Matemática discreta Ejemplos

$2 x^{4} - x^{3} - 73 x^{2} + 36 x + 36$

Paso 1

Si una función polinomial tiene coeficientes enteros, entonces todo cero racional tendrá la forma $\frac{p}{q}$ , donde $p$ es un factor de la constante y $q$ es un factor del coeficiente principal.

$p = \pm 1, \pm 2, \pm 3, \pm 4, \pm 6, \pm 9, \pm 12, \pm 18, \pm 36$

$q = \pm 1, \pm 2$

Paso 2

Obtén todas las combinaciones de $\pm \frac{p}{q}$ . Estas son las posibles raíces de la función polinomial.

$\pm 1, \pm \frac{1}{2}, \pm 2, \pm 3, \pm \frac{3}{2}, \pm 4, \pm 6, \pm 9, \pm \frac{9}{2}, \pm 12, \pm 18, \pm 36$

Paso 3

Sustituye las posibles raíces una por una en el polinomio para obtener las raíces reales. Simplifica para comprobar si el valor es $0$ , lo que significa que es una raíz.

$2 {(1)}^{4} - {(1)}^{3} - 73 {(1)}^{2} + 36 (1) + 36$

Paso 4

Simplifica la expresión. En este caso, la expresión es igual a $0$ , por lo que $x = 1$ es una raíz del polinomio.

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Paso 4.1

Simplifica cada término.

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Paso 4.1.1

Uno elevado a cualquier potencia es uno.

$2 \cdot 1 - {(1)}^{3} - 73 {(1)}^{2} + 36 (1) + 36$

Paso 4.1.2

Multiplica $2$ por $1$ .

$2 - {(1)}^{3} - 73 {(1)}^{2} + 36 (1) + 36$

Paso 4.1.3

Uno elevado a cualquier potencia es uno.

$2 - 1 \cdot 1 - 73 {(1)}^{2} + 36 (1) + 36$

Paso 4.1.4

Multiplica $- 1$ por $1$ .

$2 - 1 - 73 {(1)}^{2} + 36 (1) + 36$

Paso 4.1.5

Uno elevado a cualquier potencia es uno.

$2 - 1 - 73 \cdot 1 + 36 (1) + 36$

Paso 4.1.6

Multiplica $- 73$ por $1$ .

$2 - 1 - 73 + 36 (1) + 36$

Paso 4.1.7

Multiplica $36$ por $1$ .

$2 - 1 - 73 + 36 + 36$

Paso 4.2

Simplifica mediante suma y resta.

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Paso 4.2.1

Resta $1$ de $2$ .

$1 - 73 + 36 + 36$

Paso 4.2.2

Resta $73$ de $1$ .

$- 72 + 36 + 36$

Paso 4.2.3

Suma $- 72$ y $36$ .

$- 36 + 36$

Paso 4.2.4

Suma $- 36$ y $36$ .

$0$

Paso 5

Como $1$ es una raíz conocida, divide el polinomio por $x - 1$ para obtener el polinomio del cociente. Este polinomio luego se puede usar para obtener las raíces restantes.

$\frac{2 x^{4} - x^{3} - 73 x^{2} + 36 x + 36}{x - 1}$

Paso 6

Luego, obtén las raíces del polinomio restante. El orden del polinomio se ha reducido por $1$ .

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Paso 6.1

Coloca los números que representan el divisor y el dividendo en una configuración tipo división.

$1$	$2$	$- 1$	$- 73$	$36$	$36$

Paso 6.2

El primer número en el dividendo $(2)$ se pone en la primera posición del área del resultado (debajo de la recta horizontal).

$1$	$2$	$- 1$	$- 73$	$36$	$36$

	$2$

Paso 6.3

Multiplica la entrada más reciente en el resultado $(2)$ por el divisor $(1)$ y coloca el resultado de $(2)$ debajo del siguiente término en el dividendo $(- 1)$ .

$1$	$2$	$- 1$	$- 73$	$36$	$36$
		$2$
	$2$

Paso 6.4

Suma el producto de la multiplicación y el número del dividendo y coloca el resultado en la siguiente posición en la línea del resultado.

$1$	$2$	$- 1$	$- 73$	$36$	$36$
		$2$
	$2$	$1$

Paso 6.5

Multiplica la entrada más reciente en el resultado $(1)$ por el divisor $(1)$ y coloca el resultado de $(1)$ debajo del siguiente término en el dividendo $(- 73)$ .

