Matemática discreta Ejemplos

$4 x^{4} + 15 x^{2} - 4$

Paso 1

Si una función polinomial tiene coeficientes enteros, entonces todo cero racional tendrá la forma $\frac{p}{q}$ , donde $p$ es un factor de la constante y $q$ es un factor del coeficiente principal.

$p = \pm 1, \pm 2, \pm 4$

$q = \pm 1, \pm 2, \pm 4$

Paso 2

Obtén todas las combinaciones de $\pm \frac{p}{q}$ . Estas son las posibles raíces de la función polinomial.

$\pm 1, \pm \frac{1}{2}, \pm \frac{1}{4}, \pm 2, \pm 4$

Paso 3

Sustituye las posibles raíces una por una en el polinomio para obtener las raíces reales. Simplifica para comprobar si el valor es $0$ , lo que significa que es una raíz.

$4 {(\frac{1}{2})}^{4} + 15 {(\frac{1}{2})}^{2} - 4$

Paso 4

Simplifica la expresión. En este caso, la expresión es igual a $0$ , por lo que $x = \frac{1}{2}$ es una raíz del polinomio.

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Paso 4.1

Simplifica cada término.

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Paso 4.1.1

Aplica la regla del producto a $\frac{1}{2}$ .

$4 \frac{1^{4}}{2^{4}} + 15 {(\frac{1}{2})}^{2} - 4$

Paso 4.1.2

Uno elevado a cualquier potencia es uno.

$4 \frac{1}{2^{4}} + 15 {(\frac{1}{2})}^{2} - 4$

Paso 4.1.3

Eleva $2$ a la potencia de $4$ .

$4 (\frac{1}{16}) + 15 {(\frac{1}{2})}^{2} - 4$

Paso 4.1.4

Cancela el factor común de $4$ .

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Paso 4.1.4.1

Factoriza $4$ de $16$ .

$4 \frac{1}{4 (4)} + 15 {(\frac{1}{2})}^{2} - 4$

Paso 4.1.4.2

Cancela el factor común.

$4 \frac{1}{4 \cdot 4} + 15 {(\frac{1}{2})}^{2} - 4$

Paso 4.1.4.3

Reescribe la expresión.

$\frac{1}{4} + 15 {(\frac{1}{2})}^{2} - 4$

Paso 4.1.5

Aplica la regla del producto a $\frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{4} + 15 \frac{1^{2}}{2^{2}} - 4$

Paso 4.1.6

Uno elevado a cualquier potencia es uno.

$\frac{1}{4} + 15 \frac{1}{2^{2}} - 4$

Paso 4.1.7

Eleva $2$ a la potencia de $2$ .

$\frac{1}{4} + 15 (\frac{1}{4}) - 4$

Paso 4.1.8

Combina $15$ y $\frac{1}{4}$ .

$\frac{1}{4} + \frac{15}{4} - 4$

Paso 4.2

Combina fracciones.

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Paso 4.2.1

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$- 4 + \frac{1 + 15}{4}$

Paso 4.2.2

Simplifica la expresión.

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Paso 4.2.2.1

Suma $1$ y $15$ .

$- 4 + \frac{16}{4}$

Paso 4.2.2.2

Divide $16$ por $4$ .

$- 4 + 4$

Paso 4.2.2.3

Suma $- 4$ y $4$ .

$0$

Paso 5

Como $\frac{1}{2}$ es una raíz conocida, divide el polinomio por $x - \frac{1}{2}$ para obtener el polinomio del cociente. Este polinomio luego se puede usar para obtener las raíces restantes.

$\frac{4 x^{4} + 15 x^{2} - 4}{x - \frac{1}{2}}$

Paso 6

Luego, obtén las raíces del polinomio restante. El orden del polinomio se ha reducido por $1$ .

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Paso 6.1

Coloca los números que representan el divisor y el dividendo en una configuración tipo división.

$\frac{1}{2}$	$4$	$0$	$15$	$0$	$- 4$

Paso 6.2

El primer número en el dividendo $(4)$ se pone en la primera posición del área del resultado (debajo de la recta horizontal).

