Matemática discreta Ejemplos

$2 x^{3} - 7 x^{2} - 17 x + 10$

Paso 1

Si una función polinomial tiene coeficientes enteros, entonces todo cero racional tendrá la forma $\frac{p}{q}$ , donde $p$ es un factor de la constante y $q$ es un factor del coeficiente principal.

$p = \pm 1, \pm 2, \pm 5, \pm 10$

$q = \pm 1, \pm 2$

Paso 2

Obtén todas las combinaciones de $\pm \frac{p}{q}$ . Estas son las posibles raíces de la función polinomial.

$\pm 1, \pm \frac{1}{2}, \pm 2, \pm 5, \pm \frac{5}{2}, \pm 10$

Paso 3

Sustituye las posibles raíces una por una en el polinomio para obtener las raíces reales. Simplifica para comprobar si el valor es $0$ , lo que significa que es una raíz.

$2 {(\frac{1}{2})}^{3} - 7 {(\frac{1}{2})}^{2} - 17 (\frac{1}{2}) + 10$

Paso 4

Simplifica la expresión. En este caso, la expresión es igual a $0$ , por lo que $x = \frac{1}{2}$ es una raíz del polinomio.

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Paso 4.1

Simplifica cada término.

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Paso 4.1.1

Aplica la regla del producto a $\frac{1}{2}$ .

$2 \frac{1^{3}}{2^{3}} - 7 {(\frac{1}{2})}^{2} - 17 (\frac{1}{2}) + 10$

Paso 4.1.2

Uno elevado a cualquier potencia es uno.

$2 \frac{1}{2^{3}} - 7 {(\frac{1}{2})}^{2} - 17 (\frac{1}{2}) + 10$

Paso 4.1.3

Eleva $2$ a la potencia de $3$ .

$2 (\frac{1}{8}) - 7 {(\frac{1}{2})}^{2} - 17 (\frac{1}{2}) + 10$

Paso 4.1.4

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 4.1.4.1

Factoriza $2$ de $8$ .

$2 \frac{1}{2 (4)} - 7 {(\frac{1}{2})}^{2} - 17 (\frac{1}{2}) + 10$

Paso 4.1.4.2

Cancela el factor común.

$2 \frac{1}{2 \cdot 4} - 7 {(\frac{1}{2})}^{2} - 17 (\frac{1}{2}) + 10$

Paso 4.1.4.3

Reescribe la expresión.

$\frac{1}{4} - 7 {(\frac{1}{2})}^{2} - 17 (\frac{1}{2}) + 10$

Paso 4.1.5

Aplica la regla del producto a $\frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{4} - 7 \frac{1^{2}}{2^{2}} - 17 (\frac{1}{2}) + 10$

Paso 4.1.6

Uno elevado a cualquier potencia es uno.

$\frac{1}{4} - 7 \frac{1}{2^{2}} - 17 (\frac{1}{2}) + 10$

Paso 4.1.7

Eleva $2$ a la potencia de $2$ .

$\frac{1}{4} - 7 (\frac{1}{4}) - 17 (\frac{1}{2}) + 10$

Paso 4.1.8

Combina $- 7$ y $\frac{1}{4}$ .

$\frac{1}{4} + \frac{- 7}{4} - 17 (\frac{1}{2}) + 10$

Paso 4.1.9

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$\frac{1}{4} - \frac{7}{4} - 17 (\frac{1}{2}) + 10$

Paso 4.1.10

Combina $- 17$ y $\frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{4} - \frac{7}{4} + \frac{- 17}{2} + 10$

Paso 4.1.11

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$\frac{1}{4} - \frac{7}{4} - \frac{17}{2} + 10$

Paso 4.2

Combina fracciones.

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Paso 4.2.1

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$10 + \frac{1 - 7}{4} + \frac{- 17}{2}$

Paso 4.2.2

Resta $7$ de $1$ .

$10 + \frac{- 6}{4} + \frac{- 17}{2}$

Paso 4.3

Obtén el denominador común

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Paso 4.3.1

Escribe $10$ como una fracción con el denominador $1$ .

$\frac{10}{1} + \frac{- 6}{4} + \frac{- 17}{2}$

Paso 4.3.2

Multiplica $\frac{10}{1}$ por $\frac{4}{4}$ .

$\frac{10}{1} \cdot \frac{4}{4} + \frac{- 6}{4} + \frac{- 17}{2}$

Paso 4.3.3

Multiplica $\frac{10}{1}$ por $\frac{4}{4}$ .

