Matemática discreta Ejemplos

$2 x^{2} + 20 x + 48$

Paso 1

Si una función polinomial tiene coeficientes enteros, entonces todo cero racional tendrá la forma $\frac{p}{q}$ , donde $p$ es un factor de la constante y $q$ es un factor del coeficiente principal.

$p = \pm 1, \pm 2, \pm 3, \pm 4, \pm 6, \pm 8, \pm 12, \pm 16, \pm 24, \pm 48$

$q = \pm 1, \pm 2$

Paso 2

Obtén todas las combinaciones de $\pm \frac{p}{q}$ . Estas son las posibles raíces de la función polinomial.

$\pm 1, \pm \frac{1}{2}, \pm 2, \pm 3, \pm \frac{3}{2}, \pm 4, \pm 6, \pm 8, \pm 12, \pm 16, \pm 24, \pm 48$

Paso 3

Sustituye las posibles raíces una por una en el polinomio para obtener las raíces reales. Simplifica para comprobar si el valor es $0$ , lo que significa que es una raíz.

$2 {(- 4)}^{2} + 20 (- 4) + 48$

Paso 4

Simplifica la expresión. En este caso, la expresión es igual a $0$ , por lo que $x = - 4$ es una raíz del polinomio.

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Paso 4.1

Simplifica cada término.

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Paso 4.1.1

Eleva $- 4$ a la potencia de $2$ .

$2 \cdot 16 + 20 (- 4) + 48$

Paso 4.1.2

Multiplica $2$ por $16$ .

$32 + 20 (- 4) + 48$

Paso 4.1.3

Multiplica $20$ por $- 4$ .

$32 - 80 + 48$

Paso 4.2

Simplifica mediante suma y resta.

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Paso 4.2.1

Resta $80$ de $32$ .

$- 48 + 48$

Paso 4.2.2

Suma $- 48$ y $48$ .

$0$

Paso 5

Como $- 4$ es una raíz conocida, divide el polinomio por $x + 4$ para obtener el polinomio del cociente. Este polinomio luego se puede usar para obtener las raíces restantes.

$\frac{2 x^{2} + 20 x + 48}{x + 4}$

Paso 6

Luego, obtén las raíces del polinomio restante. El orden del polinomio se ha reducido por $1$ .

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Paso 6.1

Coloca los números que representan el divisor y el dividendo en una configuración tipo división.

$- 4$	$2$	$20$	$48$

Paso 6.2

El primer número en el dividendo $(2)$ se pone en la primera posición del área del resultado (debajo de la recta horizontal).

$- 4$	$2$	$20$	$48$

	$2$

Paso 6.3

Multiplica la entrada más reciente en el resultado $(2)$ por el divisor $(- 4)$ y coloca el resultado de $(- 8)$ debajo del siguiente término en el dividendo $(20)$ .

$- 4$	$2$	$20$	$48$
		$- 8$
	$2$

Paso 6.4

Suma el producto de la multiplicación y el número del dividendo y coloca el resultado en la siguiente posición en la línea del resultado.

$- 4$	$2$	$20$	$48$
		$- 8$
	$2$	$12$

Paso 6.5

Multiplica la entrada más reciente en el resultado $(12)$ por el divisor $(- 4)$ y coloca el resultado de $(- 48)$ debajo del siguiente término en el dividendo $(48)$ .

$- 4$	$2$	$20$	$48$
		$- 8$	$- 48$
	$2$	$12$

Paso 6.6

Suma el producto de la multiplicación y el número del dividendo y coloca el resultado en la siguiente posición en la línea del resultado.

$- 4$	$2$	$20$	$48$
		$- 8$	$- 48$
	$2$	$12$	$0$

Paso 6.7

Todos los números excepto el último se convierten en coeficientes del polinomio del cociente. El último valor de la línea del resultado es el resto.

$(2) x + 12$

Paso 6.8

Simplifica el polinomio del cociente.

$2 x + 12$

Paso 7

Factoriza $2$ de $2 x + 12$ .

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Paso 7.1

Factoriza $2$ de $2 x$ .

$(x + 4) (2 (x) + 12)$

Paso 7.2

Factoriza $2$ de $12$ .

$(x + 4) (2 x + 2 \cdot 6)$

Paso 7.3

Factoriza $2$ de $2 x + 2 \cdot 6$ .

$(x + 4) (2 (x + 6))$

Paso 8

Factoriza el lado izquierdo de la ecuación.

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Paso 8.1

Factoriza $2$ de $2 x^{2} + 20 x + 48$ .

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Paso 8.1.1

Factoriza $2$ de $2 x^{2}$ .

$2 (x^{2}) + 20 x + 48 = 0$

Paso 8.1.2

Factoriza $2$ de $20 x$ .

$2 (x^{2}) + 2 (10 x) + 48 = 0$

Paso 8.1.3

Factoriza $2$ de $48$ .

$2 x^{2} + 2 (10 x) + 2 \cdot 24 = 0$

Paso 8.1.4

Factoriza $2$ de $2 x^{2} + 2 (10 x)$ .

$2 (x^{2} + 10 x) + 2 \cdot 24 = 0$

Paso 8.1.5

Factoriza $2$ de $2 (x^{2} + 10 x) + 2 \cdot 24$ .

$2 (x^{2} + 10 x + 24) = 0$

Paso 8.2

Factoriza.

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Paso 8.2.1

Factoriza $x^{2} + 10 x + 24$ con el método AC.

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Paso 8.2.1.1

Considera la forma $x^{2} + b x + c$ . Encuentra un par de números enteros cuyo producto sea $c$ y cuya suma sea $b$ . En este caso, cuyo producto es $24$ y cuya suma es $10$ .

$4, 6$

Paso 8.2.1.2

Escribe la forma factorizada mediante estos números enteros.

$2 ((x + 4) (x + 6)) = 0$

Paso 8.2.2

Elimina los paréntesis innecesarios.

$2 (x + 4) (x + 6) = 0$

Paso 9

Si cualquier factor individual en el lado izquierdo de la ecuación es igual a $0$ , la expresión completa será igual a $0$ .

$x + 4 = 0$

$x + 6 = 0$

Paso 10

Establece $x + 4$ igual a $0$ y resuelve $x$ .

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Paso 10.1

Establece $x + 4$ igual a $0$ .

$x + 4 = 0$

Paso 10.2

Resta $4$ de ambos lados de la ecuación.

$x = - 4$

Paso 11

Establece $x + 6$ igual a $0$ y resuelve $x$ .

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Paso 11.1

Establece $x + 6$ igual a $0$ .

$x + 6 = 0$

Paso 11.2

Resta $6$ de ambos lados de la ecuación.

$x = - 6$

Paso 12

La solución final comprende todos los valores que hacen $2 (x + 4) (x + 6) = 0$ verdadera.

$x = - 4, - 6$

Paso 13