$\frac{1}{2}$	$4$	$0$	$15$	$0$	$- 4$

	$4$

Paso 6.3

Multiplica la entrada más reciente en el resultado $(4)$ por el divisor $(\frac{1}{2})$ y coloca el resultado de $(2)$ debajo del siguiente término en el dividendo $(0)$ .

$\frac{1}{2}$	$4$	$0$	$15$	$0$	$- 4$
		$2$
	$4$

Paso 6.4

Suma el producto de la multiplicación y el número del dividendo y coloca el resultado en la siguiente posición en la línea del resultado.

$\frac{1}{2}$	$4$	$0$	$15$	$0$	$- 4$
		$2$
	$4$	$2$

Paso 6.5

Multiplica la entrada más reciente en el resultado $(2)$ por el divisor $(\frac{1}{2})$ y coloca el resultado de $(1)$ debajo del siguiente término en el dividendo $(15)$ .

$\frac{1}{2}$	$4$	$0$	$15$	$0$	$- 4$
		$2$	$1$
	$4$	$2$

Paso 6.6

Suma el producto de la multiplicación y el número del dividendo y coloca el resultado en la siguiente posición en la línea del resultado.

$\frac{1}{2}$	$4$	$0$	$15$	$0$	$- 4$
		$2$	$1$
	$4$	$2$	$16$

Paso 6.7

Multiplica la entrada más reciente en el resultado $(16)$ por el divisor $(\frac{1}{2})$ y coloca el resultado de $(8)$ debajo del siguiente término en el dividendo $(0)$ .

$\frac{1}{2}$	$4$	$0$	$15$	$0$	$- 4$
		$2$	$1$	$8$
	$4$	$2$	$16$

Paso 6.8

Suma el producto de la multiplicación y el número del dividendo y coloca el resultado en la siguiente posición en la línea del resultado.

$\frac{1}{2}$	$4$	$0$	$15$	$0$	$- 4$
		$2$	$1$	$8$
	$4$	$2$	$16$	$8$

Paso 6.9

Multiplica la entrada más reciente en el resultado $(8)$ por el divisor $(\frac{1}{2})$ y coloca el resultado de $(4)$ debajo del siguiente término en el dividendo $(- 4)$ .

$\frac{1}{2}$	$4$	$0$	$15$	$0$	$- 4$
		$2$	$1$	$8$	$4$
	$4$	$2$	$16$	$8$

Paso 6.10

Suma el producto de la multiplicación y el número del dividendo y coloca el resultado en la siguiente posición en la línea del resultado.

$\frac{1}{2}$	$4$	$0$	$15$	$0$	$- 4$
		$2$	$1$	$8$	$4$
	$4$	$2$	$16$	$8$	$0$

Paso 6.11

Todos los números excepto el último se convierten en coeficientes del polinomio del cociente. El último valor de la línea del resultado es el resto.

$4 x^{3} + 2 x^{2} + (16) x + 8$

Paso 6.12

Simplifica el polinomio del cociente.

$4 x^{3} + 2 x^{2} + 16 x + 8$

Paso 7

Factoriza $2$ de $4 x^{3} + 2 x^{2} + 16 x + 8$ .

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Paso 7.1

Factoriza $2$ de $4 x^{3}$ .

$(x - \frac{1}{2}) (2 (2 x^{3}) + 2 x^{2} + 16 x + 8)$

Paso 7.2

Factoriza $2$ de $2 x^{2}$ .

$(x - \frac{1}{2}) (2 (2 x^{3}) + 2 (x^{2}) + 16 x + 8)$

Paso 7.3

Factoriza $2$ de $16 x$ .

$(x - \frac{1}{2}) (2 (2 x^{3}) + 2 (x^{2}) + 2 (8 x) + 8)$

Paso 7.4

Factoriza $2$ de $8$ .

$(x - \frac{1}{2}) (2 (2 x^{3}) + 2 x^{2} + 2 (8 x) + 2 \cdot 4)$

Paso 7.5

Factoriza $2$ de $2 (2 x^{3}) + 2 x^{2}$ .