$\frac{10 \cdot 4}{4} + \frac{- 6}{4} + \frac{- 17}{2}$

Paso 4.3.4

Multiplica $\frac{- 17}{2}$ por $\frac{2}{2}$ .

$\frac{10 \cdot 4}{4} + \frac{- 6}{4} + \frac{- 17}{2} \cdot \frac{2}{2}$

Paso 4.3.5

Multiplica $\frac{- 17}{2}$ por $\frac{2}{2}$ .

$\frac{10 \cdot 4}{4} + \frac{- 6}{4} + \frac{- 17 \cdot 2}{2 \cdot 2}$

Paso 4.3.6

Multiplica $2$ por $2$ .

$\frac{10 \cdot 4}{4} + \frac{- 6}{4} + \frac{- 17 \cdot 2}{4}$

Paso 4.4

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{10 \cdot 4 - 6 - 17 \cdot 2}{4}$

Paso 4.5

Simplifica cada término.

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Paso 4.5.1

Multiplica $10$ por $4$ .

$\frac{40 - 6 - 17 \cdot 2}{4}$

Paso 4.5.2

Multiplica $- 17$ por $2$ .

$\frac{40 - 6 - 34}{4}$

Paso 4.6

Simplifica la expresión.

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Paso 4.6.1

Resta $6$ de $40$ .

$\frac{34 - 34}{4}$

Paso 4.6.2

Resta $34$ de $34$ .

$\frac{0}{4}$

Paso 4.6.3

Divide $0$ por $4$ .

$0$

Paso 5

Como $\frac{1}{2}$ es una raíz conocida, divide el polinomio por $x - \frac{1}{2}$ para obtener el polinomio del cociente. Este polinomio luego se puede usar para obtener las raíces restantes.

$\frac{2 x^{3} - 7 x^{2} - 17 x + 10}{x - \frac{1}{2}}$

Paso 6

Luego, obtén las raíces del polinomio restante. El orden del polinomio se ha reducido por $1$ .

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Paso 6.1

Coloca los números que representan el divisor y el dividendo en una configuración tipo división.

$\frac{1}{2}$	$2$	$- 7$	$- 17$	$10$

Paso 6.2

El primer número en el dividendo $(2)$ se pone en la primera posición del área del resultado (debajo de la recta horizontal).

$\frac{1}{2}$	$2$	$- 7$	$- 17$	$10$

	$2$

Paso 6.3

Multiplica la entrada más reciente en el resultado $(2)$ por el divisor $(\frac{1}{2})$ y coloca el resultado de $(1)$ debajo del siguiente término en el dividendo $(- 7)$ .

$\frac{1}{2}$	$2$	$- 7$	$- 17$	$10$
		$1$
	$2$

Paso 6.4

Suma el producto de la multiplicación y el número del dividendo y coloca el resultado en la siguiente posición en la línea del resultado.

$\frac{1}{2}$	$2$	$- 7$	$- 17$	$10$
		$1$
	$2$	$- 6$

Paso 6.5

Multiplica la entrada más reciente en el resultado $(- 6)$ por el divisor $(\frac{1}{2})$ y coloca el resultado de $(- 3)$ debajo del siguiente término en el dividendo $(- 17)$ .

$\frac{1}{2}$	$2$	$- 7$	$- 17$	$10$
		$1$	$- 3$
	$2$	$- 6$

Paso 6.6

Suma el producto de la multiplicación y el número del dividendo y coloca el resultado en la siguiente posición en la línea del resultado.

$\frac{1}{2}$	$2$	$- 7$	$- 17$	$10$
		$1$	$- 3$
	$2$	$- 6$	$- 20$

Paso 6.7

Multiplica la entrada más reciente en el resultado $(- 20)$ por el divisor $(\frac{1}{2})$ y coloca el resultado de $(- 10)$ debajo del siguiente término en el dividendo $(10)$ .

$\frac{1}{2}$	$2$	$- 7$	$- 17$	$10$
		$1$	$- 3$	$- 10$
	$2$	$- 6$	$- 20$

Paso 6.8

Suma el producto de la multiplicación y el número del dividendo y coloca el resultado en la siguiente posición en la línea del resultado.

$\frac{1}{2}$	$2$	$- 7$	$- 17$	$10$
		$1$	$- 3$	$- 10$
	$2$	$- 6$	$- 20$	$0$

Paso 6.9

Todos los números excepto el último se convierten en coeficientes del polinomio del cociente. El último valor de la línea del resultado es el resto.

$2 x^{2} + - 6 x - 20$

Paso 6.10

Simplifica el polinomio del cociente.

