Matemática discreta Ejemplos

$4 r^{2} + 20 r + 25$

Paso 1

Si una función polinomial tiene coeficientes enteros, entonces todo cero racional tendrá la forma $\frac{p}{q}$ , donde $p$ es un factor de la constante y $q$ es un factor del coeficiente principal.

$p = \pm 1, \pm 5, \pm 25$

$q = \pm 1, \pm 2, \pm 4$

Paso 2

Obtén todas las combinaciones de $\pm \frac{p}{q}$ . Estas son las posibles raíces de la función polinomial.

$\pm 1, \pm \frac{1}{2}, \pm \frac{1}{4}, \pm 5, \pm \frac{5}{2}, \pm \frac{5}{4}, \pm 25, \pm \frac{25}{2}, \pm \frac{25}{4}$

Paso 3

Sustituye las posibles raíces una por una en el polinomio para obtener las raíces reales. Simplifica para comprobar si el valor es $0$ , lo que significa que es una raíz.

$4 {(- \frac{5}{2})}^{2} + 20 (- \frac{5}{2}) + 25$

Paso 4

Simplifica la expresión. En este caso, la expresión es igual a $0$ , por lo que $r = - \frac{5}{2}$ es una raíz del polinomio.

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Paso 4.1

Simplifica cada término.

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Paso 4.1.1

Usa la regla de la potencia ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ para distribuir el exponente.

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Paso 4.1.1.1

Aplica la regla del producto a $- \frac{5}{2}$ .

$4 ({(- 1)}^{2} {(\frac{5}{2})}^{2}) + 20 (- \frac{5}{2}) + 25$

Paso 4.1.1.2

Aplica la regla del producto a $\frac{5}{2}$ .

$4 ({(- 1)}^{2} \frac{5^{2}}{2^{2}}) + 20 (- \frac{5}{2}) + 25$

Paso 4.1.2

Eleva $- 1$ a la potencia de $2$ .

$4 (1 \frac{5^{2}}{2^{2}}) + 20 (- \frac{5}{2}) + 25$

Paso 4.1.3

Multiplica $\frac{5^{2}}{2^{2}}$ por $1$ .

$4 \frac{5^{2}}{2^{2}} + 20 (- \frac{5}{2}) + 25$

Paso 4.1.4

Eleva $5$ a la potencia de $2$ .

$4 \frac{25}{2^{2}} + 20 (- \frac{5}{2}) + 25$

Paso 4.1.5

Eleva $2$ a la potencia de $2$ .

$4 (\frac{25}{4}) + 20 (- \frac{5}{2}) + 25$

Paso 4.1.6

Cancela el factor común de $4$ .

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Paso 4.1.6.1

Cancela el factor común.

$4 (\frac{25}{4}) + 20 (- \frac{5}{2}) + 25$

Paso 4.1.6.2

Reescribe la expresión.

$25 + 20 (- \frac{5}{2}) + 25$

Paso 4.1.7

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 4.1.7.1

Mueve el signo menos inicial en $- \frac{5}{2}$ al numerador.

$25 + 20 (\frac{- 5}{2}) + 25$

Paso 4.1.7.2

Factoriza $2$ de $20$ .

$25 + 2 (10) \frac{- 5}{2} + 25$

Paso 4.1.7.3

Cancela el factor común.

$25 + 2 \cdot 10 \frac{- 5}{2} + 25$

Paso 4.1.7.4

Reescribe la expresión.

$25 + 10 \cdot - 5 + 25$

Paso 4.1.8

Multiplica $10$ por $- 5$ .

$25 - 50 + 25$

Paso 4.2

Simplifica mediante suma y resta.

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Paso 4.2.1

Resta $50$ de $25$ .

$- 25 + 25$

Paso 4.2.2

Suma $- 25$ y $25$ .

$0$

Paso 5

Como $- \frac{5}{2}$ es una raíz conocida, divide el polinomio por $r + \frac{5}{2}$ para obtener el polinomio del cociente. Este polinomio luego se puede usar para obtener las raíces restantes.

$\frac{4 r^{2} + 20 r + 25}{r + \frac{5}{2}}$

Paso 6

Luego, obtén las raíces del polinomio restante. El orden del polinomio se ha reducido por $1$ .