$(x - \frac{1}{2}) (2 (2 x^{3} + x^{2}) + 2 (8 x) + 2 \cdot 4)$

Paso 7.6

Factoriza $2$ de $2 (2 x^{3} + x^{2}) + 2 (8 x)$ .

$(x - \frac{1}{2}) (2 (2 x^{3} + x^{2} + 8 x) + 2 \cdot 4)$

Paso 7.7

Factoriza $2$ de $2 (2 x^{3} + x^{2} + 8 x) + 2 \cdot 4$ .

$(x - \frac{1}{2}) (2 (2 x^{3} + x^{2} + 8 x + 4))$

Paso 8

Factoriza el máximo común divisor de cada grupo.

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Paso 8.1

Agrupa los dos primeros términos y los dos últimos términos.

$(x - \frac{1}{2}) (2 ((2 x^{3} + x^{2}) + 8 x + 4))$

Paso 8.2

Factoriza el máximo común divisor (MCD) de cada grupo.

$(x - \frac{1}{2}) (2 (x^{2} (2 x + 1) + 4 (2 x + 1)))$

Paso 9

Factoriza.

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Paso 9.1

Factoriza el polinomio mediante la factorización del máximo común divisor, $2 x + 1$ .

$(x - \frac{1}{2}) (2 ((2 x + 1) (x^{2} + 4)))$

Paso 9.2

Elimina los paréntesis innecesarios.

$(x - \frac{1}{2}) (2 (2 x + 1) (x^{2} + 4))$

Paso 10

Sustituye $u = x^{2}$ en la ecuación. Esto hará que la fórmula cuadrática sea fácil de usar.

$4 u^{2} + 15 u - 4 = 0$

$u = x^{2}$

Paso 11

Factoriza por agrupación.

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Paso 11.1

Para un polinomio de la forma $a x^{2} + b x + c$ , reescribe el término medio como una suma de dos términos cuyo producto es $a \cdot c = 4 \cdot - 4 = - 16$ y cuya suma es $b = 15$ .

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Paso 11.1.1

Factoriza $15$ de $15 u$ .

$4 u^{2} + 15 (u) - 4 = 0$

Paso 11.1.2

Reescribe $15$ como $- 1$ más $16$

$4 u^{2} + (- 1 + 16) u - 4 = 0$

Paso 11.1.3

Aplica la propiedad distributiva.

$4 u^{2} - 1 u + 16 u - 4 = 0$

Paso 11.2

Factoriza el máximo común divisor de cada grupo.

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Paso 11.2.1

Agrupa los dos primeros términos y los dos últimos términos.

$(4 u^{2} - 1 u) + 16 u - 4 = 0$

Paso 11.2.2

Factoriza el máximo común divisor (MCD) de cada grupo.

$u (4 u - 1) + 4 (4 u - 1) = 0$

Paso 11.3

Factoriza el polinomio mediante la factorización del máximo común divisor, $4 u - 1$ .

$(4 u - 1) (u + 4) = 0$

Paso 12

Si cualquier factor individual en el lado izquierdo de la ecuación es igual a $0$ , la expresión completa será igual a $0$ .

$4 u - 1 = 0$

$u + 4 = 0$

Paso 13

Establece $4 u - 1$ igual a $0$ y resuelve $u$ .

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Paso 13.1

Establece $4 u - 1$ igual a $0$ .

$4 u - 1 = 0$

Paso 13.2

Resuelve $4 u - 1 = 0$ en $u$ .

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Paso 13.2.1

Suma $1$ a ambos lados de la ecuación.

$4 u = 1$

Paso 13.2.2

Divide cada término en $4 u = 1$ por $4$ y simplifica.

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Paso 13.2.2.1

Divide cada término en $4 u = 1$ por $4$ .

$\frac{4 u}{4} = \frac{1}{4}$

Paso 13.2.2.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 13.2.2.2.1

Cancela el factor común de $4$ .

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Paso 13.2.2.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{4 u}{4} = \frac{1}{4}$

Paso 13.2.2.2.1.2

Divide $u$ por $1$ .

$u = \frac{1}{4}$

Paso 14

Establece $u + 4$ igual a $0$ y resuelve $u$ .

