Matemática discreta Ejemplos

$t^{4} - 2 t^{3} + 2 t^{2} - 10 t - 15$

Paso 1

Si una función polinomial tiene coeficientes enteros, entonces todo cero racional tendrá la forma $\frac{p}{q}$ , donde $p$ es un factor de la constante y $q$ es un factor del coeficiente principal.

$p = \pm 1, \pm 3, \pm 5, \pm 15$

$q = \pm 1$

Paso 2

Obtén todas las combinaciones de $\pm \frac{p}{q}$ . Estas son las posibles raíces de la función polinomial.

$\pm 1, \pm 3, \pm 5, \pm 15$

Paso 3

Sustituye las posibles raíces una por una en el polinomio para obtener las raíces reales. Simplifica para comprobar si el valor es $0$ , lo que significa que es una raíz.

${(- 1)}^{4} - 2 {(- 1)}^{3} + 2 {(- 1)}^{2} - 10 \cdot - 1 - 15$

Paso 4

Simplifica la expresión. En este caso, la expresión es igual a $0$ , por lo que $t = - 1$ es una raíz del polinomio.

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Paso 4.1

Simplifica cada término.

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Paso 4.1.1

Eleva $- 1$ a la potencia de $4$ .

$1 - 2 {(- 1)}^{3} + 2 {(- 1)}^{2} - 10 \cdot - 1 - 15$

Paso 4.1.2

Eleva $- 1$ a la potencia de $3$ .

$1 - 2 \cdot - 1 + 2 {(- 1)}^{2} - 10 \cdot - 1 - 15$

Paso 4.1.3

Multiplica $- 2$ por $- 1$ .

$1 + 2 + 2 {(- 1)}^{2} - 10 \cdot - 1 - 15$

Paso 4.1.4

Eleva $- 1$ a la potencia de $2$ .

$1 + 2 + 2 \cdot 1 - 10 \cdot - 1 - 15$

Paso 4.1.5

Multiplica $2$ por $1$ .

$1 + 2 + 2 - 10 \cdot - 1 - 15$

Paso 4.1.6

Multiplica $- 10$ por $- 1$ .

$1 + 2 + 2 + 10 - 15$

Paso 4.2

Simplifica mediante suma y resta.

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Paso 4.2.1

Suma $1$ y $2$ .

$3 + 2 + 10 - 15$

Paso 4.2.2

Suma $3$ y $2$ .

$5 + 10 - 15$

Paso 4.2.3

Suma $5$ y $10$ .

$15 - 15$

Paso 4.2.4

Resta $15$ de $15$ .

$0$

Paso 5

Como $- 1$ es una raíz conocida, divide el polinomio por $t + 1$ para obtener el polinomio del cociente. Este polinomio luego se puede usar para obtener las raíces restantes.

$\frac{t^{4} - 2 t^{3} + 2 t^{2} - 10 t - 15}{t + 1}$

Paso 6

Luego, obtén las raíces del polinomio restante. El orden del polinomio se ha reducido por $1$ .

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Paso 6.1

Coloca los números que representan el divisor y el dividendo en una configuración tipo división.

$- 1$	$1$	$- 2$	$2$	$- 10$	$- 15$

Paso 6.2

El primer número en el dividendo $(1)$ se pone en la primera posición del área del resultado (debajo de la recta horizontal).

$- 1$	$1$	$- 2$	$2$	$- 10$	$- 15$

	$1$

Paso 6.3

Multiplica la entrada más reciente en el resultado $(1)$ por el divisor $(- 1)$ y coloca el resultado de $(- 1)$ debajo del siguiente término en el dividendo $(- 2)$ .

$- 1$	$1$	$- 2$	$2$	$- 10$	$- 15$
		$- 1$
	$1$

Paso 6.4

Suma el producto de la multiplicación y el número del dividendo y coloca el resultado en la siguiente posición en la línea del resultado.

$- 1$	$1$	$- 2$	$2$	$- 10$	$- 15$
		$- 1$
	$1$	$- 3$

Paso 6.5

Multiplica la entrada más reciente en el resultado $(- 3)$ por el divisor $(- 1)$ y coloca el resultado de $(3)$ debajo del siguiente término en el dividendo $(2)$ .

$- 1$	$1$	$- 2$	$2$	$- 10$	$- 15$
		$- 1$	$3$
	$1$	$- 3$

Paso 6.6

Suma el producto de la multiplicación y el número del dividendo y coloca el resultado en la siguiente posición en la línea del resultado.