$2 x^{2} - 6 x - 20$

Paso 7

Factoriza $2$ de $2 x^{2} - 6 x - 20$ .

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Paso 7.1

Factoriza $2$ de $2 x^{2}$ .

$(x - \frac{1}{2}) (2 (x^{2}) - 6 x - 20)$

Paso 7.2

Factoriza $2$ de $- 6 x$ .

$(x - \frac{1}{2}) (2 (x^{2}) + 2 (- 3 x) - 20)$

Paso 7.3

Factoriza $2$ de $- 20$ .

$(x - \frac{1}{2}) (2 x^{2} + 2 (- 3 x) + 2 \cdot - 10)$

Paso 7.4

Factoriza $2$ de $2 x^{2} + 2 (- 3 x)$ .

$(x - \frac{1}{2}) (2 (x^{2} - 3 x) + 2 \cdot - 10)$

Paso 7.5

Factoriza $2$ de $2 (x^{2} - 3 x) + 2 \cdot - 10$ .

$(x - \frac{1}{2}) (2 (x^{2} - 3 x - 10))$

Paso 8

Factoriza.

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Paso 8.1

Factoriza $x^{2} - 3 x - 10$ con el método AC.

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Paso 8.1.1

Considera la forma $x^{2} + b x + c$ . Encuentra un par de números enteros cuyo producto sea $c$ y cuya suma sea $b$ . En este caso, cuyo producto es $- 10$ y cuya suma es $- 3$ .

$- 5, 2$

Paso 8.1.2

Escribe la forma factorizada mediante estos números enteros.

$(x - \frac{1}{2}) (2 ((x - 5) (x + 2)))$

Paso 8.2

Elimina los paréntesis innecesarios.

$(x - \frac{1}{2}) (2 (x - 5) (x + 2))$

Paso 9

Factoriza el lado izquierdo de la ecuación.

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Paso 9.1

Factoriza $2 x^{3} - 7 x^{2} - 17 x + 10$ mediante la prueba de raíces racionales.

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Paso 9.1.1

$p = \pm 1, \pm 10, \pm 2, \pm 5$

$q = \pm 1, \pm 2$

Paso 9.1.2

Obtén todas las combinaciones de $\pm \frac{p}{q}$ . Estas son las posibles raíces de la función polinomial.

$\pm 1, \pm 0.5, \pm 10, \pm 5, \pm 2, \pm 2.5$

Paso 9.1.3

Sustituye $0.5$ y simplifica la expresión. En este caso, la expresión es igual a $0$ , por lo que $0.5$ es una raíz del polinomio.

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Paso 9.1.3.1

Sustituye $0.5$ en el polinomio.

$2 \cdot {0.5}^{3} - 7 \cdot {0.5}^{2} - 17 \cdot 0.5 + 10$

Paso 9.1.3.2

Eleva $0.5$ a la potencia de $3$ .

$2 \cdot 0.125 - 7 \cdot {0.5}^{2} - 17 \cdot 0.5 + 10$

Paso 9.1.3.3

Multiplica $2$ por $0.125$ .

$0.25 - 7 \cdot {0.5}^{2} - 17 \cdot 0.5 + 10$

Paso 9.1.3.4

Eleva $0.5$ a la potencia de $2$ .

$0.25 - 7 \cdot 0.25 - 17 \cdot 0.5 + 10$

Paso 9.1.3.5

Multiplica $- 7$ por $0.25$ .

$0.25 - 1.75 - 17 \cdot 0.5 + 10$

Paso 9.1.3.6

Resta $1.75$ de $0.25$ .

$- 1.5 - 17 \cdot 0.5 + 10$

Paso 9.1.3.7

Multiplica $- 17$ por $0.5$ .

$- 1.5 - 8.5 + 10$

Paso 9.1.3.8

Resta $8.5$ de $- 1.5$ .

$- 10 + 10$

Paso 9.1.3.9

Suma $- 10$ y $10$ .

$0$

Paso 9.1.4

Como $0.5$ es una raíz conocida, divide el polinomio por $2 x - 1$ para obtener el polinomio del cociente. Este polinomio luego se puede usar para obtener las raíces restantes.

$\frac{2 x^{3} - 7 x^{2} - 17 x + 10}{2 x - 1}$

Paso 9.1.5

Divide $2 x^{3} - 7 x^{2} - 17 x + 10$ por $2 x - 1$ .

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Paso 9.1.5.1

Establece los polinomios que se dividirán. Si no hay un término para cada exponente, inserta uno con un valor de $0$ .