$1$	$2$	$- 1$	$- 73$	$36$	$36$
		$2$	$1$
	$2$	$1$

Paso 6.6

Suma el producto de la multiplicación y el número del dividendo y coloca el resultado en la siguiente posición en la línea del resultado.

$1$	$2$	$- 1$	$- 73$	$36$	$36$
		$2$	$1$
	$2$	$1$	$- 72$

Paso 6.7

Multiplica la entrada más reciente en el resultado $(- 72)$ por el divisor $(1)$ y coloca el resultado de $(- 72)$ debajo del siguiente término en el dividendo $(36)$ .

$1$	$2$	$- 1$	$- 73$	$36$	$36$
		$2$	$1$	$- 72$
	$2$	$1$	$- 72$

Paso 6.8

Suma el producto de la multiplicación y el número del dividendo y coloca el resultado en la siguiente posición en la línea del resultado.

$1$	$2$	$- 1$	$- 73$	$36$	$36$
		$2$	$1$	$- 72$
	$2$	$1$	$- 72$	$- 36$

Paso 6.9

Multiplica la entrada más reciente en el resultado $(- 36)$ por el divisor $(1)$ y coloca el resultado de $(- 36)$ debajo del siguiente término en el dividendo $(36)$ .

$1$	$2$	$- 1$	$- 73$	$36$	$36$
		$2$	$1$	$- 72$	$- 36$
	$2$	$1$	$- 72$	$- 36$

Paso 6.10

Suma el producto de la multiplicación y el número del dividendo y coloca el resultado en la siguiente posición en la línea del resultado.

$1$	$2$	$- 1$	$- 73$	$36$	$36$
		$2$	$1$	$- 72$	$- 36$
	$2$	$1$	$- 72$	$- 36$	$0$

Paso 6.11

Todos los números excepto el último se convierten en coeficientes del polinomio del cociente. El último valor de la línea del resultado es el resto.

$2 x^{3} + 1 x^{2} + (- 72) x - 36$

Paso 6.12

Simplifica el polinomio del cociente.

$2 x^{3} + x^{2} - 72 x - 36$

Paso 7

Factoriza el máximo común divisor de cada grupo.

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Paso 7.1

Agrupa los dos primeros términos y los dos últimos términos.

$(x - 1) (2 x^{3} + x^{2}) - 72 x - 36$

Paso 7.2

Factoriza el máximo común divisor (MCD) de cada grupo.

$(x - 1) + x^{2} (2 x + 1) - 36 (2 x + 1)$

$(x - 1) x^{2} (2 x + 1) - 36 (2 x + 1)$

Paso 8

Factoriza el polinomio mediante la factorización del máximo común divisor, $2 x + 1$ .

$(x - 1) (2 x + 1) (x^{2} - 36)$

Paso 9

Reescribe $36$ como $6^{2}$ .

$(x - 1) (2 x + 1) (x^{2} - 6^{2})$

Paso 10

Factoriza.

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Paso 10.1

Dado que ambos términos son cuadrados perfectos, factoriza con la fórmula de la diferencia de cuadrados, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , donde $a = x$ y $b = 6$ .

$(x - 1) + (2 x + 1) ((x + 6) (x - 6))$

Paso 10.2

Elimina los paréntesis innecesarios.

$(x - 1) + (2 x + 1) (x + 6) (x - 6)$

$(x - 1) (2 x + 1) (x + 6) (x - 6)$

Paso 11

Factoriza el lado izquierdo de la ecuación.

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Paso 11.1

Reagrupa los términos.

$- x^{3} + 36 x + 2 x^{4} - 73 x^{2} + 36 = 0$

Paso 11.2

Factoriza $- x$ de $- x^{3} + 36 x$ .

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Paso 11.2.1

Factoriza $- x$ de $- x^{3}$ .

$- x \cdot x^{2} + 36 x + 2 x^{4} - 73 x^{2} + 36 = 0$

Paso 11.2.2

Factoriza $- x$ de $36 x$ .

$- x \cdot x^{2} - x \cdot - 36 + 2 x^{4} - 73 x^{2} + 36 = 0$

Paso 11.2.3

Factoriza $- x$ de $- x (x^{2}) - x (- 36)$ .

$- x (x^{2} - 36) + 2 x^{4} - 73 x^{2} + 36 = 0$

Paso 11.3

Reescribe $36$ como $6^{2}$ .

$- x (x^{2} - 6^{2}) + 2 x^{4} - 73 x^{2} + 36 = 0$

Paso 11.4

Factoriza.

