Matemática discreta Ejemplos

$x^{3} - 14 x - 8$

Paso 1

Si una función polinomial tiene coeficientes enteros, entonces todo cero racional tendrá la forma $\frac{p}{q}$ , donde $p$ es un factor de la constante y $q$ es un factor del coeficiente principal.

$p = \pm 1, \pm 2, \pm 4, \pm 8$

$q = \pm 1$

Paso 2

Obtén todas las combinaciones de $\pm \frac{p}{q}$ . Estas son las posibles raíces de la función polinomial.

$\pm 1, \pm 2, \pm 4, \pm 8$

Paso 3

Sustituye las posibles raíces una por una en el polinomio para obtener las raíces reales. Simplifica para comprobar si el valor es $0$ , lo que significa que es una raíz.

${(4)}^{3} - 14 \cdot 4 - 8$

Paso 4

Simplifica la expresión. En este caso, la expresión es igual a $0$ , por lo que $x = 4$ es una raíz del polinomio.

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Paso 4.1

Simplifica cada término.

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Paso 4.1.1

Eleva $4$ a la potencia de $3$ .

$64 - 14 \cdot 4 - 8$

Paso 4.1.2

Multiplica $- 14$ por $4$ .

$64 - 56 - 8$

Paso 4.2

Simplifica mediante la resta de números.

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Paso 4.2.1

Resta $56$ de $64$ .

$8 - 8$

Paso 4.2.2

Resta $8$ de $8$ .

$0$

Paso 5

Como $4$ es una raíz conocida, divide el polinomio por $x - 4$ para obtener el polinomio del cociente. Este polinomio luego se puede usar para obtener las raíces restantes.

$\frac{x^{3} - 14 x - 8}{x - 4}$

Paso 6

Luego, obtén las raíces del polinomio restante. El orden del polinomio se ha reducido por $1$ .

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Paso 6.1

Coloca los números que representan el divisor y el dividendo en una configuración tipo división.

$4$	$1$	$0$	$- 14$	$- 8$

Paso 6.2

El primer número en el dividendo $(1)$ se pone en la primera posición del área del resultado (debajo de la recta horizontal).

$4$	$1$	$0$	$- 14$	$- 8$

	$1$

Paso 6.3

Multiplica la entrada más reciente en el resultado $(1)$ por el divisor $(4)$ y coloca el resultado de $(4)$ debajo del siguiente término en el dividendo $(0)$ .

$4$	$1$	$0$	$- 14$	$- 8$
		$4$
	$1$

Paso 6.4

Suma el producto de la multiplicación y el número del dividendo y coloca el resultado en la siguiente posición en la línea del resultado.

$4$	$1$	$0$	$- 14$	$- 8$
		$4$
	$1$	$4$

Paso 6.5

Multiplica la entrada más reciente en el resultado $(4)$ por el divisor $(4)$ y coloca el resultado de $(16)$ debajo del siguiente término en el dividendo $(- 14)$ .

$4$	$1$	$0$	$- 14$	$- 8$
		$4$	$16$
	$1$	$4$

Paso 6.6

Suma el producto de la multiplicación y el número del dividendo y coloca el resultado en la siguiente posición en la línea del resultado.

$4$	$1$	$0$	$- 14$	$- 8$
		$4$	$16$
	$1$	$4$	$2$

Paso 6.7

Multiplica la entrada más reciente en el resultado $(2)$ por el divisor $(4)$ y coloca el resultado de $(8)$ debajo del siguiente término en el dividendo $(- 8)$ .

$4$	$1$	$0$	$- 14$	$- 8$
		$4$	$16$	$8$
	$1$	$4$	$2$

Paso 6.8

Suma el producto de la multiplicación y el número del dividendo y coloca el resultado en la siguiente posición en la línea del resultado.

$4$	$1$	$0$	$- 14$	$- 8$
		$4$	$16$	$8$
	$1$	$4$	$2$	$0$

Paso 6.9

Todos los números excepto el último se convierten en coeficientes del polinomio del cociente. El último valor de la línea del resultado es el resto.

$1 x^{2} + 4 x + 2$

Paso 6.10

Simplifica el polinomio del cociente.

$x^{2} + 4 x + 2$

Paso 7

Resuelve la ecuación para obtener las raíces restantes.

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Paso 7.1

Usa la fórmula cuadrática para obtener las soluciones.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Paso 7.2

Sustituye los valores $a = 1$ , $b = 4$ y $c = 2$ en la fórmula cuadrática y resuelve $x$ .

$\frac{- 4 \pm \sqrt{4^{2} - 4 \cdot (1 \cdot 2)}}{2 \cdot 1}$

Paso 7.3

Simplifica.

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Paso 7.3.1

Simplifica el numerador.

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Paso 7.3.1.1

Eleva $4$ a la potencia de $2$ .

$x = \frac{- 4 \pm \sqrt{16 - 4 \cdot 1 \cdot 2}}{2 \cdot 1}$

Paso 7.3.1.2

Multiplica $- 4 \cdot 1 \cdot 2$ .

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Paso 7.3.1.2.1

Multiplica $- 4$ por $1$ .

$x = \frac{- 4 \pm \sqrt{16 - 4 \cdot 2}}{2 \cdot 1}$

Paso 7.3.1.2.2

Multiplica $- 4$ por $2$ .

$x = \frac{- 4 \pm \sqrt{16 - 8}}{2 \cdot 1}$

Paso 7.3.1.3

Resta $8$ de $16$ .

$x = \frac{- 4 \pm \sqrt{8}}{2 \cdot 1}$

Paso 7.3.1.4

Reescribe $8$ como $2^{2} \cdot 2$ .

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Paso 7.3.1.4.1

Factoriza $4$ de $8$ .