$2 x$

$1$

$2 x^{3}$

$7 x^{2}$

$17 x$

$10$

Paso 9.1.5.2

Divide el término de mayor orden en el dividendo $2 x^{3}$ por el término de mayor orden en el divisor $2 x$ .

					$x^{2}$
	$2 x$	-	$1$		$2 x^{3}$	-	$7 x^{2}$	-	$17 x$	+	$10$

Paso 9.1.5.3

Multiplica el nuevo término del cociente por el divisor.

				$x^{2}$
$2 x$	-	$1$		$2 x^{3}$	-	$7 x^{2}$	-	$17 x$	+	$10$
			+	$2 x^{3}$	-	$x^{2}$

Paso 9.1.5.4

La expresión debe restarse del dividendo, así es que cambia todos los signos en $2 x^{3} - x^{2}$ .

				$x^{2}$
$2 x$	-	$1$		$2 x^{3}$	-	$7 x^{2}$	-	$17 x$	+	$10$
			-	$2 x^{3}$	+	$x^{2}$

Paso 9.1.5.5

Después de cambiar los signos, agrega el último dividendo del polinomio multiplicado para buscar el nuevo dividendo.

				$x^{2}$
$2 x$	-	$1$		$2 x^{3}$	-	$7 x^{2}$	-	$17 x$	+	$10$
			-	$2 x^{3}$	+	$x^{2}$
					-	$6 x^{2}$

Paso 9.1.5.6

Retira los próximos términos del dividendo original hacia el dividendo actual.

				$x^{2}$
$2 x$	-	$1$		$2 x^{3}$	-	$7 x^{2}$	-	$17 x$	+	$10$
			-	$2 x^{3}$	+	$x^{2}$
					-	$6 x^{2}$	-	$17 x$

Paso 9.1.5.7

Divide el término de mayor orden en el dividendo $- 6 x^{2}$ por el término de mayor orden en el divisor $2 x$ .

				$x^{2}$	-	$3 x$
$2 x$	-	$1$		$2 x^{3}$	-	$7 x^{2}$	-	$17 x$	+	$10$
			-	$2 x^{3}$	+	$x^{2}$
					-	$6 x^{2}$	-	$17 x$

Paso 9.1.5.8

Multiplica el nuevo término del cociente por el divisor.

				$x^{2}$	-	$3 x$
$2 x$	-	$1$		$2 x^{3}$	-	$7 x^{2}$	-	$17 x$	+	$10$
			-	$2 x^{3}$	+	$x^{2}$
					-	$6 x^{2}$	-	$17 x$
					-	$6 x^{2}$	+	$3 x$

Paso 9.1.5.9

La expresión debe restarse del dividendo, así es que cambia todos los signos en $- 6 x^{2} + 3 x$ .

				$x^{2}$	-	$3 x$
$2 x$	-	$1$		$2 x^{3}$	-	$7 x^{2}$	-	$17 x$	+	$10$
			-	$2 x^{3}$	+	$x^{2}$
					-	$6 x^{2}$	-	$17 x$
					+	$6 x^{2}$	-	$3 x$

Paso 9.1.5.10

Después de cambiar los signos, agrega el último dividendo del polinomio multiplicado para buscar el nuevo dividendo.

				$x^{2}$	-	$3 x$
$2 x$	-	$1$		$2 x^{3}$	-	$7 x^{2}$	-	$17 x$	+	$10$
			-	$2 x^{3}$	+	$x^{2}$
					-	$6 x^{2}$	-	$17 x$
					+	$6 x^{2}$	-	$3 x$
							-	$20 x$

Paso 9.1.5.11

Retira los próximos términos del dividendo original hacia el dividendo actual.

				$x^{2}$	-	$3 x$
$2 x$	-	$1$		$2 x^{3}$	-	$7 x^{2}$	-	$17 x$	+	$10$
			-	$2 x^{3}$	+	$x^{2}$
					-	$6 x^{2}$	-	$17 x$
					+	$6 x^{2}$	-	$3 x$
							-	$20 x$	+	$10$

Paso 9.1.5.12

Divide el término de mayor orden en el dividendo $- 20 x$ por el término de mayor orden en el divisor $2 x$ .

				$x^{2}$	-	$3 x$	-	$10$
$2 x$	-	$1$		$2 x^{3}$	-	$7 x^{2}$	-	$17 x$	+	$10$
			-	$2 x^{3}$	+	$x^{2}$
					-	$6 x^{2}$	-	$17 x$
					+	$6 x^{2}$	-	$3 x$
							-	$20 x$	+	$10$

Paso 9.1.5.13

Multiplica el nuevo término del cociente por el divisor.

