.2.4.2

Multiplica $2$ por $1$ .

$x = \frac{- 3 \pm i \sqrt{15}}{2}$

Paso 4.2.4.3

Cambia $\pm$ a $+$ .

$x = \frac{- 3 + i \sqrt{15}}{2}$

Paso 4.2.4.4

Reescribe $- 3$ como $- 1 (3)$ .

$x = \frac{- 1 \cdot 3 + i \sqrt{15}}{2}$

Paso 4.2.4.5

Factoriza $- 1$ de $i \sqrt{15}$ .

$x = \frac{- 1 \cdot 3 - (- i \sqrt{15})}{2}$

Paso 4.2.4.6

Factoriza $- 1$ de $- 1 (3) - (- i \sqrt{15})$ .

$x = \frac{- 1 (3 - i \sqrt{15})}{2}$

Paso 4.2.4.7

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$x = - \frac{3 - i \sqrt{15}}{2}$

Paso 4.2.5

Simplifica la expresión para obtener el valor de la parte $-$ de $\pm$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 4.2.5.1

Simplifica el numerador.

Toca para ver más pasos...

Paso 4.2.5.1.1

Eleva $3$ a la potencia de $2$ .

$x = \frac{- 3 \pm \sqrt{9 - 4 \cdot 1 \cdot 6}}{2 \cdot 1}$

Paso 4.2.5.1.2

Multiplica $- 4 \cdot 1 \cdot 6$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 4.2.5.1.2.1

Multiplica $- 4$ por $1$ .

$x = \frac{- 3 \pm \sqrt{9 - 4 \cdot 6}}{2 \cdot 1}$

Paso 4.2.5.1.2.2

Multiplica $- 4$ por $6$ .

$x = \frac{- 3 \pm \sqrt{9 - 24}}{2 \cdot 1}$

Paso 4.2.5.1.3

Resta $24$ de $9$ .

$x = \frac{- 3 \pm \sqrt{- 15}}{2 \cdot 1}$

Paso 4.2.5.1.4

Reescribe $- 15$ como $- 1 (15)$ .

$x = \frac{- 3 \pm \sqrt{- 1 \cdot 15}}{2 \cdot 1}$

Paso 4.2.5.1.5

Reescribe $\sqrt{- 1 (15)}$ como $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{15}$ .

$x = \frac{- 3 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{15}}{2 \cdot 1}$

Paso 4.2.5.1.6

Reescribe $\sqrt{- 1}$ como $i$ .

$x = \frac{- 3 \pm i \sqrt{15}}{2 \cdot 1}$

Paso 4.2.5.2

Multiplica $2$ por $1$ .

$x = \frac{- 3 \pm i \sqrt{15}}{2}$

Paso 4.2.5.3

Cambia $\pm$ a $-$ .

$x = \frac{- 3 - i \sqrt{15}}{2}$

Paso 4.2.5.4

Reescribe $- 3$ como $- 1 (3)$ .

$x = \frac{- 1 \cdot 3 - i \sqrt{15}}{2}$

Paso 4.2.5.5

Factoriza $- 1$ de $- i \sqrt{15}$ .

$x = \frac{- 1 \cdot 3 - (i \sqrt{15})}{2}$

Paso 4.2.5.6

Factoriza $- 1$ de $- 1 (3) - (i \sqrt{15})$ .

$x = \frac{- 1 (3 + i \sqrt{15})}{2}$

Paso 4.2.5.7

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$x = - \frac{3 + i \sqrt{15}}{2}$

Paso 4.2.6

La respuesta final es la combinación de ambas soluciones.

$x = - \frac{3 - i \sqrt{15}}{2}, - \frac{3 + i \sqrt{15}}{2}$

Paso 5

La solución final comprende todos los valores que hacen $(x^{2} - 3) (x^{2} + 3 x + 6) = 0$ verdadera.

$x = \sqrt{3}, - \sqrt{3}, - \frac{3 - i \sqrt{15}}{2}, - \frac{3 + i \sqrt{15}}{2}$

Paso 6