$x = \frac{- 4 \pm \sqrt{4 (2)}}{2 \cdot 1}$

Paso 7.3.1.4.2

Reescribe $4$ como $2^{2}$ .

$x = \frac{- 4 \pm \sqrt{2^{2} \cdot 2}}{2 \cdot 1}$

Paso 7.3.1.5

Retira los términos de abajo del radical.

$x = \frac{- 4 \pm 2 \sqrt{2}}{2 \cdot 1}$

Paso 7.3.2

Multiplica $2$ por $1$ .

$x = \frac{- 4 \pm 2 \sqrt{2}}{2}$

Paso 7.3.3

Simplifica $\frac{- 4 \pm 2 \sqrt{2}}{2}$ .

$x = - 2 \pm \sqrt{2}$

Paso 7.4

Simplifica la expresión para obtener el valor de la parte $+$ de $\pm$ .

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Paso 7.4.1

Simplifica el numerador.

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Paso 7.4.1.1

Eleva $4$ a la potencia de $2$ .

$x = \frac{- 4 \pm \sqrt{16 - 4 \cdot 1 \cdot 2}}{2 \cdot 1}$

Paso 7.4.1.2

Multiplica $- 4 \cdot 1 \cdot 2$ .

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Paso 7.4.1.2.1

Multiplica $- 4$ por $1$ .

$x = \frac{- 4 \pm \sqrt{16 - 4 \cdot 2}}{2 \cdot 1}$

Paso 7.4.1.2.2

Multiplica $- 4$ por $2$ .

$x = \frac{- 4 \pm \sqrt{16 - 8}}{2 \cdot 1}$

Paso 7.4.1.3

Resta $8$ de $16$ .

$x = \frac{- 4 \pm \sqrt{8}}{2 \cdot 1}$

Paso 7.4.1.4

Reescribe $8$ como $2^{2} \cdot 2$ .

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Paso 7.4.1.4.1

Factoriza $4$ de $8$ .

$x = \frac{- 4 \pm \sqrt{4 (2)}}{2 \cdot 1}$

Paso 7.4.1.4.2

Reescribe $4$ como $2^{2}$ .

$x = \frac{- 4 \pm \sqrt{2^{2} \cdot 2}}{2 \cdot 1}$

Paso 7.4.1.5

Retira los términos de abajo del radical.

$x = \frac{- 4 \pm 2 \sqrt{2}}{2 \cdot 1}$

Paso 7.4.2

Multiplica $2$ por $1$ .

$x = \frac{- 4 \pm 2 \sqrt{2}}{2}$

Paso 7.4.3

Simplifica $\frac{- 4 \pm 2 \sqrt{2}}{2}$ .

$x = - 2 \pm \sqrt{2}$

Paso 7.4.4

Cambia $\pm$ a $+$ .

$x = - 2 + \sqrt{2}$

Paso 7.5

Simplifica la expresión para obtener el valor de la parte $-$ de $\pm$ .

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Paso 7.5.1

Simplifica el numerador.

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Paso 7.5.1.1

Eleva $4$ a la potencia de $2$ .

$x = \frac{- 4 \pm \sqrt{16 - 4 \cdot 1 \cdot 2}}{2 \cdot 1}$

Paso 7.5.1.2

Multiplica $- 4 \cdot 1 \cdot 2$ .

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Paso 7.5.1.2.1

Multiplica $- 4$ por $1$ .

$x = \frac{- 4 \pm \sqrt{16 - 4 \cdot 2}}{2 \cdot 1}$

Paso 7.5.1.2.2

Multiplica $- 4$ por $2$ .

$x = \frac{- 4 \pm \sqrt{16 - 8}}{2 \cdot 1}$

Paso 7.5.1.3

Resta $8$ de $16$ .

$x = \frac{- 4 \pm \sqrt{8}}{2 \cdot 1}$

Paso 7.5.1.4

Reescribe $8$ como $2^{2} \cdot 2$ .

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Paso 7.5.1.4.1

Factoriza $4$ de $8$ .

$x = \frac{- 4 \pm \sqrt{4 (2)}}{2 \cdot 1}$

Paso 7.5.1.4.2

Reescribe $4$ como $2^{2}$ .

$x = \frac{- 4 \pm \sqrt{2^{2} \cdot 2}}{2 \cdot 1}$

Paso 7.5.1.5

Retira los términos de abajo del radical.

$x = \frac{- 4 \pm 2 \sqrt{2}}{2 \cdot 1}$

Paso 7.5.2

Multiplica $2$ por $1$ .

$x = \frac{- 4 \pm 2 \sqrt{2}}{2}$

Paso 7.5.3

Simplifica $\frac{- 4 \pm 2 \sqrt{2}}{2}$ .

$x = - 2 \pm \sqrt{2}$

Paso 7.5.4

Cambia $\pm$ a $-$ .

$x = - 2 - \sqrt{2}$

Paso 7.6

La respuesta final es la combinación de ambas soluciones.

$x = - 2 + \sqrt{2}, - 2 - \sqrt{2}$

Paso 8

El polinomio puede escribirse como un conjunto de factores lineales.

$(x - 4) (x + 2 - \sqrt{2}) (x + 2 + \sqrt{2})$

Paso 9

Estas son las raíces (ceros) del polinomio $x^{3} - 14 x - 8$ .

$x = 4, - 2 + \sqrt{2}, - 2 - \sqrt{2}$

Paso 10

El resultado puede mostrarse de distintas formas.

Forma exacta:

$x = 4, - 2 + \sqrt{2}, - 2 - \sqrt{2}$

Forma decimal:

$x = 4, - 0.58578643 \dots, - 3.41421356 \dots$

Paso 11