				$x^{2}$	-	$3 x$	-	$10$
$2 x$	-	$1$		$2 x^{3}$	-	$7 x^{2}$	-	$17 x$	+	$10$
			-	$2 x^{3}$	+	$x^{2}$
					-	$6 x^{2}$	-	$17 x$
					+	$6 x^{2}$	-	$3 x$
							-	$20 x$	+	$10$
							-	$20 x$	+	$10$

Paso 9.1.5.14

La expresión debe restarse del dividendo, así es que cambia todos los signos en $- 20 x + 10$ .

				$x^{2}$	-	$3 x$	-	$10$
$2 x$	-	$1$		$2 x^{3}$	-	$7 x^{2}$	-	$17 x$	+	$10$
			-	$2 x^{3}$	+	$x^{2}$
					-	$6 x^{2}$	-	$17 x$
					+	$6 x^{2}$	-	$3 x$
							-	$20 x$	+	$10$
							+	$20 x$	-	$10$

Paso 9.1.5.15

Después de cambiar los signos, agrega el último dividendo del polinomio multiplicado para buscar el nuevo dividendo.

				$x^{2}$	-	$3 x$	-	$10$
$2 x$	-	$1$		$2 x^{3}$	-	$7 x^{2}$	-	$17 x$	+	$10$
			-	$2 x^{3}$	+	$x^{2}$
					-	$6 x^{2}$	-	$17 x$
					+	$6 x^{2}$	-	$3 x$
							-	$20 x$	+	$10$
							+	$20 x$	-	$10$
										$0$

Paso 9.1.5.16

Como el resto es $0$ , la respuesta final es el cociente.

$x^{2} - 3 x - 10$

Paso 9.1.6

Escribe $2 x^{3} - 7 x^{2} - 17 x + 10$ como un conjunto de factores.

$(2 x - 1) (x^{2} - 3 x - 10) = 0$

Paso 9.2

Factoriza $x^{2} - 3 x - 10$ con el método AC.

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Paso 9.2.1

Factoriza $x^{2} - 3 x - 10$ con el método AC.

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Paso 9.2.1.1

Considera la forma $x^{2} + b x + c$ . Encuentra un par de números enteros cuyo producto sea $c$ y cuya suma sea $b$ . En este caso, cuyo producto es $- 10$ y cuya suma es $- 3$ .

$- 5, 2$

Paso 9.2.1.2

Escribe la forma factorizada mediante estos números enteros.

$(2 x - 1) ((x - 5) (x + 2)) = 0$

Paso 9.2.2

Elimina los paréntesis innecesarios.

$(2 x - 1) (x - 5) (x + 2) = 0$

Paso 10

Si cualquier factor individual en el lado izquierdo de la ecuación es igual a $0$ , la expresión completa será igual a $0$ .

$2 x - 1 = 0$

$x - 5 = 0$

$x + 2 = 0$

Paso 11

Establece $2 x - 1$ igual a $0$ y resuelve $x$ .

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Paso 11.1

Establece $2 x - 1$ igual a $0$ .

$2 x - 1 = 0$

Paso 11.2

Resuelve $2 x - 1 = 0$ en $x$ .

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Paso 11.2.1

Suma $1$ a ambos lados de la ecuación.

$2 x = 1$

Paso 11.2.2

Divide cada término en $2 x = 1$ por $2$ y simplifica.

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Paso 11.2.2.1

Divide cada término en $2 x = 1$ por $2$ .

$\frac{2 x}{2} = \frac{1}{2}$

Paso 11.2.2.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 11.2.2.2.1

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 11.2.2.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{2 x}{2} = \frac{1}{2}$

Paso 11.2.2.2.1.2

Divide $x$ por $1$ .

$x = \frac{1}{2}$

Paso 12

Establece $x - 5$ igual a $0$ y resuelve $x$ .

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Paso 12.1

Establece $x - 5$ igual a $0$ .

$x - 5 = 0$

Paso 12.2

Suma $5$ a ambos lados de la ecuación.

$x = 5$

Paso 13

Establece $x + 2$ igual a $0$ y resuelve $x$ .

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Paso 13.1

Establece $x + 2$ igual a $0$ .

$x + 2 = 0$

Paso 13.2

Resta $2$ de ambos lados de la ecuación.

$x = - 2$

Paso 14

La solución final comprende todos los valores que hacen $(2 x - 1) (x - 5) (x + 2) = 0$ verdadera.

$x = \frac{1}{2}, 5, - 2$

Paso 15