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Paso 11.4.1

Dado que ambos términos son cuadrados perfectos, factoriza con la fórmula de la diferencia de cuadrados, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , donde $a = x$ y $b = 6$ .

$- x ((x + 6) (x - 6)) + 2 x^{4} - 73 x^{2} + 36 = 0$

Paso 11.4.2

Elimina los paréntesis innecesarios.

$- x (x + 6) (x - 6) + 2 x^{4} - 73 x^{2} + 36 = 0$

Paso 11.5

Reescribe $x^{4}$ como ${(x^{2})}^{2}$ .

$- x (x + 6) (x - 6) + 2 {(x^{2})}^{2} - 73 x^{2} + 36 = 0$

Paso 11.6

Sea $u = x^{2}$ . Sustituye $u$ por todos los casos de $x^{2}$ .

$- x (x + 6) (x - 6) + 2 u^{2} - 73 u + 36 = 0$

Paso 11.7

Factoriza por agrupación.

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Paso 11.7.1

Para un polinomio de la forma $a x^{2} + b x + c$ , reescribe el término medio como una suma de dos términos cuyo producto es $a \cdot c = 2 \cdot 36 = 72$ y cuya suma es $b = - 73$ .

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Paso 11.7.1.1

Factoriza $- 73$ de $- 73 u$ .

$- x (x + 6) (x - 6) + 2 u^{2} - 73 u + 36 = 0$

Paso 11.7.1.2

Reescribe $- 73$ como $- 1$ más $- 72$

$- x (x + 6) (x - 6) + 2 u^{2} + (- 1 - 72) u + 36 = 0$

Paso 11.7.1.3

Aplica la propiedad distributiva.

$- x (x + 6) (x - 6) + 2 u^{2} - 1 u - 72 u + 36 = 0$

Paso 11.7.2

Factoriza el máximo común divisor de cada grupo.

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Paso 11.7.2.1

Agrupa los dos primeros términos y los dos últimos términos.

$- x (x + 6) (x - 6) + 2 u^{2} - 1 u - 72 u + 36 = 0$

Paso 11.7.2.2

Factoriza el máximo común divisor (MCD) de cada grupo.

$- x (x + 6) (x - 6) + u (2 u - 1) - 36 (2 u - 1) = 0$

Paso 11.7.3

Factoriza el polinomio mediante la factorización del máximo común divisor, $2 u - 1$ .

$- x (x + 6) (x - 6) + (2 u - 1) (u - 36) = 0$

Paso 11.8

Reemplaza todos los casos de $u$ con $x^{2}$ .

$- x (x + 6) (x - 6) + (2 x^{2} - 1) (x^{2} - 36) = 0$

Paso 11.9

Reescribe $36$ como $6^{2}$ .

$- x (x + 6) (x - 6) + (2 x^{2} - 1) (x^{2} - 6^{2}) = 0$

Paso 11.10

Factoriza.

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Paso 11.10.1

Dado que ambos términos son cuadrados perfectos, factoriza con la fórmula de la diferencia de cuadrados, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , donde $a = x$ y $b = 6$ .

$- x (x + 6) (x - 6) + (2 x^{2} - 1) ((x + 6) (x - 6)) = 0$

Paso 11.10.2

Elimina los paréntesis innecesarios.

$- x (x + 6) (x - 6) + (2 x^{2} - 1) (x + 6) (x - 6) = 0$

Paso 11.11

Factoriza $(x + 6) (x - 6)$ de $- x (x + 6) (x - 6) + (2 x^{2} - 1) (x + 6) (x - 6)$ .

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Paso 11.11.1

Factoriza $(x + 6) (x - 6)$ de $- x (x + 6) (x - 6)$ .

$(x + 6) (x - 6) (- x) + (2 x^{2} - 1) (x + 6) (x - 6) = 0$

Paso 11.11.2

Factoriza $(x + 6) (x - 6)$ de $(2 x^{2} - 1) (x + 6) (x - 6)$ .

$(x + 6) (x - 6) (- x) + (x + 6) (x - 6) (2 x^{2} - 1) = 0$

Paso 11.11.3

Factoriza $(x + 6) (x - 6)$ de $(x + 6) (x - 6) (- x) + (x + 6) (x - 6) (2 x^{2} - 1)$ .

$(x + 6) (x - 6) (- x + 2 x^{2} - 1) = 0$

Paso 11.12

Sea $u = x$ . Sustituye $u$ por todos los casos de $x$ .