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Paso 14.1

Establece $u + 4$ igual a $0$ .

$u + 4 = 0$

Paso 14.2

Resta $4$ de ambos lados de la ecuación.

$u = - 4$

Paso 15

La solución final comprende todos los valores que hacen $(4 u - 1) (u + 4) = 0$ verdadera.

$u = \frac{1}{4}, - 4$

Paso 16

Sustituye el valor real de $u = x^{2}$ de nuevo en la ecuación resuelta.

$x^{2} = \frac{1}{4}$

${(x^{2})}^{1} = - 4$

Paso 17

Resuelve la primera ecuación para $x$ .

$x^{2} = \frac{1}{4}$

Paso 18

Resuelve la ecuación en $x$ .

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Paso 18.1

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{\frac{1}{4}}$

Paso 18.2

Simplifica $\pm \sqrt{\frac{1}{4}}$ .

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Paso 18.2.1

Reescribe $\sqrt{\frac{1}{4}}$ como $\frac{\sqrt{1}}{\sqrt{4}}$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{1}}{\sqrt{4}}$

Paso 18.2.2

Cualquier raíz de $1$ es $1$ .

$x = \pm \frac{1}{\sqrt{4}}$

Paso 18.2.3

Simplifica el denominador.

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Paso 18.2.3.1

Reescribe $4$ como $2^{2}$ .

$x = \pm \frac{1}{\sqrt{2^{2}}}$

Paso 18.2.3.2

Extrae los términos de abajo del radical, bajo el supuesto de que tienes números reales positivos.

$x = \pm \frac{1}{2}$

Paso 18.3

La solución completa es el resultado de las partes positiva y negativa de la solución.

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Paso 18.3.1

Primero, usa el valor positivo de $\pm$ para obtener la primera solución.

$x = \frac{1}{2}$

Paso 18.3.2

Luego, usa el valor negativo de $\pm$ para obtener la segunda solución.

$x = - \frac{1}{2}$

Paso 18.3.3

La solución completa es el resultado de las partes positiva y negativa de la solución.

$x = \frac{1}{2}, - \frac{1}{2}$

Paso 19

Resuelve la segunda ecuación para $x$ .

${(x^{2})}^{1} = - 4$

Paso 20

Resuelve la ecuación en $x$ .

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Paso 20.1

Elimina los paréntesis.

$x^{2} = - 4$

Paso 20.2

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{- 4}$

Paso 20.3

Simplifica $\pm \sqrt{- 4}$ .

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Paso 20.3.1

Reescribe $- 4$ como $- 1 (4)$ .

$x = \pm \sqrt{- 1 (4)}$

Paso 20.3.2

Reescribe $\sqrt{- 1 (4)}$ como $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{4}$ .

$x = \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{4}$

Paso 20.3.3

Reescribe $\sqrt{- 1}$ como $i$ .

$x = \pm i \cdot \sqrt{4}$

Paso 20.3.4

Reescribe $4$ como $2^{2}$ .

$x = \pm i \cdot \sqrt{2^{2}}$

Paso 20.3.5

Extrae los términos de abajo del radical, bajo el supuesto de que tienes números reales positivos.

$x = \pm i \cdot 2$

Paso 20.3.6

Mueve $2$ a la izquierda de $i$ .

$x = \pm 2 i$

Paso 20.4

La solución completa es el resultado de las partes positiva y negativa de la solución.

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Paso 20.4.1

Primero, usa el valor positivo de $\pm$ para obtener la primera solución.

$x = 2 i$

Paso 20.4.2

Luego, usa el valor negativo de $\pm$ para obtener la segunda solución.

$x = - 2 i$

Paso 20.4.3

La solución completa es el resultado de las partes positiva y negativa de la solución.

$x = 2 i, - 2 i$

Paso 21

La solución a $4 x^{4} + 15 x^{2} - 4 = 0$ es $x = \frac{1}{2}, - \frac{1}{2}, 2 i, - 2 i$ .

$x = \frac{1}{2}, - \frac{1}{2}, 2 i, - 2 i$

Paso 22