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Paso 6.1

Coloca los números que representan el divisor y el dividendo en una configuración tipo división.

$- \frac{5}{2}$	$4$	$20$	$25$

Paso 6.2

El primer número en el dividendo $(4)$ se pone en la primera posición del área del resultado (debajo de la recta horizontal).

$- \frac{5}{2}$	$4$	$20$	$25$

	$4$

Paso 6.3

Multiplica la entrada más reciente en el resultado $(4)$ por el divisor $(- \frac{5}{2})$ y coloca el resultado de $(- 10)$ debajo del siguiente término en el dividendo $(20)$ .

$- \frac{5}{2}$	$4$	$20$	$25$
		$- 10$
	$4$

Paso 6.4

Suma el producto de la multiplicación y el número del dividendo y coloca el resultado en la siguiente posición en la línea del resultado.

$- \frac{5}{2}$	$4$	$20$	$25$
		$- 10$
	$4$	$10$

Paso 6.5

Multiplica la entrada más reciente en el resultado $(10)$ por el divisor $(- \frac{5}{2})$ y coloca el resultado de $(- 25)$ debajo del siguiente término en el dividendo $(25)$ .

$- \frac{5}{2}$	$4$	$20$	$25$
		$- 10$	$- 25$
	$4$	$10$

Paso 6.6

Suma el producto de la multiplicación y el número del dividendo y coloca el resultado en la siguiente posición en la línea del resultado.

$- \frac{5}{2}$	$4$	$20$	$25$
		$- 10$	$- 25$
	$4$	$10$	$0$

Paso 6.7

Todos los números excepto el último se convierten en coeficientes del polinomio del cociente. El último valor de la línea del resultado es el resto.

$(4) r + 10$

Paso 6.8

Simplifica el polinomio del cociente.

$4 r + 10$

Paso 7

Factoriza $2$ de $4 r + 10$ .

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Paso 7.1

Factoriza $2$ de $4 r$ .

$(r + \frac{5}{2}) (2 (2 r) + 10)$

Paso 7.2

Factoriza $2$ de $10$ .

$(r + \frac{5}{2}) (2 (2 r) + 2 (5))$

Paso 7.3

Factoriza $2$ de $2 (2 r) + 2 (5)$ .

$(r + \frac{5}{2}) (2 (2 r + 5))$

Paso 8

Factoriza con la regla del cuadrado perfecto.

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Paso 8.1

Reescribe $4 r^{2}$ como ${(2 r)}^{2}$ .

${(2 r)}^{2} + 20 r + 25 = 0$

Paso 8.2

Reescribe $25$ como $5^{2}$ .

${(2 r)}^{2} + 20 r + 5^{2} = 0$

Paso 8.3

Comprueba que el término medio sea dos veces el producto de los números que se elevan al cuadrado en el primer término y el tercer término.

$20 r = 2 \cdot (2 r) \cdot 5$

Paso 8.4

Reescribe el polinomio.

${(2 r)}^{2} + 2 \cdot (2 r) \cdot 5 + 5^{2} = 0$

Paso 8.5

Factoriza con la regla del trinomio cuadrado perfecto $a^{2} + 2 a b + b^{2} = {(a + b)}^{2}$ , donde $a = 2 r$ y $b = 5$ .

${(2 r + 5)}^{2} = 0$

Paso 9

Establece $2 r + 5$ igual a $0$ .

$2 r + 5 = 0$

Paso 10

Resuelve $r$

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Paso 10.1

Resta $5$ de ambos lados de la ecuación.

$2 r = - 5$

Paso 10.2

Divide cada término en $2 r = - 5$ por $2$ y simplifica.

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Paso 10.2.1

Divide cada término en $2 r = - 5$ por $2$ .

$\frac{2 r}{2} = \frac{- 5}{2}$

Paso 10.2.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 10.2.2.1

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 10.2.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{2 r}{2} = \frac{- 5}{2}$

Paso 10.2.2.1.2

Divide $r$ por $1$ .

$r = \frac{- 5}{2}$

Paso 10.2.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 10.2.3.1

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$r = - \frac{5}{2}$

Paso 11