$- 1$	$1$	$- 2$	$2$	$- 10$	$- 15$
		$- 1$	$3$
	$1$	$- 3$	$5$

Paso 6.7

Multiplica la entrada más reciente en el resultado $(5)$ por el divisor $(- 1)$ y coloca el resultado de $(- 5)$ debajo del siguiente término en el dividendo $(- 10)$ .

$- 1$	$1$	$- 2$	$2$	$- 10$	$- 15$
		$- 1$	$3$	$- 5$
	$1$	$- 3$	$5$

Paso 6.8

Suma el producto de la multiplicación y el número del dividendo y coloca el resultado en la siguiente posición en la línea del resultado.

$- 1$	$1$	$- 2$	$2$	$- 10$	$- 15$
		$- 1$	$3$	$- 5$
	$1$	$- 3$	$5$	$- 15$

Paso 6.9

Multiplica la entrada más reciente en el resultado $(- 15)$ por el divisor $(- 1)$ y coloca el resultado de $(15)$ debajo del siguiente término en el dividendo $(- 15)$ .

$- 1$	$1$	$- 2$	$2$	$- 10$	$- 15$
		$- 1$	$3$	$- 5$	$15$
	$1$	$- 3$	$5$	$- 15$

Paso 6.10

Suma el producto de la multiplicación y el número del dividendo y coloca el resultado en la siguiente posición en la línea del resultado.

$- 1$	$1$	$- 2$	$2$	$- 10$	$- 15$
		$- 1$	$3$	$- 5$	$15$
	$1$	$- 3$	$5$	$- 15$	$0$

Paso 6.11

Todos los números excepto el último se convierten en coeficientes del polinomio del cociente. El último valor de la línea del resultado es el resto.

$1 t^{3} + - 3 t^{2} + (5) t - 15$

Paso 6.12

Simplifica el polinomio del cociente.

$t^{3} - 3 t^{2} + 5 t - 15$

Paso 7

Factoriza el máximo común divisor de cada grupo.

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Paso 7.1

Agrupa los dos primeros términos y los dos últimos términos.

$(t + 1) (t^{3} - 3 t^{2}) + 5 t - 15$

Paso 7.2

Factoriza el máximo común divisor (MCD) de cada grupo.

$(t + 1) + t^{2} (t - 3) + 5 (t - 3)$

$(t + 1) t^{2} (t - 3) + 5 (t - 3)$

Paso 8

Factoriza el polinomio mediante la factorización del máximo común divisor, $t - 3$ .

$(t + 1) (t - 3) (t^{2} + 5)$

Paso 9

Factoriza el lado izquierdo de la ecuación.

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Paso 9.1

Reagrupa los términos.

$- 2 t^{3} - 10 t + t^{4} + 2 t^{2} - 15 = 0$

Paso 9.2

Factoriza $- 2 t$ de $- 2 t^{3} - 10 t$ .

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Paso 9.2.1

Factoriza $- 2 t$ de $- 2 t^{3}$ .

$- 2 t \cdot t^{2} - 10 t + t^{4} + 2 t^{2} - 15 = 0$

Paso 9.2.2

Factoriza $- 2 t$ de $- 10 t$ .

$- 2 t \cdot t^{2} - 2 t \cdot 5 + t^{4} + 2 t^{2} - 15 = 0$

Paso 9.2.3

Factoriza $- 2 t$ de $- 2 t (t^{2}) - 2 t (5)$ .

$- 2 t (t^{2} + 5) + t^{4} + 2 t^{2} - 15 = 0$

Paso 9.3

Reescribe $t^{4}$ como ${(t^{2})}^{2}$ .

$- 2 t (t^{2} + 5) + {(t^{2})}^{2} + 2 t^{2} - 15 = 0$

Paso 9.4

Sea $u = t^{2}$ . Sustituye $u$ por todos los casos de $t^{2}$ .

$- 2 t (t^{2} + 5) + u^{2} + 2 u - 15 = 0$

Paso 9.5

Factoriza $u^{2} + 2 u - 15$ con el método AC.

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Paso 9.5.1

Considera la forma $x^{2} + b x + c$ . Encuentra un par de números enteros cuyo producto sea $c$ y cuya suma sea $b$ . En este caso, cuyo producto es $- 15$ y cuya suma es $2$ .

$- 3, 5$

Paso 9.5.2

Escribe la forma factorizada mediante estos números enteros.

$- 2 t (t^{2} + 5) + (u - 3) (u + 5) = 0$

Paso 9.6

Reemplaza todos los casos de $u$ con $t^{2}$ .