$(x + 6) (x - 6) (- u + 2 u^{2} - 1) = 0$

Paso 11.13

Factoriza por agrupación.

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Paso 11.13.1

Reordena los términos.

$(x + 6) (x - 6) (2 u^{2} - u - 1) = 0$

Paso 11.13.2

Para un polinomio de la forma $a x^{2} + b x + c$ , reescribe el término medio como una suma de dos términos cuyo producto es $a \cdot c = 2 \cdot - 1 = - 2$ y cuya suma es $b = - 1$ .

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Paso 11.13.2.1

Factoriza $- 1$ de $- u$ .

$(x + 6) (x - 6) (2 u^{2} - (u) - 1) = 0$

Paso 11.13.2.2

Reescribe $- 1$ como $1$ más $- 2$

$(x + 6) (x - 6) (2 u^{2} + (1 - 2) u - 1) = 0$

Paso 11.13.2.3

Aplica la propiedad distributiva.

$(x + 6) (x - 6) (2 u^{2} + 1 u - 2 u - 1) = 0$

Paso 11.13.2.4

Multiplica $u$ por $1$ .

$(x + 6) (x - 6) (2 u^{2} + u - 2 u - 1) = 0$

Paso 11.13.3

Factoriza el máximo común divisor de cada grupo.

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Paso 11.13.3.1

Agrupa los dos primeros términos y los dos últimos términos.

$(x + 6) (x - 6) ((2 u^{2} + u) - 2 u - 1) = 0$

Paso 11.13.3.2

Factoriza el máximo común divisor (MCD) de cada grupo.

$(x + 6) (x - 6) (u (2 u + 1) - (2 u + 1)) = 0$

Paso 11.13.4

Factoriza el polinomio mediante la factorización del máximo común divisor, $2 u + 1$ .

$(x + 6) (x - 6) ((2 u + 1) (u - 1)) = 0$

Paso 11.14

Factoriza.

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Paso 11.14.1

Reemplaza todos los casos de $u$ con $x$ .

$(x + 6) (x - 6) ((2 x + 1) (x - 1)) = 0$

Paso 11.14.2

Elimina los paréntesis innecesarios.

$(x + 6) (x - 6) (2 x + 1) (x - 1) = 0$

Paso 12

Si cualquier factor individual en el lado izquierdo de la ecuación es igual a $0$ , la expresión completa será igual a $0$ .

$x + 6 = 0$

$x - 6 = 0$

$2 x + 1 = 0$

$x - 1 = 0$

Paso 13

Establece $x + 6$ igual a $0$ y resuelve $x$ .

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Paso 13.1

Establece $x + 6$ igual a $0$ .

$x + 6 = 0$

Paso 13.2

Resta $6$ de ambos lados de la ecuación.

$x = - 6$

Paso 14

Establece $x - 6$ igual a $0$ y resuelve $x$ .

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Paso 14.1

Establece $x - 6$ igual a $0$ .

$x - 6 = 0$

Paso 14.2

Suma $6$ a ambos lados de la ecuación.

$x = 6$

Paso 15

Establece $2 x + 1$ igual a $0$ y resuelve $x$ .

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Paso 15.1

Establece $2 x + 1$ igual a $0$ .

$2 x + 1 = 0$

Paso 15.2

Resuelve $2 x + 1 = 0$ en $x$ .

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Paso 15.2.1

Resta $1$ de ambos lados de la ecuación.

$2 x = - 1$

Paso 15.2.2

Divide cada término en $2 x = - 1$ por $2$ y simplifica.

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Paso 15.2.2.1

Divide cada término en $2 x = - 1$ por $2$ .

$\frac{2 x}{2} = \frac{- 1}{2}$

Paso 15.2.2.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 15.2.2.2.1

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 15.2.2.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{2 x}{2} = \frac{- 1}{2}$

Paso 15.2.2.2.1.2

Divide $x$ por $1$ .

$x = \frac{- 1}{2}$

Paso 15.2.2.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 15.2.2.3.1

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$x = - \frac{1}{2}$

Paso 16

Establece $x - 1$ igual a $0$ y resuelve $x$ .

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Paso 16.1

Establece $x - 1$ igual a $0$ .

$x - 1 = 0$

Paso 16.2

Suma $1$ a ambos lados de la ecuación.

$x = 1$

Paso 17

La solución final comprende todos los valores que hacen $(x + 6) (x - 6) (2 x + 1) (x - 1) = 0$ verdadera.

$x = - 6, 6, - \frac{1}{2}, 1$

Paso 18