$- 2 t (t^{2} + 5) + (t^{2} - 3) (t^{2} + 5) = 0$

Paso 9.7

Factoriza $t^{2} + 5$ de $- 2 t (t^{2} + 5) + (t^{2} - 3) (t^{2} + 5)$ .

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Paso 9.7.1

Factoriza $t^{2} + 5$ de $- 2 t (t^{2} + 5)$ .

$(t^{2} + 5) (- 2 t) + (t^{2} - 3) (t^{2} + 5) = 0$

Paso 9.7.2

Factoriza $t^{2} + 5$ de $(t^{2} - 3) (t^{2} + 5)$ .

$(t^{2} + 5) (- 2 t) + (t^{2} + 5) (t^{2} - 3) = 0$

Paso 9.7.3

Factoriza $t^{2} + 5$ de $(t^{2} + 5) (- 2 t) + (t^{2} + 5) (t^{2} - 3)$ .

$(t^{2} + 5) (- 2 t + t^{2} - 3) = 0$

Paso 9.8

Sea $u = t$ . Sustituye $u$ por todos los casos de $t$ .

$(t^{2} + 5) (- 2 u + u^{2} - 3) = 0$

Paso 9.9

Factoriza $- 2 u + u^{2} - 3$ con el método AC.

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Paso 9.9.1

Considera la forma $x^{2} + b x + c$ . Encuentra un par de números enteros cuyo producto sea $c$ y cuya suma sea $b$ . En este caso, cuyo producto es $- 3$ y cuya suma es $- 2$ .

$- 3, 1$

Paso 9.9.2

Escribe la forma factorizada mediante estos números enteros.

$(t^{2} + 5) ((u - 3) (u + 1)) = 0$

Paso 9.10

Factoriza.

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Paso 9.10.1

Reemplaza todos los casos de $u$ con $t$ .

$(t^{2} + 5) ((t - 3) (t + 1)) = 0$

Paso 9.10.2

Elimina los paréntesis innecesarios.

$(t^{2} + 5) (t - 3) (t + 1) = 0$

Paso 10

Si cualquier factor individual en el lado izquierdo de la ecuación es igual a $0$ , la expresión completa será igual a $0$ .

$t^{2} + 5 = 0$

$t - 3 = 0$

$t + 1 = 0$

Paso 11

Establece $t^{2} + 5$ igual a $0$ y resuelve $t$ .

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Paso 11.1

Establece $t^{2} + 5$ igual a $0$ .

$t^{2} + 5 = 0$

Paso 11.2

Resuelve $t^{2} + 5 = 0$ en $t$ .

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Paso 11.2.1

Resta $5$ de ambos lados de la ecuación.

$t^{2} = - 5$

Paso 11.2.2

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$t = \pm \sqrt{- 5}$

Paso 11.2.3

Simplifica $\pm \sqrt{- 5}$ .

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Paso 11.2.3.1

Reescribe $- 5$ como $- 1 (5)$ .

$t = \pm \sqrt{- 1 (5)}$

Paso 11.2.3.2

Reescribe $\sqrt{- 1 (5)}$ como $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{5}$ .

$t = \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{5}$

Paso 11.2.3.3

Reescribe $\sqrt{- 1}$ como $i$ .

$t = \pm i \sqrt{5}$

Paso 11.2.4

La solución completa es el resultado de las partes positiva y negativa de la solución.

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Paso 11.2.4.1

Primero, usa el valor positivo de $\pm$ para obtener la primera solución.

$t = i \sqrt{5}$

Paso 11.2.4.2

Luego, usa el valor negativo de $\pm$ para obtener la segunda solución.

$t = - i \sqrt{5}$

Paso 11.2.4.3

La solución completa es el resultado de las partes positiva y negativa de la solución.

$t = i \sqrt{5}, - i \sqrt{5}$

Paso 12

Establece $t - 3$ igual a $0$ y resuelve $t$ .

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Paso 12.1

Establece $t - 3$ igual a $0$ .

$t - 3 = 0$

Paso 12.2

Suma $3$ a ambos lados de la ecuación.

$t = 3$

Paso 13

Establece $t + 1$ igual a $0$ y resuelve $t$ .

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Paso 13.1

Establece $t + 1$ igual a $0$ .

$t + 1 = 0$

Paso 13.2

Resta $1$ de ambos lados de la ecuación.

$t = - 1$

Paso 14

La solución final comprende todos los valores que hacen $(t^{2} + 5) (t - 3) (t + 1) = 0$ verdadera.

$t = i \sqrt{5}, - i \sqrt{5}, 3, - 1$

Paso 15